反馈控制系统的稳定性分析ppt课件

1、第四节第四节 反响控制系统的稳定性分析反响控制系统的稳定性分析一、稳定性的概念和定义一、稳定性的概念和定义二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件三、代数稳定判据劳斯判据三、代数稳定判据劳斯判据四、劳斯判据的特殊情况四、劳斯判据的特殊情况五、劳斯判据的运用五、劳斯判据的运用 稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常义务的首要条件。控制系统在实际运转中，总会遭到外界和内部一些要素的扰动，例如负载或能源的动摇、环境条件的改动、系统参数的变化等。假设系统不稳定，当它遭到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡义务点，并且越偏越远，即使扰动消逝了，也不可以恢复原来的平衡外形。一、稳定性的概念和定义一、稳定性的

2、概念和定义 假设系统遭到扰动后，偏离了原来的平衡外形，而当扰动取假设系统遭到扰动后，偏离了原来的平衡外形，而当扰动取消后，系统又可以逐渐恢复到原来的外形，那么称系统是稳定的，消后，系统又可以逐渐恢复到原来的外形，那么称系统是稳定的，或具有稳定性的。否那么称系统是不稳定的，或不具有稳定性。或具有稳定性的。否那么称系统是不稳定的，或不具有稳定性。0AAAfABBA( )a( )b( )c图图3-21 3-21 小球的稳定性小球的稳定性二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件 假设系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲假设系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲

3、过渡函数，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡外形的就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡外形的情况。假设当情况。假设当 时，脉冲过渡函数时，脉冲过渡函数 收敛于收敛于系统原平衡义务点，即下式成立：系统原平衡义务点，即下式成立：( ) t( )g t( )g tt ( )g tlim( )0tg t那么线性系统是稳定的。那么线性系统是稳定的。( )( ) ( )C sG s R s( )( )C sG s( )( )c tg tlim ( )0tc t(3-38)(3-38) 设系统闭环传送函数为：设系统闭环传送函数为：( )( )( )M ssD s(

4、3-39)(3-39)( )0D S 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为: :12,ns ss 设特征根互不相等，系统闭环传送函数可改写如下：设特征根互不相等，系统闭环传送函数可改写如下：闭环特征根为闭环特征根为:1( )( )( )niiiAM ssD ss s(3-40)(3-40) 那么系统脉冲呼应的拉氏变换为：那么系统脉冲呼应的拉氏变换为：1( )( )niiiAC sss s(3-41)(3-41)得系统的脉冲过渡函数为呼应得系统的脉冲过渡函数为呼应1( )( )ins tiig tc tAe(3-42)(3-42)1lim ( )lim0instittig tAe(1)(1)假设

5、假设 为实数为实数is由式由式(3-38)(3-38)假设系统稳定假设系统稳定lim0is titAe0is (2)(2)假设假设 为复为复数数isiiisj发散发散0is 0i0) tsinjBtcosA(elim) t ( glimn1iiiiititt0)t(sineClimn1iiitiit线性系统稳定的充分必要条线性系统稳定的充分必要条件是它的一切特征根都具有件是它的一切特征根都具有负实部或都位于负实部或都位于S S平面的左半平面的左半平面，那么系统稳定。平面，那么系统稳定。(3)(3)假设特征根为假设特征根为k k个实根，个实根，r r个复数根，个复数根，0i0ip )tsin(e

6、AeC) t (giir1itiitipk1ii例例4 4 一个单位反响系统的开环传送函数为一个单位反响系统的开环传送函数为( )(21)kG sss试阐明系统能否稳定。试阐明系统能否稳定。解：系统的闭环传送函数为解：系统的闭环传送函数为( )( )1( )G ssG s(21)kssk22kssk2( )20D sssk1,21184ks 系统稳定系统稳定三、代数稳定判据劳斯判据三、代数稳定判据劳斯判据1. 1. 系统稳定性的初步判别必要条件系统稳定性的初步判别必要条件设系统的闭环特征方程式为如下规范方式：设系统的闭环特征方程式为如下规范方式：1011( )nnnnD sa sasa s a

7、0(3-43)(3-43)2. 2. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg11120211311aabaaa直至其他 项均为零。ib03111aabaaa 670421511aabaaa 1311211aacbbb 1521311aacbbb1731411aacbbb 1nga按此规律不断计算到按此规律不断计算到n -1n -1行为止。行为止。调查阵列表第一列系数的符号。假假设劳斯阵调查阵列表第一列系数的符号。假假设劳斯阵列表中第一列系

8、数均为正数，那么该系统是稳列表中第一列系数均为正数，那么该系统是稳定的定的; ;假假设第一列系数有负数，那么系统不稳假假设第一列系数有负数，那么系统不稳定，并且第一列系数符号的改动次数等于在右定，并且第一列系数符号的改动次数等于在右半平面上根的个数。半平面上根的个数。结论：结论：例例5 5 系统特征方程为系统特征方程为432( )D sssss 612116 0试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的一切系数均为正实数特征方程的一切系数均为正实数4 1 12 6s3 6 11s261 6

9、 6s1455 6s0 6 s第一列的第一列的系数都为系数都为正数，系正数，系统稳定统稳定例例6 6 系统特征方程为系统特征方程为432( )1930D sssss110试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1)(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。件。4 1 -12 30s3 1 11s2 -30 30 s1 12 s0 30 s有两个根位于有两个根位于s平面的右半平面平面的右半平面练习练习 系统特征方程为系统特征方程为54

10、320sssss3256试用劳斯判据判别系统能否稳定，假设不稳定，那么试用劳斯判据判别系统能否稳定，假设不稳定，那么确定确定具有正实部根的个数。具有正实部根的个数。答案：答案：系统不稳定系统不稳定, ,有两个有两个根具有正实部根具有正实部, ,即有即有两个根位于两个根位于s s平面的平面的右半平面右半平面四、劳斯判据的特殊情况四、劳斯判据的特殊情况、劳斯表中某一行第一列元素为零，其他不为零或不、劳斯表中某一行第一列元素为零，其他不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来替代这个零，全为零，这时可用一个很小的正数来替代这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。假设第一列元素不改动符然后继续劳斯阵列表的运

11、算。假设第一列元素不改动符号，那么系统临界稳定，否那么不稳定。号，那么系统临界稳定，否那么不稳定。2 0 16 s解：解：(1)(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例例7 7 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。432( )34126D sssss 04 1 4 16s3 3 12s148 12- 0s0 16 s2 16 s第一列第一列为零为零(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部练习练习 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定

12、性。判别系统的稳定性。432( )221Dsssss 0432101112212201sssss系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部、假设劳斯阵列表中某一行设为第、假设劳斯阵列表中某一行设为第k k行的一切系数均为零，行的一切系数均为零，那么阐明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。那么阐明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。(3)(3)解辅助方程，得到一切数值一样、符号相异的根。解辅助方程，得到一切数值一样、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为次为(

13、n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助方程对将辅助方程对s s求导，其系数作为全零行的元素，求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。继续完成劳斯表。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的一切系数均为正实数特征方程的一切系数均为正实数例例8 8 系统特征方程为系统特征方程为65432( )2812201616Dsssssss0判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。3 0 0s3 8 24 s18 3s0 16 s5 2 12 16s6 1 8 20 16s4 2 12 16s42( )212

14、16F sss2 6 16 s解辅助方程得解辅助方程得: :1,22sj3,42sj例例9 9 系统特征方程为系统特征方程为5433312ssss2+9s -40判别系统的稳定性。假设不稳定，那么确定具有正实判别系统的稳定性。假设不稳定，那么确定具有正实部根的个数。部根的个数。5433210134391 20001 21 891 225 001 2sssssss42( )3912F sss543238ssss 2+6s -40 练习练习 系统特征方程系统特征方程为为543321013426800081 2381 0 0038sssssss42( )268F sss五、五、 劳斯判据的运用劳斯判

15、据的运用运用劳斯判据不仅可以判别系统能否稳定，即系统的运用劳斯判据不仅可以判别系统能否稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统能否有一定的稳定裕绝对稳定性，而且也可检验系统能否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。 如图3-22所示，令 即把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线 )的右边。假设一切根均在新虚轴的左边新劳斯阵列式第一列均为正数，那么说系统具有稳定裕量

16、 。1s1sz 111. 1. 稳定裕量的检验稳定裕量的检验j00图图3-22 3-22 稳定裕量稳定裕量 11zs例例10 10 检验特征方程式检验特征方程式320sss 210134能否有根在右半平面，并检验有几个根在直线能否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s = -s = -的的右边。右边。 (1) (1)特征方程式系数都为正实数特征方程式系数都为正实数, ,满足稳定的必要条件满足稳定的必要条件(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表3 2 13 s1 12.2 s0 4 s2 10 4 s第一列无符号改第一列无符号改动，故没有根在动，故没有根在S S平面右半平面。平面右半平面。解解令令

17、s= z-1s= z-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得32(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 2即即32410zzz 2那么新的劳斯阵列表那么新的劳斯阵列表3 2 -1 z1 -0.5 z0 -1 z2 4 -1 z从表中可看出，第从表中可看出，第一列符号改动一次，一列符号改动一次，故有一个根在直线故有一个根在直线s= -1s= -1即新座标即新座标虚轴的右边，因虚轴的右边，因此稳定裕量不到此稳定裕量不到1 1。2. 2. 分析系统参数对稳定性的影响分析系统参数对稳定性的影响设一单位反响控制系统如图设一单位反响控制系统如图3-233-23所示，求使系统稳定的所示，求使系统稳定的k k的范围的范围图图3-233-231s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1)系统的传送函数为：系统的传送函数为：特征方程为：特征方程为：(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表系数都为正实数系数都为正实数