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文档简介

1、高中解析几何专题(精编版)1. (天津文)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2。点满足 ()求椭圆的离心率; ()设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆相交于M,N两点,且,求椭圆的方程。【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。 ()解:设,因为,所以,整理得(舍)或 ()解:由()知,可得椭圆方程为,直线FF2的方程为A,B两点的坐标满足方程组消去并整理,得。解得,得方程组的解不妨设,所以于是圆心到直

2、线PF2的距离因为,所以整理得,得(舍),或所以椭圆方程为2. 已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(I)求椭圆G的方程;(II)求的面积.【解析】解:()由已知得解得又所以椭圆G的方程为()设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E,则因为AB是等腰PAB的底边,所以PEAB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程为解得所以所以|AB|=.此时,点P(3,2)到直线AB:的距离所以PAB的面积S=3. (全国大纲文)已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交与A、B两点

3、,点P满足()证明:点P在C上; (II)设点P关于O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上。【解析】22解:(I)F(0,1),的方程为,代入并化简得2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证,点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。 (II)由和题设知, PQ的垂直一部分线的方程为设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线为的方程为由、得的交点为故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上。4. (全国新文)在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上(I)求圆C

4、的方程;(II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值【解析】解:()曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=1.则圆C的半径为所以圆C的方程为()设A(),B(),其坐标满足方程组:消去y,得到方程由已知可得,判别式因此,从而由于OAOB,可得又所以由,得,满足故5. (辽宁文)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线lMN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D(I)设,求与的比值;(II)当e变化时,是否存在直线l,使得BOAN

5、,并说明理由【解析】解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 4分当表示A,B的纵坐标,可知 6分 (II)t=0时的l不符合题意.时,BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即解得因为所以当时,不存在直线l,使得BO/AN;当时,存在直线l使得BO/AN. 12分6. (江西文)已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于和两点,且,(1)求该抛物线的方程;(2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值【解析】19(本小题满分12分) (1)直线AB的方程是,与联立,从而有所以:由抛物线定义得:所以p=4,从而抛物线方程是 (2

6、)由可简化为从而设又即解得7. (山东文)22(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点()求的最小值;()若,(i)求证:直线过定点;(ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由【解析】22(I)解:设直线,由题意,由方程组得,由题意,所以设,由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点,因此此时所以OE所在直线方程为又由题设知D(-3,m),令x=-3,得,即mk=1,所以当且仅当m=k=1时上式等号成立,此时 由得因此 当时,取最小值2。 (II)(i)由(I)知OD

7、所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程,并由解得,又,由距离公式及得由因此,直线的方程为所以,直线(ii)由(i)得若B,G关于x轴对称,则代入即,解得(舍去)或所以k=1,此时关于x轴对称。又由(I)得所以A(0,1)。由于的外接圆的圆心在x轴上,可设的外接圆的圆心为(d,0),因此故的外接圆的半径为,所以的外接圆方程为8. (陕西文)17(本小题满分12分)设椭圆C: 过点(0,4),离心率为()求C的方程;()求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。【解析】17解()将(0,4)代入C的方程得  b=4又 得即,  a=5 C的方程为( 

8、;)过点且斜率为的直线方程为,设直线与的交点为,将直线方程代入的方程,得,即,解得, AB的中点坐标,即中点为。注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。9. (上海文)22(16分)已知椭圆(常数),点是上的动点,是右顶点,定点的坐标为。(1)若与重合,求的焦点坐标;(2)若,求的最大值与最小值;(3)若的最小值为,求的取值范围。【解析】22解: ,椭圆方程为, 左右焦点坐标为。 ,椭圆方程为,设,则 时; 时。 设动点,则 当时,取最小值,且, 且解得。10. (四川文)21(本小题共l2分)过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点、,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于

9、点P,直线AC与直线BD交于点Q(I)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;()当点P异于点B时,求证:为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识,考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解:()由已知得,解得,所以椭圆方程为椭圆的右焦点为,此时直线的方程为 ,代入椭圆方程得,解得,代入直线的方程得 ,所以,故()当直线与轴垂直时与题意不符设直线的方程为代入椭圆方程得解得,代入直线的方程得,所以D点的坐标为又直线AC的方程为,又直线BD的方程为,联立得因此,又所以故为定值11. (浙江文)(22)(本小题满分15分)如图,设P是抛物线:上的动点。过点做圆的两条切线,交直线:

10、于两点。 ()求的圆心到抛物线 准线的距离。()是否存在点,使线段被抛物线在点处得切线平分,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。【解析】(22)本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、直线与圆的位置关系,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。 ()解:因为抛物线C1的准线方程为:所以圆心M到抛物线C1准线的距离为: ()解:设点P的坐标为,抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。再设A,B,D的横坐标分别为过点的抛物线C1的切线方程为:(1)当时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为:可得当时,过点P(1,1)与圆C2的切线PA为:可得所以设切线PA,PB的斜率为,

11、则 (2)(3)将分别代入(1),(2),(3)得从而又即同理,所以是方程的两个不相等的根,从而因为所以从而进而得综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为12. (重庆文)21(本小题满分12分。()小问4分,()小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是 ()求该椭圆的标准方程; ()设动点P满足:,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,问:是否存在定点F,使得与点P到直线l:的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由。【解析】21(本题12分)解:(I)由解得,故椭圆的标准方程为 (II)设,则由得因为点M,N在椭圆上,所以,故

12、设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点,该椭圆的右焦点为,离心率是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点,使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。13. (安徽文)(17)(本小题满分13分)设直线(I)证明与相交;(II)证明与的交点在椭圆【解析】(17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力.证明:(I)反证法,假设是l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. (II)

13、(方法一)由方程组解得交点P的坐标为而此即表明交点(方法二)交点P的坐标满足整理后,得所以交点P在椭圆14. (福建文)18(本小题满分12分)如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A。(I)求实数b的值;(11)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程。【解析】18本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,满分12分。解:(I)由,(*)因为直线与抛物线C相切,所以解得b=-1。(II)由(I)可知,解得x=2,代入故点A(2,1),因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离

14、,即所以圆A的方程为15. (湖北文)21(本小题满分14分)平面内与两定点、()连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。()求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;()当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在上,是否存在点,使得的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。【解析】21本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分) 解:(I)设动点为M,其坐标为, 当时,由条件可得即,又的坐标满足故依题意,曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦

15、点在y轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为当时,C2的两个焦点分别为对于给定的,C1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时,存在点N,使S=|m|a2;当或时,不存在满足条件的点N,当时,由,可得令,则由,从而,于是由,可得综上可得:当时,在C1上,存在点N,使得当时,在C1上,存在点N,使得当时,在C1上,不存在满足条件的点N。16. (湖南文)21(本小题满分13分)已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1 ()求动点的轨迹的

16、方程; ()过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.【解析】21解析:(I)设动点的坐标为,由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为 (II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为由,得设则是上述方程的两个实根,于是 因为,所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时,取最小值1617. (广东文)21(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足MPO=AOP(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标

17、;(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。【解析】21(本小题满分14分)解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,因此即另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。MQ为线段OP的垂直平分线,又因此M在轴上,此时,记M的坐标为为分析的变化范围,设为上任意点由 (即)得,故的轨迹方程为综合和得,点M轨迹E的方程为18. (江苏)18如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k(1)当直线PA平分线段MN,求k的值;(2)当k=2时,求点P到

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