ch多维随机变量PPT课件

1、3.1 二维随机变量的联合分布一、 多维随机变量1.1.定义定义( (p41)p41)将将n n个随机变量个随机变量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n构构成一个成一个n n维向量维向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n) )称为称为n n维随机变量。维随机变量。一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标上的随机点坐标二维随机变量二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标上的随机点坐标n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描

2、述其统计规律布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律第1页/共54页设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 二二. . 联合分布函数联合分布函数00, yx00,yyxxyx几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：第2页/共54页对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2, y2)(x2,

3、 y1)(x1, y2)第3页/共54页分布函数F(x, y)具有如下性质：且0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,第4页/共54页 (2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2). );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 (3)右连续 对任

4、意xR, yR, 第5页/共54页(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。第6页/共54页例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为)3()2(),(yarctgCxarctgBAyxF1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0YY211010 xdydxYXP第13页/共54页求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)

5、；(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。 其它, 00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例 设解(1)由归一性6 A101032)32()1)(1 (6) 1 , 1 ()2(eedxdyeFyx(23 )0 0( , )1xyf x y dxdyAedxdy 第14页/共54页(3) (X, Y)(3) (X, Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0, y0, y 0, 2X+3y0, 2X+3y 6 6 内的概率。内的概率。解dxdyeD

6、YXPDyx)32(6),(303220)32(6dyedxxyx671e第15页/共54页3. 两个常用的二维连续型分布两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布(p45) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从均匀分布。服从均匀分布。 其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP,(易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有第16页/共54页例例 设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y

7、)(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参服从参数为数为 1, 2, 1, 2, 的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 ),(),(222121NYX(2)二维正态分布N( 1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P101),e121)y, x( f)y()y)(x(2)x()1(212212222212121212 第18页/共54页分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x

8、2, , Xn xn)称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。nnnbxabxaxxD,.:,.111DnnndxdxxxfDXXP.),.,x(.1211定义定义 n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )，如果存在非负的如果存在非负的n n元函数元函数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体第19页/共54页定义定义 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的上的有限或

9、可列无穷多个点，称有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维维离散型的，称离散型的，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n) )为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n) )为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn

10、n) )的概率密度。的概率密度。第20页/共54页求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 1,(3)PY 1,(3)PY y y0 0 othersyxeyxfy00),(例例 随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD答答: PXPX 0=00=011011edyedxXPxy000000000yydyedxyYPyxyy第21页/共54页FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. )y,x(Flimy )y,x(Flimx 3.2 3.2 边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数F

11、X(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。第22页/共54页例 已知(X,Y)的分布函数为 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第23页/共54页二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律； 1jijp 1ii

12、jpPY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。第24页/共54页例 已知(X,Y)的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求X、Y的边缘分布律。解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5第25页/共54页三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设(X, Y)f (x, y), (x, y

13、) R2, 则称 (p48)(p48) 为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N( 1, 12)的密度函数，而fX(x)是N( 2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。第26页/共54页例例 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性1021xxcdydx6 cdyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622xxxdyxx第2

14、7页/共54页例例 设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上的均匀分布，上的均匀分布， 求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度概率密度x=yx=-yothersxdyxdyxfxxX01001)(11othersydxyfyyY010)(第28页/共54页四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性定义定义 称随机变量称随机变量X X与与Y Y独立独立，如果对任意实数，如果对任意实数ab,cdab,cd，有，有 paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即事件即事件aXaX bb与事件与事件cYcY dd独立，则称

15、随机独立，则称随机变量变量X X与与Y Y独立。独立。定理定理 随机变量随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 第29页/共54页定理定理 设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维连续型连续型随机变量，随机变量，X X与与Y Y独立独立的充分必要条件的充分必要条件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定理定理 设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维离散型离散型随机变量，其分布律随机变量，其分布律为为P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi, i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2

16、,.，则，则X X与与Y Y独立的充分独立的充分必要条件必要条件是对任意是对任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i . .P P j j 。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值的每一对可能取值点点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即可边缘分布的乘积都等于联合分布即可第30页/共54页例 已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.15 0.151ab且知X与Y独立，求a、b的值。例例 甲乙约定甲乙约定

17、8:008:00 9:009:00在某地在某地会面。设两人都随机地在这期会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最间的任一时刻到达，先到者最多等待多等待1515分钟过时不候。求两分钟过时不候。求两人能见面的概率人能见面的概率。第31页/共54页定义. 设n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数为F(x1,x2,.xn), (X1,X2,.Xn)的k（1 k0, 则称同理，对固定的i, pi. 0, 称,.2 , 1,|.|jppxXyYPPiijiji j为X xi的条件下，Y的条件分布律;第37页/共54页例 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的

18、概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.第38页/共54页二 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限,lim|lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作|)|(|yYxXPyxFYX可证当 时 0)(yfy)(),()|(|yfduvufyxFYxYX第39页/共54页若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时， . )|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(|yfyxfxyxFyxfYYXYX类似定义，当 时0)(xfX)(),(

19、)|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY第40页/共54页例 已知(X,Y)的概率密度为其它01421),(22yxyxyxf(1)求条件概率密度)|(|xyfXY(2)求条件概率31|31XYPxy1解:dyyxfxfX),()(othersxydyxx011421122第41页/共54页多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(

20、X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2)g(xi,yj)或第42页/共54页 例 设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) 求WXY的分布律;(2) 求Vmax(X, Y)的分布律；(3) 求Umin(X, Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。第43页/共54页(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X, Y)Umin(X, Y)2qpqpq2p011201110001VW0 10 1 22q000pq22p第44页/共54页

21、二、多个随机变量函数的密度函数二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法 若(X1, X2, , Xn)f (x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)Rn, Y=g(X1, X2, , Xn), 则可先求Y的分布函数: y)X,.,X( gPyYP)y(Fn1Y ;.),.,(.11),.,(1nnyxxgdxdxxxfn.dy)y(dF)y(F)y(fYYY 然后再求出Y的密度函数:第45页/共54页2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 或.),(),()(dxxzxdyyyzfzf

22、Zz x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(fYXYXZ 或第46页/共54页例 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则),(21211iniiniiiniiiaaNXa第47页/共54页例 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从2)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则05. 020001niiXP由题意,令)5 . 2 ,50(21nnNXnii05. 0)5 . 2502000(120001nnXPnii95. 0)5 . 2502000(nn查表得645. 15 . 2502000nn39 n第48页/共54页YX (2)商的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。.),(|)(dyyyzfyzfZy G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上