高中数学解题基本方法——换元法

1、高中数学解题基本方法换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换

2、元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r>0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为

3、三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和0,。、再现性题组：1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f(x1)log(4x) （a>1），则f(x)的值域是_。3.已知数列a中，a1，a·aaa，则数列通项a_。4.设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) ·log(22)2的解集是_。【简解

4、】1小题：设sinx+cosxt,，则yt，对称轴t1，当t，y；2小题：设x1t (t1)，则f(t)log-(t-1)4，所以值域为(,log4；3小题：已知变形为1,设b，则b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小题：设xyk，则x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小题：设3y，则3y2y10,解得y，所以x1；6小题：设log(21)y，则y(y1)<2，解得2<y<1，所以x(log,log3)。、示范性题组：例1. 实数x、y满足4x5xy4y5 （ 式） ，设Sxy，求的值。（93年全国高中数学联赛题）【分析】 由Sxy联想到cossin1,于是进行三

5、角换元，设代入式求S和S的值。【解】设代入式得： 4S5S·sincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2的有界性而求，即解不等式：|1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】 由Sxy，设xt，yt，t， 则xy±代入式得：4S±5=5， 移项平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件Sxy与三角公式cossin1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种

6、解法属于“均值换元法”，主要是由等式Sxy而按照均值换元的思路，设xt、yt，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设xab，yab，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设xab，yab，代入式整理得3a13b5 ，求得a0,，所以S(ab)(ab)2(ab)a,，再求的值。例2 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B，求cos的值。（96年全国理）【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“AC120

7、°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cos即cos。【解】由ABC中已知AC2B，可得 ,由AC120°，设，代入已知等式得：2,解得：cos， 即：cos。【另解】由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，设m，m ，所以cosA，cosC，两式分别相加、相减得：cosAcosC2coscoscos，cosAcosC2sinsinsin，即：sin，代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6，代入cos。【注】 本题两种解法由“AC120°”、“2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元

8、外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由AC2B，得AC120°，B60°。所以2，即cosAcosC2cosAcosC，和积互化得：2coscoscos(A+C)cos(A-C)，即coscos(A-C)(2cos1)，整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 设a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。【解】 设sinxcosxt，则t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx f(x)g(t)(

9、t2a) （a>0），t-,t-时，取最小值：2a2a当2a时，t，取最大值：2a2a ；当0<2a时，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值为2a2a，最大值为。【注】 此题属于局部换元法，设sinxcosxt后，抓住sinxcosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t-,）与sinxcosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与c

10、osx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2x loglog>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设logt，则loglog3log3log3t，log2log2t，代入后原不等式简化为（3t）x2tx2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：，解得 t<0即log<00<

11、<1，解得0<a<1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。例5. 已知，且 (式)，求的值。【解】 设k，则sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：设t，则t , 解得：t3或 ±或±

12、【另解】 由tg，将等式两边同时除以，再表示成含tg的式子：1tgtg，设tgt，则3t10t30，t3或， 解得±或±。【注】 第一种解法由而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为，不难发现进行结果为tg，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。例6. 实数x、y满足1，若xyk>0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件1，可以发现它与ab1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由1，设cos，sin，即： 代入不等式xyk>0得：3cos4sink>0，即k<3cos4

13、sin5sin(+) 所以k<-5时不等式恒成立。【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 y x xyk>0 k 平面区域本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc>0 (a>0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk>0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k<-3时原不等式恒成立。、巩固性题组：1. 已知f(x)lgx (x>0)，则f(4)的值为_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函数y(x1)2的单调增区间是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列a的公差d，且S145，则aaaa的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，则xy的范围是_。5. 已知a0，b0，