中考数学专题讲练二次函数与根的分布(解析版)

1、.二次函数与根的分布知识精讲一二次函数与轴交点1抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式断定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.2平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根.3抛物线与轴两交点之间的间隔 假设抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：.二二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表以为例：判别式:二次函数的图象一元二次方程

2、:的根有两相异实根有两相等实根没有实根三点剖析一考点：二次函数与轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题二重难点：1二次函数与轴交点问题即当时，转化为一元二次方程；2在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析三易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况题模精讲题模一：根的分布问题例1.1.1 务实数的取值范围，使关于的方程1有两个实根，且满足；2至少有一个正根；3方程一个根大于而小于，另一个根大于而小于【答案】 1；2；3【解析】 1设；那么有：，

3、解得：2可以利用韦达定理来解决此题由图1、图2，可得：；解得：由图，可得：；解得：；由图，可得：；解得：综上可得3设；那么有：，解得例1.1.2 抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x  -2 -1 0 1 2  y  0 4 6 6 4  从上表可知，以下说法正确的个数是抛物线与x轴的一个交点为-2，0；抛物线与y轴的交点为0，6；抛物线的对称轴是x=1；在对称轴左侧y随x增大而增大A 1B 2C 3

4、D 4【答案】C【解析】 从表中知道：当x=-2时，y=0，当x=0时，y=6，抛物线与x轴的一个交点为-2，0，抛物线与y轴的交点为0，6，从表中还知道：当x=-1和x=2时，y=4，抛物线的对称轴方程为x=-1+2=0.5，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大所以正确应选C例1.1.3 二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为10，所以在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大那么x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大那么x也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：假设关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、nmn，关于x的方程x2+px+q

5、5=0的两个实数根是d、ede，那么m、n、d、e的大小关系是 A mdenB dmneC dmenD mdne【答案】B【解析】 二次函数y=x2+px+q+1图象如下图：结合图象可知方程x2+px+q5=0的两个实数根即为函数y=x2+px+q+1和y=6的交点，即dmne例1.1.4 二次函数a0的图象过点，对称轴为直线1求这个二次函数的解析式；2假设，直接写出y的取值范围；3假设一元二次方程，m为实数在的范围内有实数根，直接写出m的取值范围【答案】 123【解析】 该题考察的是二次函数的根本性质1对称轴为直线，图象过点 图象过点 .1分设二次函数解析式为 .2分图象过点 解得 即 2当

6、时，当时，当， 3分 .4分3将一元二次方程看作二次函数，可知，由2可知m的取值范围为 6分题模二：函数交点问题例1.2.1 函数的图像与轴的交点坐标为，0，0，且，那么该函数的最小值为 A 2B -2C 10D -10【答案】D【解析】 函数的图象与轴的交点坐标为，0，0，与是的两根， ，即，解得，抛物线解析式为，故最小值为例1.2.2 关于x的函数图象与坐标轴只有2个交点，那么m=_【答案】 1或0或【解析】 解：1当m-1=0时，m=1，函数为一次函数，解析式为，与x轴交点坐标为，0；与y轴交点坐标0,1，符合题意；2当时，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，那么过原点，且与x轴有两个不

7、同的交点，于是，解得，解得或将代入解析式得，符合题意；3函数为二次函数时，还有另外一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于另一点，此时，解得例1.2.3 假设关于x的一元二次方程x1x2=m有实数根x1、x2，且x1x2，有以下结论：x1=1，x2=2；m；二次函数y=x1x2m的图象对称轴为直线x=1.5；二次函数y=x1x2+m的图象与y轴交点的一定在0，2的上方其中一定正确的有只填正确答案的序号【答案】 【解析】 当m=0时，x1=1，x2=2，所以错误；方程整理为x23x+2m=0，=3242m0，解得m，所以正确；二次函数为y=x23x+2m，所抛物线的对称轴为直线x=1.5，所以

8、正确；当x=0时，y=x23x+2+m=2+m，即抛物线与y轴的交点为0，2+m，而m，所以二次函数y=x1x2+m的图象与y轴交点的一定在0，的上方，所以错误故答案为例1.2.4 关于x的方程1讨论此方程根的情况；2假设方程有两个整数根，求正整数k的值；3假设抛物线与x轴的两个交点之间的间隔 为3，求k的值【答案】 1见解析21；330；【解析】 该题考察的是二次函数与一元二次方程的综合题1当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当时，方程=0是一元二次方程，即， k为除外的任意实数时，此方程总有两个实数根 2分综上，无论k取任意实数，方程总有实数根2，= 方程的两个根是整数根，且

9、k为正整数， 当时，方程的两根为，0；当时，方程的两根为， ，3 4分3 抛物线与x轴的两个交点之间的间隔 为3，或当时，；当时，综上，-3 6分随堂练习随练1.1 “假如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根请根据你对这句话的理解，解决下面问题：假设m、nmn是关于x的方程1xaxb=0的两根，且ab，那么a、b、m、n的大小关系是 A mabnB amnbC ambnD manb【答案】A【解析】 依题意，画出函数y=xaxb的图象，如下图函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，bab方程1xaxb

10、=0转化为xaxb=1，方程的两根是抛物线y=xaxb与直线y=1的两个交点由mn，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n由抛物线开口向上，那么在对称轴左侧，y随x增大而减少，那么有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，那么有bn综上所述，可知mabn随练1.2 二次函数1当时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；2假设时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围【答案】 1；2或【解析】 该题考察的是二次函数与x轴交点问题1由题意，得当时，解得，该二次函数的图象与x轴的交点坐标为，. 2分2抛物线的对称轴为3分 假设抛物线与x轴只有一个交点，那么交点为. 有，解得. 4分 假

11、设抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，那么有 当时， 0，解得. 当时，解得. .6分综上所述，c的取值范围是或.随练1.3 二次函数，a，b，c是常数中，自变量x与函数y的对应值如下表：假设，那么一元二次方程的两个根，的取值范围是 A ，B ，C ，D ，【答案】A【解析】 ，；由表中的数据可知，在与之间，故对应的的值在与0之间，故随练1.4 假设二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为m，0，n，0，且，图象上有一点C3，P在x轴下方，那么以下判断正确的选项是 A B C D 以上都不对【答案】D【解析】 A二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为m，0，n，0，且，故A错误；B的符号不能确定

12、，B错误；C当时，点C3，P在x轴下方，当时，假设点在对称轴的左侧，那么，假设点在对称轴的右侧，那么，那么C错误随练1.5 1关于x的方程有两实根，一个根小于1，另一个根大于1，务实数k的取值范围；2二次方程两根，分别属于和，求m的取值范围【答案】 1或；2【解析】 1令，；由题，即或；2由题 ，那么，随练1.6 假设关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，那么a的值为_【答案】 ，或【解析】 关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，所以可以分如下三种情况：当函数为一次函数时，有，此时，与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；函数与x轴有一个交点，解得；函数为二次

13、函数时，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，当，此时，与坐标轴有两个交点随练1.7 二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，那么以下结论：方程的两根为，；当时，；，；，其中正确结论的序号是_【答案】 【解析】 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为令方程的两个根，故该结论正确；由于k值不确定，所以抛物线的开口方向可能向下，故该结论不一定成立；根据一元二次方程根与系数的关系，得，那么，故该结论成立；，由于k的符号不确定，故该项错误随练1.8 抛物线的对称轴为，假设关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，那么的取值范围是 A B C 或D 或【答案】D【解析】

14、 由对称轴可知，抛物线，令时，；时，；关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，当时，即，此时，满足题意；当时，此时，在的范围内与轴有交点，；当，此时或，不满足题意；的范围：或，应选D随练1.9 关于x的一元二次方程1求证：该方程必有两个实数根2假设该方程只有整数根，求k的整数值3在2的条件下，在平面直角坐标系中，假设二次函数与x轴有两个不同的交点A和BA在B左侧，并且满足，求m的非负整数值【答案】 1见解析231【解析】 该题考察的是一元二次方程综合1该方程必有两个实数根 -1分2 -3分方程只有整数根， 应为整数，即应为整数k为整数 -4分3根据题意，即， -5分，此时， 二次函数为

15、二次函数与x轴有两个不同的交点A和BA在B左侧m为非负整数或 -6分当时，二次函数为，此时， 不满足 -7分当时，二次函数为，此时， 满足 -8分自我总结 课后作业作业1 假设、是一元二次方程的实根，且满足，那么m的取值范围是_【答案】 【解析】 该题考察的是一元二次方程与二次函数的关系由题意，即二次函数与x轴的两个交点横坐标分别为二次函数过点，故作业2 抛物线， 1假设，求该抛物线与轴公共点的坐标；2假设，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；3假设，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？假设有，有几个，证明你的结论；假设没有，阐述理由【答案】 1解析式

16、为；公共点坐标为和2或3在范围内，该抛物线与轴有两个公共点【解析】 该题考察的是二次函数综合1当，时，抛物线为，方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 12当时，抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 2当时，由方程，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 3当时， 时，时，由时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有 即解得综上，或 43对于二次函数，由时，；时，又，于是而，即 5关于的一元二次方程的判别式抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方6又该抛物线的对称轴，由，得， .7又由时，；时，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 8作业3 以下关于函数的图

17、象与坐标轴的公共点的情况：当时，有三个公共点；时，只有两个公共点；假设只有两个公共点，那么；假设有三个公共点，那么其中描绘正确的选项是 A 一个B 两个C 三个D 四个【答案】A【解析】 令，可得出，当，时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；当时，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；假设只有两个公共点，或，故错误；综上只有正确作业4 二次函数与x轴交于，两点，其中点是个定点，分别在原点的两侧，且，那么直线与x轴的交点坐标为_【答案】 或【解析】 ，分别在原点的两侧， 点在左侧，且，设，那么，二次函数与x轴的交点就是方程的根，解得或；当时， 直线为直线，与x轴的交

18、点坐标为；当时， 直线为直线，与x轴的交点坐标为不合题意舍去；故直线与x轴的交点坐标为作业5 在平面直角坐标系中，抛物线：1当抛物线经过点-5，6时，求抛物线的表达式及顶点坐标；2假设抛物线：与x轴的交点的横坐标都在和0之间不包括-1和0，结合函数的图象，求m的取值范围；3参考2小问考虑问题的方法解决以下问题：关于x的方程在范围内有两个解，求的取值范围【答案】 1，顶点坐标为-2，-3；2；3【解析】 1抛物线经过点-5，6，解得抛物线的表达式为 抛物线的顶点坐标为-2，-3；2抛物线：与x轴的交点的横坐标都在和0之间，当时，且，即，解得：；3方程的解即为方程的解，而方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标方程在范围内有两个解，当时，时，且，即解得：作业6 关于的一元二次方程有两个不等的实根，1求的取值范围；2假设取小于的整数，且此方程的解为整数，那么求出此方程的两个整数根；3在2的条件下，二次函数与轴交于A、B两点A点在B点的左侧，D点在此抛物线的对称轴上，假设，求点D的坐标【答案】 12，3或【解析】 该题考察的是二次函数综合1方程有两个不等的实根， 1分即解得2分2取小于1的整数或 3分