固定收益证券的估值定价与计算ppt课件

1、第第 一节一节 模型及基态性质模型及基态性质v一、模型一、模型v二、单电子本征态和本征能量二、单电子本征态和本征能量v三、基态和基态的能量三、基态和基态的能量本节主要内容：本节主要内容： 自由电子气自由电子气( (自由电子费米气体自由电子费米气体) )：自由的、：自由的、无相互作用的无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。、遵从泡利原理的电子气。 一、索末菲模型1.1 1.1 模型及基态性质模型及基态性质1 1忽略金属中电子和离子实之间的相互作用忽略金属中电子和离子实之间的相互作用 自由电子假设自由电子假设 (free electron (free electron approximation)

2、approximation)2 2 忽略金属中电子和电子之间的相互作用忽略金属中电子和电子之间的相互作用 独立电子假设独立电子假设 (independent electron (independent electron approximation)approximation) 3 3 价电子速度服从费米价电子速度服从费米狄拉克分布狄拉克分布自由电自由电 子费米气体子费米气体 （free electron Fermi gas)free electron Fermi gas) 4 4 不考虑电子和金属离子之间的碰撞不考虑电子和金属离子之间的碰撞 (No collision) (No collisi

3、on) 由索末菲的假定由索末菲的假定, ,金属晶体尽管是复杂的金属晶体尽管是复杂的多体系统多体系统, ,但是对于其中的价电子来说但是对于其中的价电子来说, ,每一个每一个价电子都有一个对应的波函数价电子都有一个对应的波函数, ,该波函数可由该波函数可由量子力学中单电子的定态薛定谔方程得到量子力学中单电子的定态薛定谔方程得到. .下下面我们首先利用量子力学原理讨论温度为零时面我们首先利用量子力学原理讨论温度为零时单电子的本征态和本征能量单电子的本征态和本征能量, ,并由此讨论电子并由此讨论电子气的基态和基态能量气的基态和基态能量. . 二、单电子本征态和本征能量二、单电子本征态和本征能量建立单电

4、子的运动方程建立单电子的运动方程-薛定谔方程薛定谔方程处理该问题的思路：处理该问题的思路：选择一个研究对象选择一个研究对象 - - 简单金属固体简单金属固体利用索末菲模型利用索末菲模型 - - 单电子问题单电子问题求解薛定谔方程求解薛定谔方程-本征态和本征能量本征态和本征能量 由自由电子气体模型，由自由电子气体模型， N 个原子和个原子和N 个电子个电子的多体问题转化为单电子问题。的多体问题转化为单电子问题。 自由电子数目为：自由电子数目为：N 为计算方便为计算方便,设金属是边长为设金属是边长为 L 的立方体，的立方体，内有内有N个原子，一个原子提供个原子，一个原子提供1个价电子。个价电子。

5、则金属的体积则金属的体积: V=L3 按照量子力学假设，单电子的状态用波函按照量子力学假设，单电子的状态用波函数数 描画描画, ,且满足薛定谔方程。且满足薛定谔方程。( )r 其中：其中：V(r)为电子在金属中的势能，为电子在金属中的势能，为电为电子的本征能量子的本征能量 对边长为对边长为L 的立方体，在自由电子气体模型下的立方体，在自由电子气体模型下可设势阱的深度是无限的。取坐标轴沿着立方可设势阱的深度是无限的。取坐标轴沿着立方体的三个边，则粒子势能可表示为：体的三个边，则粒子势能可表示为：1.1.薛定谔方程及其解薛定谔方程及其解LzyxzyxV ,0; 0),(LzyxzyxzyxV ,

6、0,),(以及以及22( )( )( )2V rrrm 在自由电子模型下，由于忽略了电子和离在自由电子模型下，由于忽略了电子和离子实、电子和电子之间的相互作用，所以金属子实、电子和电子之间的相互作用，所以金属内部的相互作用势能可取为零。内部的相互作用势能可取为零。因而薛定谔方程变为：因而薛定谔方程变为：22( )( )2rrm - - 电子的本征能量电子的本征能量 -电子的波函数电子的波函数(是电子位矢是电子位矢 的函数的函数)r C 为归一化常数为归一化常数由正交归一化条件：由正交归一化条件： 这和电子在自由空间运动的方程一样，方这和电子在自由空间运动的方程一样，方程有平面波解：程有平面波解

7、：22()()2rrm( )ik rkrCe2( )1kVrdr31,CVVL 所以，波函数可写为：所以，波函数可写为：1( )ik rkreV 为波矢，其方向为平面波的传播方向为波矢，其方向为平面波的传播方向k 的大小与电子的德布罗意波长的关系为：的大小与电子的德布罗意波长的关系为：k2k把波函数把波函数1( )ik rkreV得到电子的本征能量：得到电子的本征能量：2. 2. 电子的动量电子的动量代入薛定谔方程代入薛定谔方程222km)(22222zyxkkkm 将动量算符将动量算符作用于电子的波函数得：作用于电子的波函数得： pi 所以所以 也是动量算符的本征态也是动量算符的本征态 3.

8、 3. 电子的速度电子的速度1)( )()(ik rkkierVirkr 确定的动量确定的动量 电子处在电子处在1( )ik rkreV态时，电子有态时，电子有pkpkvmm相应的能量相应的能量:22222212122kkmmvmm 边界条件的选取，既要考虑电子的实际运动边界条件的选取，既要考虑电子的实际运动情况表面和内部）；又要考虑数学上可解。情况表面和内部）；又要考虑数学上可解。4. 4. 波矢波矢 的取值的取值k波矢波矢 的取值应由边界条件来确定的取值应由边界条件来确定k 即电子的能量和动量都有经典对应，但是即电子的能量和动量都有经典对应，但是, ,经典中的平面波矢经典中的平面波矢 可取

9、任意实数，对于电子可取任意实数，对于电子来说，波矢来说，波矢 应取什么值呢？应取什么值呢？kk常用边界条件常用边界条件 人们广泛使用的是周期性边界条件人们广泛使用的是周期性边界条件periodic boundary condition),又称为波恩又称为波恩-卡门卡门Born-von Karman)边条件边条件周期性边界条件周期性边界条件驻波边界条件驻波边界条件, , , , , ,x y zxy zx yLzx yzx y zx y zLL亦即：显然，对于一维显然，对于一维()( )xLx 一维情形下，相当于首尾相接成环，从而一维情形下，相当于首尾相接成环，从而既有有限尺寸，又消除了边界的存

10、在。既有有限尺寸，又消除了边界的存在。 三维情形，可想象成三维情形，可想象成L3的立方体在三个方的立方体在三个方向平移，填满了整个空间，从而当一个电子运向平移，填满了整个空间，从而当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是进入相对表动到表面时并不被反射回来，而是进入相对表面的对应点。面的对应点。波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。 周期性边条件恰好满足上述行波的特点，周期性边条件恰好满足上

11、述行波的特点，表明了选取该边条件的合理性表明了选取该边条件的合理性 将周期性边界条件代入电子的波函数得：将周期性边界条件代入电子的波函数得：, , , , , ,x Lyzxyzxy Lzxyzxyz Lxyz 111LikLikLikZYxeee2;2;2;xxyyzznkLnkLnkL1( )ik rkreVWhere the quantity nx, ny, nz are any integer222km)(22222zyxkkkm 以波矢以波矢 的三个分量的三个分量 为坐标轴为坐标轴的空间称为波矢空间或的空间称为波矢空间或 空间。空间。kk,xyzk kk5. 波矢空间波矢空间( -s

12、pace)和和 空间的态密度空间的态密度kk 所以，周期性边条件的选取，导致了波矢所以，周期性边条件的选取，导致了波矢 取值的量子化，从而，单电子的本征能量也取取值的量子化，从而，单电子的本征能量也取分立值，形成能级。分立值，形成能级。k nx, ny, nz 取值为整数，意味着波矢取值为整数，意味着波矢 取值是取值是量子化的。量子化的。k金属中自由电子波矢：金属中自由电子波矢：nx, ny, nz 取值为任意整数取值为任意整数 由于波矢由于波矢 取值是量子化的，它是描述金属取值是量子化的，它是描述金属中单电子态的适当量子数，所以，在中单电子态的适当量子数，所以，在 空间中空间中许可的许可的

13、值是用分立的点来表示的。每个点表值是用分立的点来表示的。每个点表示一个允许的单电子态。示一个允许的单电子态。kkk 所以，代表点单电子态在所以，代表点单电子态在 空间是均空间是均匀分布的。匀分布的。kLnk,Lnk,Lnkzzyyxx222 由波矢的取值特点，可以看出：由波矢的取值特点，可以看出：1) 1) 在波矢空间每个在波矢空间每个( (波矢波矢) )状态代表点占有的状态代表点占有的 体积为：体积为：(2) (2) 波矢空间状态密度波矢空间状态密度( (单位体积中的状态代单位体积中的状态代 表点数表点数):):3322(22(2 )xyzkkkLLLVLk 333312(2 )()18kL

14、VkL三、基态和基态能量三、基态和基态能量 前面得到了索末菲模型下单电子的本征态前面得到了索末菲模型下单电子的本征态和本征能量，那么，如何得到系统的基态和和本征能量，那么，如何得到系统的基态和基态能量呢？基态能量呢？1.N 1.N 个电子的基态、费米球、费米面个电子的基态、费米球、费米面电子的分布满足：能量最小原理电子的分布满足：能量最小原理 和和 泡利不泡利不相容原理相容原理我们已知在波矢空间状态密度：我们已知在波矢空间状态密度：381kVk 考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，的两个电子，则单位相体积可容纳的电子数为：则单位相体积可容纳的

15、电子数为： 我们已知自由电子费米气体的单电子能级的我们已知自由电子费米气体的单电子能级的能量能量(本征能）本征能）332284kVV N电子的基态电子的基态(T=0K)，可从能量最低的，可从能量最低的 =0 态开始，从低到高，依次填充而得到态开始，从低到高，依次填充而得到,每个每个 态态两个电子。两个电子。kk在在 空间中，具有相同能量的代表点所构成的空间中，具有相同能量的代表点所构成的面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为球面。球面。( ( 一定）一定）k222222( )()22xyzkkkkkmm22222xyzmkkk由于由于N很大，在很大，在

16、 空间中，空间中，N个电子的占据区个电子的占据区最后形成一个球，即所谓的费米球最后形成一个球，即所谓的费米球Fermi sphere)。k费米球相对应的半径称为费米波矢费米球相对应的半径称为费米波矢Fermi wave vector).用用 kF 来表示。来表示。 在在k空间中，把空间中，把N个电子的占据区和非占据区个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面分开的界面叫做费米面(Feimi surface) 基态时基态时(T=0k)(T=0k)，电子填充的最高能级，电子填充的最高能级, ,称为费称为费米能级米能级 F F基态时基态时(T=0k)(T=0k)，N N个电子填满整个费米球，所个电

17、子填满整个费米球，所以：以：334238FkNV所以，费米波矢所以，费米波矢 kF 为为:n为电子密度为电子密度 从而，相关的电子的费米能量从而，相关的电子的费米能量F 、费米动量、费米动量 pF、费米速度、费米速度 F、费密温度、费密温度TF等都可以表示等都可以表示为电子密度为电子密度n的函数的函数,这也就是前面我们所提到这也就是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度的自由电子气体模型可用电子密度n来描述，来描述，而且，而且，n是仅有的一个独立参量的原因。是仅有的一个独立参量的原因。334238FkNV32233FNknV 对于给定的金属对于给定的金属,价电子密度是已知的价电子密度是已

18、知的.由此由此,我我们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等速度、费米温度等.计算结果显示费米波矢一般计算结果显示费米波矢一般在在108cm-1量级量级,费米能量为费米能量为1.515 eV、费米、费米速度在速度在108 cm/s量级、费米温度在量级、费米温度在105 K量级量级.222223(3);22FFknmm;FFFFFFBkpkvTmk由此，单位体积自由电子气体的基态能量为：由此，单位体积自由电子气体的基态能量为：22022FkkkVEuVm 考虑到电子数密度很大考虑到电子数密度很大, ,因而上述求和可过渡到因而上述求和可过渡到

19、积分积分. .3(2 )kV 31(2 )kV2. 2. 基态能量基态能量 自由电子气体的基态能量自由电子气体的基态能量E E，可由费密球内，可由费密球内所有单电子能级的能量相加得到。所有单电子能级的能量相加得到。2222FkkkEm因子因子2 2源于泡利原理源于泡利原理变为积分得：变为积分得：2223250221018FFkkkkEmdukVm24dkk dk代入代入将将31(2 )kV22022Fk kkVEuVm得：得：2032228FkkkEukVm所以，单位体积自由电子气体的基态能为：所以，单位体积自由电子气体的基态能为：考虑到：考虑到：得到：得到：2250101FkEumV3223

20、3FNknV2202FFkm 和和2500210135FFkEunmV 由此可得每个电子的平均能量为：由此可得每个电子的平均能量为：2500210135FFkEunmV035FnVNEE 上述求解是在上述求解是在 空间进行的，涉及到矢量积空间进行的，涉及到矢量积分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此，分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此，人们常把对人们常把对 的积分化为对能量的积分，从的积分化为对能量的积分，从而引入能态密度。而引入能态密度。kk3.3.能态密度能态密度(1)(1)定义定义: : 若在能量若在能量EE+dE 范围内存在范围内存在 N个单电子个单电子态，则能态密度态，则能态密度N(

21、E)定义为：定义为： 0()limENdNN EEdE 能量能量E附近单位能量间隔内，包含自旋的单附近单位能量间隔内，包含自旋的单电子态数，称为能态密度电子态数，称为能态密度 教材中引入的是单位体积的能态密度，即单教材中引入的是单位体积的能态密度，即单位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋的位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋的单电子态数，用单电子态数，用g()表示。表示。 显然，能量显然，能量 +d +d 范围内存在的范围内存在的单电子态数为：单电子态数为： 对于费米球内的自由电子来说，在对于费米球内的自由电子来说，在k k空间中空间中 +d +d 的等能面球壳，分别对应的等能面球壳，分别

22、对应k k k+d k. k+d k.( )dNVgd 下面计算自由电子气体模型下单位体积的下面计算自由电子气体模型下单位体积的能态密度。能态密度。思绪：利用在思绪：利用在k k空间中波矢密度公式，考虑泡空间中波矢密度公式，考虑泡利原理，求得能量间隔在利原理，求得能量间隔在d d 内的单电子态内的单电子态数目数目dN dN 即可。即可。k空间中，空间中，k k+d k对应的体积：对应的体积：24dkk dk我们已知在波矢空间状态密度：我们已知在波矢空间状态密度：381kVk所以，能量间隔在所以，能量间隔在d d 内的单电子态数目内的单电子态数目dN dN 为：为： 由自由电子的本征能量公式：由

23、自由电子的本征能量公式：23248NkddVk1221;(2)dkkmdmk222km 所以：所以：又：又：所以，单位体积的能态密度：所以，单位体积的能态密度：1132223(2)mddNV(d)dVgN23211321( )(2)gm12( )gC132231(2)Cm与电子本征能量与电子本征能量 的平方根成正的平方根成正比比. 能态密度与系统的维度有关，上述结果仅能态密度与系统的维度有关，上述结果仅是三维自由电子气的结果，如果是一维自由电是三维自由电子气的结果，如果是一维自由电子气系统，则等能面变为两个等能点；二维自子气系统，则等能面变为两个等能点；二维自由电子气系统，则等能面变为等能线，

24、相应的由电子气系统，则等能面变为等能线，相应的能态密度为能态密度为: :一维自由电子的能态密度：一维自由电子的能态密度：( )1/g( )gC与电子本征能量与电子本征能量 的平方的平方根成反比根成反比.二维自由电子的能态密度：二维自由电子的能态密度： 从统计物理的角度出发从统计物理的角度出发, ,低能激发态被热运动低能激发态被热运动激发的概率比高能激发态大得多激发的概率比高能激发态大得多. .如果低能激发如果低能激发态的能态密度大态的能态密度大, ,体系的热涨落就强体系的热涨落就强, ,相应的有相应的有序度降低或消失序度降低或消失, ,不易出现有序相不易出现有序相. .也就是说也就是说, ,低

25、低能激发态的能态密度的大小影响着体系的有序能激发态的能态密度的大小影响着体系的有序度和相变度和相变. . 三维自由电子体系三维自由电子体系, ,在低能态的能态在低能态的能态密度趋于零密度趋于零, ,因而低温下所引起的热涨落极小因而低温下所引起的热涨落极小, ,体系可具有长程序体系可具有长程序; ;对一维自由电子体系来说，对一维自由电子体系来说，在低能态的能态密度很大在低能态的能态密度很大, ,而且随能量的降低而而且随能量的降低而趋于无穷趋于无穷, ,因而低温下所引起的热涨落极大，导因而低温下所引起的热涨落极大，导致一维体系不具长程序致一维体系不具长程序. . 利用单位体积的能态密度，同样可求得

26、自利用单位体积的能态密度，同样可求得自由电子气在基态时的总能量由电子气在基态时的总能量E(E(费米球内所有单费米球内所有单电子能级和和基态时每个电子的平均能量。电子能级和和基态时每个电子的平均能量。基态能量：基态能量：00( )FgVEd05020122()5FFCCVdV25210FkVm 二维自由电子体系的能态密度是常数二维自由电子体系的能态密度是常数, ,介于一介于一维和三维中间维和三维中间, ,体系可具有准长程序体系可具有准长程序, ,而且极易而且极易出现特殊相变出现特殊相变, ,导致新的物理现象导致新的物理现象. .如二维电子如二维电子气系统中的量子霍尔效应、分数统计等现象气系统中的

27、量子霍尔效应、分数统计等现象. . 这和前面的计算结果一致。这和前面的计算结果一致。 类似的基态时每个电子的平均能量为：（同类似的基态时每个电子的平均能量为：（同学们课下自己推算）（学们课下自己推算）（See P8)See P8)由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。00000( )/(5)3FFFEgVdgVdN 按照经典的自由电子气体按照经典的自由电子气体Drude)Drude)的模型，的模型，电子在电子在T=0T=0时的平均能量为零。时的平均能量为零。 在统计物理

28、中，把体系与经典行为的偏离，在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性称为简并性(degeneracy). (degeneracy). 因此，在因此，在T=0KT=0K时，时，金属自由电子气是完全简并的。金属自由电子气是完全简并的。系统简并性的判据是：系统简并性的判据是： 0FBk T因此因此, ,只要温度比费米温度低很多只要温度比费米温度低很多, ,电子气就电子气就是简并的是简并的. .由于费米能量在几个电子伏特由于费米能量在几个电子伏特, ,而而室温下的热扰动能大约为室温下的热扰动能大约为0.0260.026电子伏特电子伏特, ,所所以室温下电子气也是高度简并的以室温下电子气也是高度简并的. .需要指出需要指出的是这里电子气简并的概念与量子力学中的的是这里电子气简并的概念与量子力学中的简并毫无关系简并毫无关系, ,量子力学中的简并通常指不量子力学中的简并通常指不同状态对应相同能量的情形同状态对应相同能量的情形. . 利用利用N电子系统的能量表示式可以导出