哈尔滨工业大学理论力学第八章

1、理论力学 第八章刚体的平面运动刚体的简单运动平行移动(平移)定轴转动刚体是不是只有这两种运动呢？第六章否否8-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动：行星齿轮1、平面运动刚体平面运动：车轮运动情况 平面图形平面图形 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。 一个薄片一个薄片( (平面图形平面图形) )便能代表整个刚体的平面运动便能代表整个刚体的平面运动2、运动方程123( )( )( )OOxf tyftft基点O转角平面图形的位置可由图形内两点连线 OM 的位置来确定运动方程由两部分组成：平动和转动平动转动平面运动可看成平移与转动平面运

2、动可看成平移与转动的合成，也可看成绕不断运的合成，也可看成绕不断运动的轴的转动。动的轴的转动。3、运动分析+平面运动 = = 随Oxy的平移 + + 绕O点的转动 Oxy平移坐标系牵连运动相对运动=O基点 平面运动可取任意基点可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的平移的速度和加速度与基点的选择有关速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关速度和角加速度与基点的选择无关。10limtMMvt tt01lim20limtNNvt tt02limMMNNSS角速度、角加速度都是共同的，无需标明绕哪一点转动或角速度、角加速度都是共同的，无需标

3、明绕哪一点转动或选哪一点为基点。选哪一点为基点。8-2 求平面图形内各点速度的基点法平面图形的运动可分解为：（1）牵连运动： 随基点的平移aervvv（2）相对运动： 绕基点的转动平面图形内任一点 M 的运动也是以上两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度。这种方法称为基点法基点法。+=8-2 求平面图形内各点速度的基点法1、基点法动点：M绝对运动：待求牵连运动：平移MerOvvvvO M动系： (平移坐标系)O x y 相对运动：绕 O点的圆周运动 直线OM上各点速度的分布如右图平移效应部分平移效应部分转动效应部分转动效应部分O基点M点的牵连速度等于基点的速度由基点的任意性，若选 A

4、 点为基点，可得B 点的速度：其中BABAvABvAB 大小方向垂直于，朝向转动方向平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。绕基点转动速度的矢量和。BABAvvv表示点 B 相对点 A 的相对速度BAv例8-1 椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB = l。求：B 端的速度以及尺 AB 的角速度。解：1、 AB 作平面运动 基点： AABABvAB lv，已知： ， ，。求：。sinABAvvsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv、大小 ？方向cotABvv 例8-2如图所示

5、平面机构中，AB=BD=DE= l =300mm。在图示位置时，BD / AE，杆AB的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆 DE 的角速度和杆 BD 中点 C 的速度。解：1 、 BD作平面运动 基点：B300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 。已知：。求：，lvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl、大小 ？方向300mm,/,5rad sABDECABBDDElBDAEv 已知：。求：，221.299m sCBCBvvvBD方向沿杆向右32?CBCBBDvvvll、大小 ？方向由几何关系，得vC方向恰好沿BD

6、杆例8-3曲柄连杆机构如图所示，OA = r, AB= 。如曲柄OA以匀角速度转动。r360 090B求：当， 和时点 的速度。解：1、 AB作平面运动 基点：A3,OABOAABrrv已知：求：。(3) 900,BAABvrvv(1) 602 3cos303ABvrv2?BABAvvvr、大小 ？方向(2) 00Bv（瞬时平移）（瞬时平移）0BAvA 与vB方向一致B速度方向：水平速度方向：水平例8-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮 I 固定，半径为r1 ，行星齿轮沿轮 I 只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。O求：轮的角速度及其上 B，C 两点的速度。解: 1、A 点速度由系杆转动

7、求得12()DAAOvvrr122(1)DAAOvvrDArr30DADAvvv、12,OAOrr已知：。,BCvv求：2、轮作平面运动 基点：A12()AOOvOArr(接触处滚而不滑)基点A的速度已求出，但轮作平面运动的角速度未知，待求。 22122()BABAOvvvrr122()BABAOvvvrrr大小方向？4、122()CACAOvvvrr5CACAvvv、12,OAOrr已知：。,BCvv求：2、速度投影定理同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。沿 AB 连线方向上投影BABAABABABvvvBABAvvv由

8、BAABABvv0刚体中两点之间的距离保持不变，因此两点的速度在连线上的刚体中两点之间的距离保持不变，因此两点的速度在连线上的投影（分量）必须相等。投影（分量）必须相等。局限性：无法求出局限性：无法求出 ，因而无法求出角速度。，因而无法求出角速度。BAv思考题思考题8-18-1思考题思考题8-18-1如图所示，平面图形上两点A，B的速度方向可能是这样的吗？为什么? 均不可能。(利用速度投影定理考虑)例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄 OA 长100mm，以角速度=2 rad/s转动。连杆 AB 带动摇杆CD，并拖动轮 E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时 A，B，E 三点恰在一

9、水平线上，且CDED。求：此瞬时点 E 的速度。解： 1、 AB作平面运动BAABABvvOAvB30cossm2309. 030cosOAvB100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。2、CD作定轴转动，转动轴：C30.6928m sBDBvvCDvCB3、DE作平面运动EDDEDEvv100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。cos30EDvv0.8m scos30DEvv 思考：试用速度投影定理求解例8-1解： AB 作平面运动，根据速度投影定理BAABABvvsincosBAvv即cotABvv 8-3 求平面图形内各

10、点速度的瞬心法一般情况下，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心瞬时速度中心，简称速度瞬心速度瞬心。1、定理MAMAvvvMAvvAM0ACvvAC基点：A， 点M 在 垂线上Av总存在某一点C平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。转动的速度。2、平面图形内各点的速度分布DDCvvCDACACvvvCA BBCvvCB 与图形绕定轴转动时的速度分布情况类似。图(b)每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。若已知某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，则在该瞬时，任一点的速度都可以完全确定。基点

11、：选取速度为零的点 C 为基点3、速度瞬心的确定方法(1)无滑动的滚动,ABABvvvv(2)已知： 的方向，且 不平行于 。瞬心：接触点瞬心：接触点瞬心：速度垂线交点瞬心：速度垂线交点每一瞬时相应有一瞬心，不同瞬时，瞬心位置不同。(3)已知： ， 的方向，且 平行于 。AvBvAvBv(a) 同向(b) 反向瞬心：速度矢量末端连线与瞬心：速度矢量末端连线与AB交点交点(4)ABvv瞬心：速度垂线交点（无限远处）瞬心：速度垂线交点（无限远处）瞬时平移瞬时平移C(a) , ABABvvvvAB与同向(b) , ABABvvvvAB与反向例8-6 已知：车厢的轮子沿直线轨道滚而不滑。车轮中心 O

12、的速度为 ，半径分别是 R 和 r ，且A2，O，A4三点在同一水平线上， A1，O，A3三点在同一铅直线上。 求：轮上A1，A2，A3，A4各点的速度。 Ov已知： ，R和r。求各点 的速度。Ov1A2A3A4A解：速度瞬心为点C。Ovr各点的速度为11ORrvACvr2244ORrvA Cvr2222ORrvA Cvr33ORrvA Cvr例8-7 椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：用瞬心法求 B 端的速度及尺 AB 的角速度。解：AB 作平面运动，速度瞬心为点 C。sinlvACvAAABcotAABBvBCvABABvAB lv，已知： ，

13、，。求：。例8-8 矿石轧碎机的活动夹板 AB 长600 mm ，由曲柄 OE 借连杆组带动，使它绕 A 轴摆动，如图所示。曲柄 OE 长100 mm，角速度为10 rad/s。连杆组由杆BG，GD和 GE 组成，杆 BG 和 GD 各长500 mm。求：当机构在图示位置时，夹板 AB 的角速度。解: 1、杆 GE 作平面运动，瞬心为 C1 。11.066 m sGGEvGC800500sin15929.4 mmOG 113369 mmECOCOE600mm,100mm,10rad s,500mm:ABABOEBGGD已知：。求。13591 mmsin15OGGC 110.2968 rad s

14、EGEvOEECEC2、杆 BG 作平面运动，瞬心为 C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB也可通过速度投影定理，求解得到 和 的关系式BvGv8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。tnaerraaaatnBABABAaaaa,ttBABAaABaAB大小方向垂直于朝向同2nnBABAaABaBA大小方向由 指向A：基点 Axy：平移参考

15、系8-4 求平面图形内各点的加速度的基点法 8-2 求速度 0Ca 涉及到角速度 和角加速度一般需要确定基点的加速度，以及平面运动的角速度和角加速度一般需要确定基点的加速度，以及平面运动的角速度和角加速度tnBABABAaaaa加速度的基点法加速度的基点法,ttBABAaABaAB大小方向垂直于朝向同2nnBABAaABaBA大小方向由 指向特殊地，若瞬时平移，即= 0，则 ，加速度基点法式子往AB投影，得 0nBAaBAABABaa类似于速度投影定理思考题8-5(1)(2)aR思考题8-5如图所示瞬时，已知O1A平行等于O2B ， 问1与2 ， 1与2是否相等？(1)刚体平移，故速度加速度相

16、等，因此角速度，角加速度都相等。vR2naR1AaR21nAaR2BaR22nBaR(2)tnBABABAaaaatnBBaatnAAaa即tntntBBAABAaaaaa往AB投影，得222211sincossincosRRRR22112cot21(1) AB平移；(2) AB瞬时平移瞬时平移AB =0例8-9如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆长O1O=l，以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点 A 和 B 的加速度。要先求出基点的加速度也要求出平面运动的角速度和角加速

17、度解: 1、O 点的速度和加速度分别为：12Ovlrr2d0dt1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。常数2、轮 I 作平面运动，瞬心为 C。1Ovl21Oal（匀速转动，故只有法向加速度）角速度角加速度（用来求轮 I 的角速度）上式对任何瞬时都成立3、选基点为2212?0?tnAOAOAOaaaalr大小方向2221121(1)nAOAOaaallrllr1111,O OABOOlrraa已知：纯滚动。求：。矢量同向22124?0?tnBOBOBOaaaalr、大小方向22221()1nBOBOaaallrarctanarctanOnBOaral1111,O OABOOlrr

18、aa已知：纯滚动。求：。例8-10如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度 绕 O 轴转动。OD = AD = BD = l。求：当时，尺 AB 的角加速度和点 A 的加速度。60tnADADADaaaa解：1、 AB作平面运动，瞬心为 C。llCDvDAB,60ODABAODADBDla。已知：常数求：。22DDal、选 为基点（因匀角速度，故没有切向，只有法向。）C 分别沿轴和轴投影cos60cos60AnDADaaa0sin60cos60sin60nDADtADaaa 2 0 0ttADAADABaalaAD 解得22?tnADADADaaaall大小 ？方向,60ODABAODAD

19、BDla。已知：常数求：。为什么这样取坐标轴？为什么这样取坐标轴？负号表示与假设方向相反C求：车轮上速度瞬心的加速度。例8-11 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为 ，加速度为 ，车轮与地面接触无相对滑动。OvOa,OOCR ava。已知：求：解：1、 车轮作平面运动，瞬心为 C。2OvR、dd1ddOOvatRtR2tnCOCOCOOaaaaaRR大小 ？方向 ？2nCCOaaR不一定是常数上式对任何瞬时都成立3、至此，求出了车轮的角速度 和角加速度 ，可用加速度的基点法。选为基点，C点的加速度为Oa,OOCR ava。已知：求：当车轮在地面只滚不滑时，速度瞬心 C 的加速度指

20、向轮心 O。速度瞬心 C 的加速度不为零。若为零，则是什么情况？ 定轴转动8-5 运动学综合应用举例1、运动学综合应用：机构运动学分析。2、已知运动机构 未知运动机构 连接点运动学分析3 3、连接点运动学分析、连接点运动学分析平面运动铰链连接合成运动接触滑动求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。例8-12图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。l 2452、牵连点的速度与牵连点的速度与牵连点加速度。牵连点加速度。3、动点的速度与加动点的速度与加速度的合成速度的合

21、成1、OA 如何运动？如何运动？解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。lvOEvBEvOBvBEB,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。取 E 为基点2?0?tnBEBEBEEaaaaBE大小方向沿BE方向投影222cos452cos45nBBEnBEBvaalaval,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。至此，B 点的速度和加速度已求出。绝对运动 ：直线运动(BD)相对运动 ：直线运动(OA)牵连运动 ：定轴转动(轴O)2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆 ?aerBvvvv大小方向 沿BD方向投影0 eaerOAvvvvvv

22、OBl,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。222?0tnaeerCOAaaaaavll大小方向沿BD方向投影22222lvOBalvaateOAate,2 ,45 ,EOAOAvvBElOBEOAOE已知：常数。求：，。因 ，故aC=00rv 求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。例8-13 在下图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速 v 平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为 l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。60（A 点的速度、加速度）skip解：1、 动点 ：铰链 A 动系 ：套筒 O 绝对运动 ： 直线运动(AC )相对运动 ： 直

23、线运动(AB )牵连运动 ： 定轴转动(轴O ), ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。2?aervvvv、大小方向（动点、动系不能在同一物体）260cos2360sinvvvvvvaraelvAOveAB43, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。2 0 ? ? 2 tnaeerCABeraaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影2034teCteCaavaal22833lvAOateAB, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。另解： 1、取坐标系Oxy2、 A点的运动方程cotlxA3、速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 3

24、604ABvl当时有223 38ABvl, ,60,ACABABvvl已知：常数。求：。2(cot )csc2(sin)2sin (sin )2sincossin2 求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。例8-14 如下图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为 。lv 30vB = 常数常数aB = 0选选 B 点为基点点为基点对对 A 点作速度点作速度和加速度分析和加速度分析AB杆平面运动,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。2、动点 ： 滑块 A 动系 ： OC

25、 摇杆绝对运动 ：未知相对运动 ：直线运动（OC）牵连运动 ：定轴转动（轴O）解：1 、杆AB作平面运动，基点为BABABvvvtnABABABaaaa绝对运动未知，故速度加速度方向未知,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。 ? ?ABABvvvl大小 方向 ? ?aervvvOA大小 方向 基点法运动合成联立两矢量式子?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影sin302BABelvvv2()ABBevvvllvABAB3cos302rABvvl沿 方向投影rv,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。联立两矢量式，得加速度分析需要用到相对速度，须求出加

26、速度分析需要用到相对速度，须求出22 0 ?2 0?2 tntneerCBABABrAABaaaaaaalvla大小方向Ca沿方向投影sin30cos30tABnCABaaa233latAB从从而而233ABatABAB,OCBABABABlvlOCOB已知：常数。求：，。加速度分析加速度分析例8-15 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时。22mm/s10,mm/s50,mm/s310,mm/s310,30,mm60BBAAavavAB求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B相对AE的加速度。1、AE 平面运动，因平面运动，因vA，aA均已知，故选均已知，故选 A 点为基点。点为基点。进行速度、加速度分析。进行速度、加速度分析。2、动点：滑块、动点：滑块 B 动系：槽杆动系：槽杆AE 求相对加速度求相对加速度3、通过牵连点建立联系、通过牵连点建立联系2260mm,30 ,10 3mm s,10 3mm s ,50mm s,10mm s,AABBAEAEBrABvavaa已知：。求：。解：1、