二维随机变量

1、第三章第三章 二维随机变量二维随机变量12,12(,nnFxxx 记记为为,( , ),( ,)F x yFx y 二二维维时时可可记记为为或或),(),(yYxXPyxF(x,y)xyyx0注注意意：以以上上条条件件仅仅是是必必要要，而而非非充充要要条条件件),(),(),(),(),(212121212211aaFabFbaFbbFbYabXaP 由由分分布布函函数数可可计计算算任任意意区区间间的的概概率率a2b2yx0a1b1离散型随机变量的联合分布列bx xii.,1是是X的的任任意意两两个个相相邻邻的的可可能能值值，yyjj,1是是Y的的任任意意两两个个相相邻邻的的可可能能值值，则则

2、在在矩矩形形域域(x xyyiijj,;,11)内内，F x y( , )的的值值保保持持不不变变。 xxyyijijpyxFa),(.1,2,3,4例例、从从中中任任取取一一数数，记记为为X,X,再再从从1,2,3,X1,2,3,X中中任任取取一一数数，记记为为Y,Y,求求(X,Y)(X,Y)的的联联合合概概率率分分布布。11,2,3,4,(),1,2,3,44XP Xkk 解解：11,2,. ,(),1,2,.YkP Xjjkk (, )( , ),1,2,3,4;X Yi jiji (,)() (|)P Xi YjP Xi P Yj Xi 11(|)0jiP Yj Xiiji 而而11(

3、,)40jiP Xi Yjiji 2713(,),310ijijPijijj 例例 2.二二维维随随机机变变量量(,)X Y的的联联合合分分布布律律为为： YX01pi00.30.20.510.20.30.5pj0.50.511, 110 , 11, 1010, 1000, 1, 5 . 0, 3 . 0, 0),(yxyxoryxyxyorxyxF00.30.50.51yx101a.F x y( , )是是连连续续函函数数。b. zF x y( , )是是介介于于z 0与与z 1之之间间随随x或或y单单调调上上升升的的连连续续曲曲面面。例例3. F x yeexyxy( , )()(),11

4、000其它OxyG解解：( , ),x ycxyrxyr2222220由由( , )x y dxdy 1，cdxdyxyr2221，cdxdyxyr2221，dxdyrxyr2222， cr12( , ),x yrxyrxyr102222222几种均匀分布的概率密度几种均匀分布的概率密度1.长度为长度为b-a区间区间a,b上上2.面积为面积为s的平面区域的平面区域S上上3.体积为体积为v的空间区域的空间区域V上上),(,0),(,1)(baxbaxabxSyxSyxsyx),(, 0),(,1),(VzyxVzyxvzyx),(, 0),(,1),(F基本概念：基本概念：随机向量、联合分布函数

5、。随机向量、联合分布函数。F离散型随机变量：离散型随机变量：联合概率分布、阶梯型联合概率分布、阶梯型分布函数。分布函数。F连续型随机变量：连续型随机变量：概率密度函数、连续型概率密度函数、连续型分布函数。分布函数。边际分布、条件分布边际分布、条件分布边缘分布边缘分布( , ) 为为二二维维随随机机变变量量，联联合合分分布布已已知知，要要研研究究或或 的的概概率率或或分分布布（另另一一个个随随机机变变量量取取遍遍所所有有的的值值）即由二维分布即由二维分布一维分布一维分布( , )(,),1, 2,ijijPxypi j 假假设设的的分分布布列列为为：，111()()()()()()(,)iiij

6、jijijjjxxxyxyxy 111()(,)(,)iijijjjijjPxPxyPxyp 1(),1, 2,jijjiPyppj . ip2 1 01010.30.30.30.10.60.10.60.42 1 01010.360.240.240.160.60.10.60.4边边际际分分布布相相同同，联联合合分分布布却却不不相相同同联合分布可决定边际分布联合分布可决定边际分布边际分布不能决定联合分布边际分布不能决定联合分布联合分布函数可求边际分布函数联合分布函数可求边际分布函数),()(yFyF ),()( xFxF ),(0yF ),(0 xF),(1 FO二维分布函数的各种极限二维分布函

7、数的各种极限二维连续型随机变量二维连续型随机变量2121()211( )( ,)2xpxpx y dye 2222()221( )( ,)2xpypx y dxe 联联合合正正态态边边际际正正态态r-r-rrxy0例例 2.设设(, )X Y在在以以原原点点为为中中心心，r为为半半径径的的圆圆域域R上上服服从从均均匀匀分分布布，求求 X 及及 Y 边边缘缘概概率率密密度度。22222221,(,)0,xyrx yrxyr 解：已经求出（解：已经求出（X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为2222222212( )rxXrxrxxdyrr 2222,|( )0,|Xrxxrxrxr 22xr

8、 22xr x|,xr 当当时时()(,)Xxx y dy ( )0Xx |,xr 当当时时说说明明：( , )X Y的的联联合合分分布布是是均均匀匀分分布布，但但边边缘缘分分布布都都不不是是均均匀匀分分布布。r-r-rrxyy22yr 22yr 同理，同理，2222,|( )0,|Yryyryryr 二维随机变量的 条件分布|11(|)1ijijijjiiijjjpPxyppppp ）规规范范性性离散型随机变量的条件分布列离散型随机变量的条件分布列|(|)ijPxy 记记为为jy 固固定定，可可得得到到关关于于 的的分分布布列列满满足足：）非非负负性性1,2,3,4例例、从从中中任任取取一一

9、数数，记记为为X,X,再再从从1,2,3,X1,2,3,X中中任任取取一一数数，记记为为Y,Y,求求(X,Y)(X,Y)的的联联合合概概率率分分布布。11,2,3,4,(),1,2,3,44XP Xkk 解解：11,2,. ,(),1,2,.YkP Xjjkk (, )( , ),1,2,3,4;X Yi jiji (,)() (|)P Xi YjP Xi P Yj Xi 11(|)0jiP Yj Xiiji 而而11(,)40jiP Xi Yjiji 边边际际分分布布条条件件分分布布联联合合分分布布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布0|lim|zPyxPy xxx 00,lim

10、( ,)(,)lim( )()xxPy xxxP xxxF x yF xx yFxFxx |(|)Fx y 例例 2.设设(, )X Y在在以以原原点点为为中中心心，r为为半半径径的的圆圆域域R上上服服从从均均匀匀分分布布，求求条条件件概概率率密密度度 2222222, 0,1),(ryxryxryxp )|(),|(|xypyxpXYYX解：已知联合概率密度为解：已知联合概率密度为r-r-rrxyy22yr 22yr r-r-rrxy22xr 22xr x即即：在在Yy的的条条件件下下，X的的条条件件分分布布是是均均匀匀分分布布；在在Xx的的条条件件下下，Y的的条条件件分分布布是是均均匀匀分

11、分布布。5 . 1|2 . 02) 1 (.203XYPEXyxyyxDDYX）计计算算（求求）：，（上上的的均均匀匀分分布布，）服服从从区区域域，：设设二二维维随随机机变变量量（例例10 xy211.5xy xy 2(1,1)解：解：的联合密度函数为),)(1 (YX 其其它它, 020, 1),(yxyyxp 其其它它其其它它, 021,210, 021,10,)(200 xxxxxdyxdyxpxxX2110)2(dxxxxdxxEX13131213212103xxx则则 其其它它其其它它,05 .00,2,05 .00,5 .01)5 .1(),5 .1()5 .1|(|yypypyp

12、XXY 2 .002 .00|4 .02)5 .0|(5 .1|2 .0dydyypXYPXY4 . 0)5 . 1|2 . 0(| XYF即即随机变量的独立性随机变量的独立性1.1.离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性2.2.连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性例例 1.已已知知 10 件件产产品品中中有有 3 件件一一等等品品，5 件件二二等等品品，2 件件三三等等品品。 从从这这批批产产品品中中任任取取 4 件件产产品品， 问问：其其中中一一等等品品件件数数和和二二等等品品件件数数是是否否独独立立？ YX01234pi000102102021052103521010152

13、106021030210010521023210302103021000632103221052100007210pj5210502101002105021052101解解： 设设X与与Y分分别别是是取取出出的的 4 件件产产品品中中一一等等品品与与二二等等品品的的件件数数，已已经经求求出出联联合合分分布布律律、边边缘缘分分布布律律为为000, 0YPXPYXPX与与Y不不 相相互互独独立立，即即一一、二二等等品品的的件件数数不不相相互互独独立立。说说明明(, )X Y的的 联联 合合分分布布是是均均匀匀分分布布， 但但边边缘缘分分布布都都不不是是均均匀匀分分布布。F边际分布边际分布：例如例如

14、F条件分布：条件分布：例如例如),()(1 jjiiyxPxP dyyxpxp),()( )(),()|(|ypyxpyxp 独立性：独立性：)(),(1211ininxFxxxFIn 随机变量函数的分布注注意意：随随机机变变量量的的函函数数仍仍然然是是随随机机变变量量。一、随机变量函数的分布若若已已知知X分分布布律律为为Xx1x2xnpkp1p2pn则则YfX()的的分分布布律律为为：（1）fxi()各各不不相相等等Yf x()1f x()2f xn()pkp1p2pn（2）f xi( )中中有有相相等等的的，则则由由概概率率加加法法定定理理，把把有有相相同同f xi( )的的概概率率相相加

15、加，即即P Yf xP Xxikf xf xki( )()()()1.离离散散型型随随机机变变量量函函数数的的分分布布例例 2.已已知知随随机机变变量量X的的分分布布律律为为X1012pk02 .03 .0 1 .0 4 .求求( )12YX ，( )()212YX的的分分布布律律。解解：XY2) 1 ( 是是单单值值函函数数，f xi()各各不不相相等等，所所以以有有Y20 2 4pk02 .0 3 .0 1 .0 4 .( )()212YX不不是是单单值值函函数数，即即Y014pk01 .07 .02 .P YP X()().010 1，P Y()1P XP X()()0203 04. 0

16、7 .，2 . 0) 1()4(XPYP例例 3.已已 知知 随随 机机 变变 量量X的的 分分 布布 律律 为为X123npk1212212312n求求YX sin()2的的 分分 布布 律律 。解解 ：Y的的 可可 能能 取取 值值 为为 1 0 1,， 对对 应应 的的X的的 取取 值值 为为41 2431 2kkkk,224612111112(0)(2 )1222312kP YP Xk 3371114111122(1)(41)12221512kP YP Xk 5914111182(1)(43)12221512kP YP Xk 2.连连续续型型随随机机变变量量函函数数的的分分布布(1)F

17、p(2)单单调调函函数数的的密密度度公公式式20( )()()()yFyPyPyPy 当当时时，0( )( )0yFyP 解解：当当时时，1( , ),( )0,xa bpxba 又又其其他他222220,( )( ),( )( )1,ayyayapx dxpx dxaybFypx dxyb 20,1,1,yaayabdxybaby 2( ),0yabypyba 其其他他0( )( )0yFyP 解解：当当时时，222( )()()1()( )2xyyyyFyPypyPyypx dxedx 当当y0y0时时，22212200( )( )21,0220,020,2yyyypyFyeyyyyye

18、对对 求求导导后后，得得 2(1)称称函函数数的的性性质质：()()1()!nn1()12函数：函数：( ),xedxx1001 ）当当yf x( )是是单单调调函函数数时时，它它的的反反函函数数xg y( )也也是是单单调调的的。a.若若f x( )，则则g y( )，即即gy( )0.P YyP f Xy()( ()P Xg y( )8( )( ( )|( )|( )2YXXypypg yg ypg y 18 18,0482220,yy 其其它它8,816320,yy 其其它它例例 5.XN( ,) 2，求求YabXb,()0的的概概率率密密度度。解解：bxaxfy)(，bayygx)(结

19、结论论：服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的线线性性函函数数仍仍然然服服从从正正态态分分布布。即即：若若XN( ,) 2，则则abXN abb(,) 22命命题题：若若XN( ,) 2，则则XN( , )01证证明明：取取a ，b 1，则则ab 10,222211b ，abXX 1X，即即 XN( , )011( )lnxfyy 反反函函数数存存在在，为为0( )0ypy 当当时时，1221( )()2ln0( )( )|( )1|ln2xfyxxyydpypxfydydeydy 当当时时，221(ln)exp22yy 2( ,)LN 记记，称称为为对对数数正正态态分分布布11(

20、),|222p 2222111( ),|VpvvAAvAv AvAvvAvpV|,0|,1)(22 110ddvAvAarcsinarcsin11arcsin(arcsin)vAvA2arcsinvA当当vA时时，F v( )=P Vv() 1F vvvAvAvA( ),arcsin,00201,(2) 再再求求概概率率密密度度函函数数( )v( ),vAvvA20022其它主要内容主要内容. ., (1,),r vbp 例例、 ， 为为独独立立同同分分布布的的求求的的概概率率分分布布. .()()() (),0,1,2iPkPkPi Pki k 解解：2(0)(0) (0)PPPq (1)(

21、0) (1)(1) (0)2PPPPPpqpqpq = =2(2)(1) (1)PPPp (2, )bp , (1,),. ( ,)iidbpb n p i ii i1 12 2i i推推论论为为则则01 即即分分布布具具有有可可加加性性12121212. .(1) (, ), (, ), (, )(),(),()r vb npb npb nnpPPP 例例、， 相相互互独独立立，证证明明：若若则则( (2 2) )若若则则121212121212000 (1)(1)(1)(1)kiknink iiik ik inniknnknnkik ikkknnnniPkPi PkiC ppCppC Cp

22、pCpp 证证：(1)(1)12 (,)b nnp 即即二二项项分分布布具具有有可可加加性性12120)kik iknnnniC CC ( (要要用用到到公公式式121212120120()120()()12120(2) ee!()!e!()!()ee!kiik ikikik iikkiik ikiPkPi PkiikikkikiCkk 12()P Poisson即即分分布布具具有有可可加加性性具具有有可可加加性性的的分分布布：(1)(1)分分布布(2)(2)二二项项分分布布poisson( (3 3) )分分布布(4)巴巴斯斯卡卡分分布布1( )( ,)|z axybabpzpx ydxb

23、一一般般地地若若，则则, ,x y zzaxaybbzaxyx yb 注注： , , , 与与对对应应：与与对对应应：积积分分沿沿直直线线在在平平面面上上( )( )( )pzpx pydxyzx 解解：( , )0p x y 不不为为 的的部部分分为为：1-1-11yx22( )0zzpz (1)(1)当当或或时时，x1-1-11y2l1l1220( 11)(11)zlzlz ( (2 2) )当当时时， 的的坐坐标标 - - , ,的的坐坐标标, ,- -1112( )44zzpzdx 1-1-11yx2m1m12(3)02(1)(11)zmzmz 当当时时，的的坐坐标标,1,1的的坐坐标

24、标 , ,1112( )44zzpzdx 2,2( )40,zzpz 其其他他2( )( )( )y zxzxydx 解解：2(2 )01(2 )0200( ), 022001(1) , 022122zzxzxzzzzedxzzedxzezeez dxeAeAAABxABAC222)21(2)(21212121 ABACeA22121 22121112A 其其中中，12221212zB ，22122212()12zC 2122212()2()221212zZpze 221212(,)ZN 推推论论： 有有限限个个独独立立的的正正态态随随机机变变量量之之和和仍仍为为正正态态分分布布。即即： 相相

25、互互独独立立的的XNiniii(,), , 21 2，则则XNiiniiniin1121(,).结结论论：两两个个独独立立的的正正态态随随机机变变量量之之和和仍仍为为正正态态分分布布。解解：当当z 0时时，dxdyezFyxzyx2222221)( zre0221221 21ze )21( E )2(2 或或者者，)21, 1 ( 或或者者，定定义义：X服服从从 Gamma 分分布布记记作作：X ( , ) ，若若( )( ),xxexxx1000.当当k212,时时，(, )( )kk2122，这这时时，( )(),xkxexxkkx1220002212当当k 2，即即112,时时，( ,

26、)( )11212 e，这这时时，(),xexxx120002(, ) 2212()(,)kk ), 1()( Ee()()( ,)1 221122( )FzPzPz 证证：xzy yx0 , |( ,)( ,)xx yzyDpx y dxdypx y dxdy 00( ,)( ,)yzyzdypx y dxdypx y dx 00( )(,)(,)zpzy pyz y dyy pyz y dy 对对 求求导导后后得得( )( )|( )xyzpzpxpyy dy 当当 ， 独独立立时时，解解：dyeyzpydyypyzpyzpy )()()()(0210(1)( ),00zzpzz 1212(,) ,nnMaxxxxx 证证：12