直线的对称问题

1、1 点关于点对称 2 直线关于点对称 4 直线关于直线对称 3 点关于直线对称点关于点对称点关于点对称： 说明两点说明两点P和和Q关于点关于点M对称的几何特征对称的几何特征PMQ点点M是线段是线段PQ的中点的中点( , )(,).M a bMab特殊地:点关于原点对称的点的坐标是P(x0,y0)Q已知点已知点P(x0,y0),点点M (a ,b),则点则点P关于点关于点MM的对称点的对称点Q Q坐标为坐标为(2a-x(2a-x0 0,2b-y,2b-y0 0) ) 线关于点的对称问题线关于点的对称问题：ABPDCmn说明两直线关于一点对称的几何特征 对称中心到两平行直线的距离相对称中心到两平行

2、直线的距离相等，利用平行直线系。等，利用平行直线系。 直线直线m上任取两点上任取两点A、B求出求出n上的上的对称点对称点C、D后，由两点确定一条直线后，由两点确定一条直线 n上的任意一点的对称点在上的任意一点的对称点在m上上 ，利用相关点法。利用相关点法。方法小结思路点拨：将直线的对称转化为直线上思路点拨：将直线的对称转化为直线上点的对称点的对称.答案：答案：3x-y-4=03x-y-4=03x-y+2=0 xyo解：在所求直线上任取一点（解：在所求直线上任取一点（x,y)则该点关于则该点关于(1,2)的对称点的对称点(2-x,4-y)在在直线直线3x-y+2=0上上即即 3(2-x)-(4-

3、y)+2=0练一练练一练、求直线、求直线3x-y+2=0关于点关于点(1,2)对称的直线方程。对称的直线方程。 曲线曲线f (x ,y)=0f (x ,y)=0关于点关于点P P的对称曲线方程的对称曲线方程的求法：的求法： 设设Q (x ,y)Q (x ,y)为所求曲线上任意一点，求出为所求曲线上任意一点，求出Q Q关于点关于点P P的对称点的对称点QQ（x，y） ，将，将Q Q （x，y）坐标代入坐标代入f (x ,y)=0f (x ,y)=0可得所可得所求曲线方程求曲线方程. . -相关点法特殊的特殊的, P (x , y)关于下列直线的对称点关于下列直线的对称点:2、轴对称、轴对称:点关

4、于线对称点关于线对称:关于关于X轴的对称点轴的对称点 _ 关于关于Y轴的对称点轴的对称点_关于直线关于直线y=x的对称点的对称点_关于直线关于直线y= - x的对称点的对称点 _ (x , -y)(-x , y)( y , x)(- y, -x)PQl垂直中点O说明两点说明两点P和和Q关于直线关于直线l对称的几何特征对称的几何特征直线直线l l是线段是线段PQPQ的垂直平分线，即的垂直平分线，即xyOPQl l：ax+by+c=0ax+by+c=0，a0,b 0,a0,b 0,点点P(xP(x0 0,y ,y0 0), ),如何求点如何求点P P关于直线关于直线l l的对称点的对称点Q Q的坐

5、标？的坐标？ 1. 1.线段线段PQPQ的中点在直线的中点在直线l l上，上， 2. 2.线段线段PQPQ和直线和直线l l垂直垂直问题研讨解解:设设B点坐标为点坐标为(a,b),因垂直平分线段因垂直平分线段AB,则则解得解得a= 1,b= 4.A(3,2)Oxy2213232122baba 所以所求点所以所求点B的坐标为的坐标为（1，4）.B(a,b)abcacbPAB相交对称O解题要点：线关于线对称转化为点关于点对称解题要点：线关于线对称转化为点关于点对称练一练练一练：求直线：求直线3x-2y+6=03x-2y+6=0关于直线关于直线x-2y+1=0 x-2y+1=0的的对称的直线方程。对

6、称的直线方程。XYOP3x-2y+6=0 x-2y+1=0 x+18y+6=0AB分析：在直线3x-2y+6=0上取一点A（0,3），求它关于直线x-2y+1=0的对称点为B（2，-1）。由两直线方程联立方程组可求得交点P，由两点式或点斜式求出方程方法延伸方法延伸 曲线曲线f( x , y)=0关于直线关于直线l的对称曲线方的对称曲线方程求法：程求法： 设设P ( x , y)为所求曲线上任意一点，求为所求曲线上任意一点，求出出P关于直线关于直线l的对称点的对称点P（x，y） ，将，将P（x，y）坐标代入）坐标代入f( x , y)=0可得所求曲线可得所求曲线方程方程. -相关点法 应用一：最值问题 1、在直线、在直线y=x-1上求一点上求一点P，使它到两定点，使它到两定点A（3，4）B（1，1）的距离之和最小。）的距离之和最小。ABAPXYOy=x-1)34,37(P 拓展练习拓展练习: 2、在直线、在直线y=x-1上求一点上求一点P，使它到两定点，使它到两定点A（3，4）B（1，-1）的距离之差的绝对值最大。）的