有理函数和可化为有理函数的不定积分8-3ppt课件

1、8.3 有理函数和可化为有理有理函数和可化为有理函数的不定积分函数的不定积分 一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分 四、小结四、小结有理函数的定义：有理函数的定义： 有理函数是指两个多项式函数的商表示的有理函数是指两个多项式函数的商表示的函数函数. .一般形式为一般形式为mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分

2、式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；这有理函数是假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx由于多项式的不定积分容易求出由于多项式的不定积分容易求出;只需研究真分式的不定积分只需研究真分式的不定积分.根据代数知识根据代数知识,有有:1命题( )Q x每个实系数多项式都可以唯一地2()(),xaxpxq分解为与类型的实因式其中2().xpxq不能再分解为实因式即0( )()()Q xb xaxb22()() (1)xpxqxrxs, ; ,; N其中, , ,

3、,a bp qr sR22040,40 (0)pqrsb(1).式中相同的因子乘在一起2命题( )(1),Q x如果多项式能分解为式 则( )( )P xQ x有理真分式能唯一地分解为下列部分分式之和122( )( )()()P xAAAQ xxaxaxa122()()BBBxbxbxb11222222P xQP xQP xQxpxqxpxqxpxq11222222R xSR xSR xSxrxsxrxsxrxs1212,;,;A AAB BB其中1122,;P Q P QP Q1122,.R S R SR S皆为实常数, ; ,; N2()m, , , ,;a bp qr sR2240,40

4、pqrs0(0)b （1分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA （2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 真分式化

5、为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2称为赋值法称为赋值法例例3 3.1515221542xxx )1)(21

6、(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121lnln1.1xxCx解解例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(122221211ln 1255511xxdxdxxx2211ln 12ln(1)arctan.555xxxC例例6

7、 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136236ln3ln1ln(1)3arctan2ttttCdttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 36ln3ln12ttdttttd 2221131)1(说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分

8、讨论积分1) lnAdxAxaCxa12) 1nnAAdxxaCnxa2,3,n 23) MxNdxxpxq)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab ,422pqa ,2MpNb 那那么么,222atqpxx , bMtNMx 记记,42222pqpxqpxx 令令tpx 22MxNdxxpxq22Mtdtta22bdtta2()nMxNdxxpxq dtatMtn)(22 dtatbn)(22同理令同理令tpx 2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn2,3,n 221nnIdtta2222221ntatdtata22122222111nntdtdtaatata所

9、以所以,这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .1221221112(1)nnIt dan ata112212221112(1)2(1)nnntIIan an ata1212221232(1)2(1)1arctannnnntIInanatatICaa三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数有理式一般记构成的函数称之为三角函数有理式一般记为为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx

10、 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分2222cossin22coscossin22xxxxx,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能替换公式）（万能替换公式）例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式,

11、dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222 tan,2xu 令duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求积求积分分.sin14 dxx解一）解一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解二）解二）xutan 令令,1

12、sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解三）解三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc (cot )dx .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9 9 求积求积分分.sin3sinsin1 dxx

13、xx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 类型类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例10 10 求积求积分

14、分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、某些无理根式的不定积分三、某些无理根式的不定积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例11 11 求积求积分分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.例例12 12 求

15、积求积分分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 类型类型2,R xaxbxc dx,R u v其中是有理函数, ,.a b c是实常数我们先讨论类型2的二个特殊情况, 再介绍类型2的一般情况的积分:2(1) pxqdxaxbxc(0)a 2pxqdxaxbxc22244pxqdxa xbaacba2t x ba 令22244ptqbpadtatacba,4:则原不定积分 可化为下列 种积分来计算2

16、21),tdttA222),tdtAt2213) ,dttA2214).dtAt2 245xdxxx例:解21213 2xdxx原式1t x 令21123 2tdtt2123 2tdtt21123 2dtt213 22t21ln3 22ttC2211245ln124522xxxxxC 2 5xdxxx例:解221 41 2xdxx原式1 2t x 令21 221 4tdtt221 4tdtt21 221 4dtt221 4t 1arcsin221 4tC21215arcsin221xxxC 2(2) pxqaxbxcdx(0)a 2t x ba 令22424bpacbptqatdtaa分母中去

17、掉二次三项式中的一次项,原不定积分,可化为下列四种积分来计算:221) t tA dt222) tAt dt223) tA dt224)At dt2 123xxxdx例:解2123xxxdx 2112xxdx1t x 令 2112xxdx222ttdt22t tdt222tdt3 22123t2222ln22ttttC3 2221231233xxxxx22ln123xxxC 2 2xx dx例2:2xx dx解29 41 21 2xd x21 2911 921arcsin2422 432xxxC2219212arcsin483xxxxC类型类型2, ,R xaxbxc dx中(1) 0,a 若

18、2 axbxcaxt 令(Euler称此替换为第一替换):两边平方后可得2bxcaxtt ()x关于 的一次方程2: ,2tcxbat从而有222atbtacaxbxcbat2,R xaxbxc dx则被化为有理函数的不定积分.(2) 0,c 若2 axbxcxtc令(Euler称此替换为第二替换):两边平方整理得22axbxtct()x关于 的一次方程22: ,bctxta从而有2,R xaxbxc dx则被化为有理函数的不定积分. a xxxt令(Euler称此替换为第三替换):两边平方整理得2 a xxt()x关于 的一次方程22: ,taxta从而有2,R xaxbxc dx则被化为有

19、理函数的不定积分.2 0,axbxc(3)若方程有两个相异的实根 与2, axbxca xx于是:最后指出,初等函数的不定积分一定存在,但是初等函数的不定积分不一定是初等函数,如:222sin1,sin,cos,lnxxexxxx等函数的不定积分,.都不是初等函数.初等函数关于积分运算不封闭,换句话说:不定积分222sin1, sin, cos,lnxxedxx dxx dxdxdxxx!求不出来简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答思考题解答分解后