习题课1函数与极限ppt课件

1、二、延续与延续二、延续与延续一、一、 函数函数 三、极限及其计算三、极限及其计算习题课习题课函数与极限函数与极限 第一章 )(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域 值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 普通为曲线 )设,RD函数为特殊的映射:其中2. 函数的特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数)(:DfDf设函数为单射, 反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg那么复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数有限个常数及根本初等函数经有

2、限次四那么运算与复复合而成的一个表达式的函数.例例1. 设函数设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 xxxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx设其中).(xf求令即即令即画线三式联立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例2.2.1 以下

3、各种关系式表示的 y 能否为 x 的函数? 为什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y思索与练习思索与练习2. 设设,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定义域 .3. 知知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f4. 设设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x2. 解解:e)(x2 f3. 知知8,)5(8,3)(xxffxxxf

4、, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f64. 设设,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12xxfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf二、二、 延续与延续延续与延续1. 函数延续的等价方式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0时当 xx有)()(0 xfxf2. 函数延续点第一类延续点第二类延续点可去延续点腾跃延续点无穷延续点振荡延续点有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ;

5、介值定理 .3. 闭区间上延续函数的性质例例3. 设函数设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 延续 , 那么 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e) 1)()(xaxbexfx有无穷延续点0 x及可去延续点, 1x解解:为无穷延续点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去延续点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例4

6、. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .例例5. 设设 f (x) 定义在区间定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 假设 f (x) 在延续,0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且对恣意实数证明 f (x) 对一切 x 都延续 .三、三、 极限及其计算极限及其计算1. 极限定义的等价方式 (以 为例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 为无穷小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 极限存在准那么及极限运算法那么3. 无

7、穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判别极限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x5. 求极限的根本方法 例例6. 求以下极限：求以下极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsi

8、n)2( 0limtttt)2( 2xxsin120lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e那么有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 假假设设,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin

9、1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式练习练习.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求例例7. 确定常数确定常数 a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0公式3322()()abab aabb2420ln()limln()xxxxexe 22242420003111111111222ln()limlimlimln()xxxxxxxxxexxexexIexexexx 例例8. 8. 求极限：求极限： 解

10、：解： 2lim arccos()xxxx 解解: : 由复合函数的极限法那么由复合函数的极限法那么22123arccos lim ()arccos( lim)arccosxxxIxxxxxx 例例9. 9. 求极限：求极限： 例例9. 求极限函数：求极限函数： 2ln()( )limnnnexf xn 22()nnxx 解解 留意到留意到2xe ，应以，应以为分界点为分界点221ln()ln( )limlimnnnenf xnn 2xe 当 时；22111ln()ln()( )limlimnnnnnxxeneef xnn 2xe 当 时；当 时2xe 2221ln()( )limlnnnne

11、xxf xxn 例例10. 当当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为设其为x的k阶无穷小,那么kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k证证明明奇奇次次多多项项式式： 1221120)( nnnaxaxaxP)0(0 a至至少少存存 在在一一个个实实根根 . . 例例11证明证明改改写写为为连连续续。将将在在已已知知多多项项式式)()(xPRxP)()(12121012 nnnxaxaaxxP )(lim)(lim00 xPxPaxx与与，有有不不妨妨设设. 0)(0)(, 0 rPrPr与与使使于于

12、是是，由零点定理，由零点定理，使使内内至至少少存存在在一一点点在在0)(),( Prr即奇次多项式即奇次多项式P(x)至少存在一个实根。至少存在一个实根。例例1212).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设证明证明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:, 0)0( F若若, 0 则则);0()210(ff , 0)21( F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若, 0)21(

13、, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零点定理知由零点定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1 , 021, 0 必有一点必有一点.)()21(成成立立使使 ff 阅读与练习阅读与练习1. 求的延续点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去延续点)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷延续点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类腾跃延续点 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401