集合与函数知识点公式定理记忆口诀

1、集合与函数知识点公式定理记忆口诀内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。函数定义域好求，分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y=X是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减

2、看正负。函数知识典型例题§ 1.2.1 函数的概念。知识要点：1 .设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：2B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xA.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域.2 .设a、b是两个实数，且a<b，则：x|awxwb=a,b叫闭区间；x|a<x<b=(a,b)叫开区间；x|awx<b=a,b),x|a<xwb=(a,b,都叫半开半闭区间.符号：“s”读“无穷

3、大”；“s”读“负无穷大”；“+s”读“正无穷大”.则x|xa(a,),x|xaa,),x|xb(,b),x|xb(,b,R(,).3 .决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.。例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：(1)y(2)y卢丁.x21x12解：(1)由x210,解得x1且x3,所以原函数定义域为(，3)U(3,1)U(1,).(2)由I,0，解得x3且x9,3x120所以原函数定义域为3,9)U(9,).【例2】已知函数f(3)x.求：(1)f(2)的值；(2)f(x)的表达式1x解：(1)由2,解得x1,所以f(2)L

4、1x33设St,解得x，所以f(t)，即f(x)3.1x1t1t1x点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.2【例3】已知函数f(x),xR.(1)求f(x)fp)的值；(2)计算：1 xxf(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(1)f(1).2 34解：(1)由 f(x) f(1) x(2)原式 f (1) (f(2)点评：对规律的发现, 后一问的关键.1Fxx(f(3)(f(4)1 x* 2 rv 1.能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答§ 1.2 2函数的表示法。知识要点:1

5、 .函数有三种表示方法：解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值)；图象法(用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势)；列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值).2 .分段函数的表示法与意义(一个函数，不同范围的x,对应法则不同).3 .一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.。

6、例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角,这个函数的定义域为-一 Af : AB出体积V以x为自变量的函数式是【例2】已知f(x)=的值.解：: 0 ( ,1)又丁痣1,f (0)= 32 .f (啦)=(沃)3+(五)-3=2+1 = 5 ,即 ff(0)3x3 2x 2 x (,1)x3 x3x (1,)【例3】画出下列函数的图象：(1) y |x 2|；(教材P26练习题 y |x 1| |2x 4|.解：(1)由绝对值的概念，有y |x 2|3)所以，函数y |x 2|的图象如右图所示X 2,2 x,各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写3x3,

7、x1y|x1|12x4|x5,2x1,3x3,x2所以，函数y|x1|2x4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f(x)x的函数值表示不超过x的最大整数，例如3,54,2.12,当x(2.5,3时，写出f(x)的解析式，并作出函数的图象.分段函3,2.5x22,2x11, 1x0解：f(x)0,0x1.函数图象如右：1,1x22, 2x33, x3点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住数的对应函数式.§1.3,1函数的单调性).仿图2。知识要点:1,增

8、函数：设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量必，x2,当x1<x2时,都有f(x1)vf(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasingfunction照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫f(x)的单调区间,在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图1),减函数的图象从左向右是下降的(如右图2).由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3,判断单调性的步骤：设x-xzS给定区间，且x&#

9、171;x2；一计算f(xjf(x2)-判断符号一下结论.。例题精讲I【例11试用函数单调性的定义判断函数f(x)解：任取x1,x26(0,1),且x1x2,贝Uf(x1)设2)2xx12x1在区间(0,1)上的单调性.2x2由于0x1x2所以，函数f(x)X10,二在(0x1x210,0,xI1x21故f(x)f(x2)2(x2x).(x11)(x21)1)上是减函数.【例2】求下列函数的单调区间：(1)y|x1|2x4|；(2)yx22|x|3.0,即f(xjf(x2).3x3,x1解：(1)y|x1|2x4|x5,2x1,其图象如右.3x3,x2由图可知，函数在2,)上是增函数，在(，2

10、上是减函数.2yx22|x|3：2x3,x0,其图象如右.x2x3,x0由图可知，函数在(，1、0,1上是增函数，在1,0、1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例3】已知f(x)院二，指出f(x)的单调区间.x2解：:f(x)3(x2)53上，x2x2二把g(x)上的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单x位，得到f(x)的图象，如图所示.由图象得“刈在(，2)单调

11、递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知f(xa)b平移变换规律.§ 1.3.1 函数最大(小)值。知识要点|1 .定义最大值：设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：对于任意的x6I,都有f(x)<M;存在x°6I,使得f(x0)=M那么，称M是函数yf(x)的最大值(MaximumValue).仿照最大值定义，可以给出最小值(MinimumValue)的定义.2 .配方法：研究二次函数yax2bxc(a0)的最大(小)值，先配方成22ya(x2)2丝J旦后，当a。时，函数取最小值为国叱；当a。时，函数取

12、最大2a4a4a值4a.4a3 .单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值4 .图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值。例题精讲：【例11求函数y的最大值.xx1解：配方为y由(xI)233,得。(X2)23244所以函数的最大值为8.(x12)8.例3求函数y2x的最小值.解：此函数的定义域为1,且函数在定义域上是增函数，所以当x1时，ymin2c2,函数的最小值为2.点评：形如yaxb疯。的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令F1t,则t0,xt21,所以y2t2t22(t-)2竺，在t0日寸是48增函数，当t。时，¥.2,故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：(1)y32xx2,x|,|;(2)y|x1|x2|.解：(1)二次函数y32xx2的对称轴为x即x1.2a画出函数的图象，由图可知，当x1时，ymax4；当x9时，29ymin二.4所以函数y32xx2,x±3的最大值为4,最小值为9.2 243 (x2)y|x1|x2|2x1(1x2).3(x1)作出函数的图象，由