422圆与圆的位置关系

1、O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2 两圆外离两圆外离(dR+r(dR+r) ) 两圆外切两圆外切(d=R+r(d=R+r) ) 两圆相交两圆相交(R-rdR+r(R-rdR+r) ) 两圆内切两圆内切(d=R-r)(d=R-r) 两圆内含两圆内含(dR-r)(d0方程方程(*)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,从而原方程从而原方程组有两组不同的实数解组有两组不同的实数解.两圆相交两圆相交.本题只需判断两圆位置关本题只需判断两圆位置关系系,并无求交点坐标并无求交点坐标,因而不因而不用解方程组用解方程组.例例1:已知圆已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆圆C2:x2+y2-

2、4x-4y-2=0,试判断两圆的试判断两圆的位置关系位置关系.解法二解法二:将两圆方程都化为标准式将两圆方程都化为标准式:圆圆C1 : (x+1)2+(y+4)2=25圆圆C2: (x-2)2+(y-2)2=10两圆圆心两圆圆心C1(-1,-4), C2(2,2),半径半径R=5,r=102212|( 1 2)( 42)3 5C C 连心线|12|RrC CRr两圆相交两圆相交.问题问题: :如何求公共弦的长度如何求公共弦的长度? ?例例1:已知圆已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,求两圆公共弦的长度求两圆公共弦的长度.解法一解法一: :联立两

3、圆方程得方程组联立两圆方程得方程组x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0 -得得: x+2y-1=0 xyoBAC2(2,2)求得圆求得圆 C2的圆心坐标为的圆心坐标为(2,2),半径半径r=10点点 C2到直线到直线AB的距离的距离(弦心距弦心距)为为22|22 2 1|512h 210552AB弦长|AB|=2 5例例2:已知圆已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则两圆公共弦所在则两圆公共弦所在的直线方程为的直线方程为_.2x+1=0例例3:已知圆已知圆C1:x2+y2-2x-5=0,圆圆C2:x2+y2+2x-4y

4、-4=0的交点为的交点为A,B,则线段则线段AB的垂直平分线的方程是的垂直平分线的方程是_.C1C2ABx+y-1=0两圆的连心线垂直两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦平分两圆的公共弦.例例4:求经过点求经过点M(-2,-2)以及圆以及圆x2+y2=4和圆和圆x2+y2+6y=0的交点圆的方程的交点圆的方程.解解:设所求圆的方程为设所求圆的方程为:2222(4)(6 )0 xyxyy即即:22(1)(1)640 xyy点点M(-2,-2)在圆上在圆上解得解得: =1所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2+3y-2=022(1)( 2)(1)( 2)6 ( 2)40 例例5:已知圆已知圆x2+y

5、2=4和圆和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线关于直线l对称对称,求直线求直线l的方程的方程.xyoC解解:圆圆x2+y2+4x-4y+4=0配方得配方得(x+2)2+(y-2)2=4所以它的圆心所以它的圆心C(-2,2)又圆又圆x2+y2=4的圆心为的圆心为O(0,0)直线直线l即为线段即为线段OC的垂直平分线的垂直平分线直线直线l的方程为：的方程为：x-y+2=0.两个圆方两个圆方程一相减程一相减就是就是.真的真的好有规律好有规律哟哟!例例6:求圆求圆(x-2)2+(y-2)2=4关于直线关于直线x+y=0对对称的圆的方程称的圆的方程.xyoCD解解:设圆心设圆心C(2,2)关于直线关于直线x+y=0的对称点为的对称点为D(x0,y0)则则CD的中点在直线的中点在直线x+y=0上上,且直线且直线CD与直线与直线x+y=0垂直垂直.0000220222( 1)12xyyx 022y 0 x解得D(-2,-2)所求圆的方程为所求圆的方程为: (x+2)2+(y+2)2=41.适当的利用图形的几何性质适当的利用图形的几何性质,有助于简有助于简化运算化运算.2.求一个点关于一条线的对称点的方法求一个点关于一条线的对称点的方法:(1)设出对称点的坐标设出对称点的坐标;(2)根据这两个点的中点在对称轴上和过根据这两个点的中点在对称轴上和过这两点的直线与对称轴垂直列