高中数学圆锥曲线求离心率的方法

1、()求长轴与短轴之和为20，焦距为 的椭圆的标准方程_4 522(1)136 16xy 2211636xy 和(2)求与双曲线 有共同渐近线，且过点（-3， ）的双曲线方程；22191 6xy 2 3224(2)194xy (3)一动圆和直线l:x=-2相切，并且经过点F(2,0)，则圆心的轨迹方程是 28yx 课前热身课前热身圆圆 锥锥 曲曲 线线椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线标准方程标准方程几何性质几何性质标准方程标准方程几何性质几何性质标准方程标准方程几何性质几何性质第二定义第二定义第二定义第二定义统一定义统一定义综合应用综合应用椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线几何条件几何条件 与两个

2、定点与两个定点的距离的和等于的距离的和等于常数常数 与两个定点的与两个定点的距离的差的绝对距离的差的绝对值等于常数值等于常数 与一个定点和与一个定点和一条定直线的距一条定直线的距离相等离相等标准方程标准方程图图形形顶点坐标顶点坐标（a,0),(0,b)（a,0)（0,0) 0( 12222babyax) 0, 0( 12222babyax) 0(22ppxy椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线对称性对称性X X轴，长轴长轴，长轴长2a,2a,Y Y轴，短轴长轴，短轴长2b2bX X轴，实轴长轴，实轴长2a,2a,Y Y

3、轴，虚轴长轴，虚轴长2b2bX X轴轴焦点坐标焦点坐标 （c,0)c,0) c c2 2=a=a2 2-b-b2 2 （c,0)c,0) c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 （p/2,0)p/2,0)离心率离心率 e= c/ae= c/a 0e1 e=1准线方程准线方程 x=a2/cx=a2/c x=-p/2渐近线方程渐近线方程 y=(b/a)x椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质例1.求双曲线9y 16x =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22 故 渐进线方程为:y=x 解:把方程化成标准方程: - =1 y16 x2

4、522故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3 c=16+9 =5._ e=5434二、应用举例 例例2.直线直线y=x-2与抛物线与抛物线y2=2x相交于相交于A、B 求证：求证：OAOB。 证法证法1：将：将y=x-2代入代入y2=2x中，得中，得 (x-2)2=2x化简得化简得 x2-6x+4=0解得：解得：53x则：则： 15(35,15); (35,15)yAB ,5351,5351OAOBkk1595153515351OAOBkkOAOB证法证法2：同证法：同证法1得方程得方程 x2-6x+4=0由一元二次方程根与系数的关系，可知由一元二次方程根与系数的关系，可知 x1+x2=6, x1

5、x2=4 OAOByy1 1=x=x1 1-2 , y-2 , y2 2=x=x2 2-2;-2;yy1 1y y2 2=(x=(x1 1-2)(x-2)(x2 2-2)=x-2)=x1 1x x2 2-2(x-2(x1 1+x+x2 2)+4)+4 =4-12+4=-4 =4-12+4=-414421212211xxyyxyxykkOBOA 例例3.3.一圆与圆一圆与圆x x2 2+y+y2 2+6x+5=0+6x+5=0外切，同时与圆外切，同时与圆x x2 2+y+y2 2- -6x-91=06x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的

6、曲线什么样的曲线解法解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y),半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100当P与O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2 当P与O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R、式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12即12)3()3(2222yxyxO1PXYO2化简并整理，得 3x2+4y2-108=0即可得1273622yx所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为. 3612、解法

7、解法2：同解法1得方程12)3()3(2222yxyx即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。2c=6 ,2a=12 , c=3 , a=6 b2=36-9=27于是得动圆圆心的轨迹方程为1273622yx这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为. 3612、三、课堂练习三、课堂练习 1. 动点动点P 到直线到直线 x+4=0 的距离减去它到点的距离减去它到点M（2，0）的距）的距离之差等于离之差等于2，则点，则点P 的轨迹是的轨迹是 （ ）A直线直线

8、B.椭圆椭圆 C.双曲线双曲线 D.抛物线抛物线D2.P是双曲线是双曲线 x x2 2/4-y/4-y2 2=1=1 上任意一点，上任意一点，O为原点，则为原点，则OP线段中点线段中点Q的轨迹方程是（的轨迹方程是（ ） 14.22yxA14.22 yxB14.22xyC14 .22 xyD3和圆和圆x2+y2=1外切，且和外切，且和x轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心O的轨迹的轨迹方程是方程是 。 x2=2|y|+1B做练习做练习 3 3过点过点P P（ 0 0 ， 4 4 ）与抛物线）与抛物线y y2 2=2x=2x只有一个公共点的只有一个公共点的直线有直线有 条。条。4 4、直线、直线 y=

9、kx+1y=kx+1与焦点在与焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆 x x2 2/5+y/5+y2 2/m=1 /m=1 总有总有公共点，则公共点，则m m的取值范围是的取值范围是 。 5 5、过点、过点M（-2-2，0 0）的直线）的直线l l与椭圆与椭圆 x x2 2+2y+2y2 2=2 =2 交于交于P P1 1、P P2 2两点，线段两点，线段P P1 1P P2 2的中点为的中点为P P，设直线，设直线 l l 的斜率为的斜率为k k1 1(k(k1 10)0)，直线直线OPOP的斜率为的斜率为k k2 2，则，则 k k1 1k k2 2 的值为的值为 ( ) ( ) 31,5）21

10、 已知椭圆已知椭圆 中，中，F1、F2 分分别为其别为其 左、右焦点和点左、右焦点和点A ，试在，试在椭圆上找一点椭圆上找一点 P,使使（1） 取得最小值取得最小值;（2） 取得最小值取得最小值.12422 yx 211 ,2PFPA 12 PFPA AF1F2xyoPP思考题浅析高考题中求离心率的策略浅析高考题中求离心率的策略 求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现. .为此，结合高考题，为此，结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类题介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类

11、题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力. . 一、根据条件先求出一、根据条件先求出 a，c，利用，利用 e=ca求解求解 例例 1 若椭圆经过原点，且焦点为若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为则其离心率为( ) A.34 B.23 C.12 D.14 解析：由解析：由 F1、F2的坐标知的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1, 所以离心率所以离心率 e=ca=12. .故选故选 C. . 例例2 2 如果双曲线的实半轴长为如果双曲线的实半轴长为2，焦距为，焦

12、距为6，那么双曲线，那么双曲线的离心率为的离心率为( ) A. 3 32 2 B. 6 62 2 C. 32 D2 解解析析：由由题题设设a=2，2c=6，则则c=3，e=ca=32, ,因因此此选选C 二、根据圆锥曲线的统一定义求解二、根据圆锥曲线的统一定义求解 例例3 设椭圆设椭圆x2a2+y2b21 (ab0)的右焦点为的右焦点为F1， 右， 右准线为准线为l1，若过，若过F1且垂直于且垂直于x轴的弦的长等于点轴的弦的长等于点F1到到l1的距的距离，则椭圆的离心率是离，则椭圆的离心率是 . 图 1 解析：如图解析：如图1 1所示，所示，ABAB是过是过F F1且垂直于且垂直于x x轴的弦

13、，轴的弦， ADADl1于于D D，|AD|AD|为为F F1到准线到准线l1的距离，的距离， 根据椭圆的第二定义，根据椭圆的第二定义，e=e=|AF|AF1| |AD|AD|= =1 12 2|AB|AB|AD|AD|= =1 12 2， 即即 e=1 12 2. .故填故填1 12 2. . 三、构建关于三、构建关于 a，c 的齐次等式求解的齐次等式求解 例例 4 设双曲线设双曲线x2a2y2b21(0ab)的半焦距为的半焦距为 c，直线，直线 L 过过(a,0)，(0,b)两点两点. .已知原点到直线的距离为已知原点到直线的距离为3 34 4c c，则双曲线的离心率，则双曲线的离心率为为

14、( )( ) A.2 B.A.2 B. 3 3 C. C. 2 2 D. D.2 2 3 33 3 解析：由已知，直线解析：由已知，直线 L L 的方程为的方程为 bx+ay bx+ay - -ab=0.ab=0. 由点到直线的距离公式，得由点到直线的距离公式，得 ababa a2+b+b23 34 4c c，又，又 c c2=a=a2+b+b2, , 4ab=4ab=3 3c c2, , 两边平方， 得两边平方， 得 16a16a2(c(c2a a2)=3c)=3c4. .两边同除以两边同除以 a a4， 并整理， 得， 并整理， 得 3e 3e4- -16e16e2+16=0.+16=0.

15、 解得解得 e e24 4 或或 e e24 43 3. .又又 0a2，e e24 4，e e2.2.故选故选 A.A. 例例 5 双曲线虚轴的一个端点为双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为，两个焦点为 F1，F2，F1MF2120 ，则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） （A） 3 3 （B）6 62 2 （C）6 63 3 （D）3 33 3 图 2 解析：解析：如图如图 2 2 所示，所示，不妨设不妨设 M(0，b)，F1( (- -c,0),c,0), F2(c,0),(c,0),则则 |MF|MF1|=|MF|=|MF2|=|=c c2+b+b2. .又又| |F1F2

16、| |2c2c， 在 在 F1MF2中 ，中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得由 余 弦 定 理 ， 得coscos F1MF2|MF|MF1| |2+|MF+|MF2| |2| |F1F2| |22 2|MF|MF1| |MF|MF2| |, , 即即( (c c2+b+b2)+( (c c2+b+b2)4c4c22 2 c c2+b+b2 c c2+b+b2) )coscos120 1 12 2，b b2c c2b b2c c21 12 2， b2c2a2，a a22c2c2a a21 12 2，3a22c2，e23 32 2，e6 62 2. .故选故选 B.B. 例例 6 6 双曲线双曲

17、线x2a2y2b21 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为的离心率为( ) A.2 B.A.2 B.3 3 C. C.2 2 D. D.3 32 2 解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线， a=ba=b，c=c= 2 2a a， e eca2 2. .故选故选 C.C. 四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求 e 的取值的取值范围范围 例例 7 设设(0， 4 4)，则二次曲线，则二次曲线 x2coty2tan=1 的离心率的离心率的取值范围为的取值范围为( ) A.(0A.(

18、0，1 12 2) B.() B.(1 12 2，2 22 2) C.() C.(2 22 2， 2 2) D.() D.( 2 2，+ +) ) 解析：由解析：由 x2coty2tan=1，(0， 4 4)， 得得 a2tan，b b2= = cot, , c2a2+b2tan+ + cot, , e e2c2a2tan+ + cottan1+1+ cot2, , (0， 4 4)，cot21, , e e22，e e 2. .故选故选 D.D. 五、构建关于五、构建关于 e 的不等式，求的不等式，求 e 的取值范围的取值范围 例例8 如图，已知梯形如图，已知梯形ABCD中，中，AB2CD，

19、点，点E分有分有向线段向线段A AC C所成的比为， 双曲线过所成的比为， 双曲线过C、 D、 E三点， 且以三点， 且以A、 B为焦点 当为焦点 当2 23 33 34 4时，求双曲线离心率时，求双曲线离心率e的取值范围的取值范围 图3解解析析：以以 AB 的的垂垂直直平平分分线线为为 y 轴轴，直直线线 AB 为为 x 轴轴，建建立立如如图图 3 3所所示示的的直直角角坐坐标标系系 xOy，则则 CDy 轴轴. . 因因为为双双曲曲线线经经过过点点 C、D，且且以以 A、B 为为焦焦点点，由由双双曲曲线线的的对对称称性性知知 C、D 关关于于 y 轴轴对对称称依依题题意意，记记 A(c，0

20、)，C(c c2 2，h),E(x0，y0) )，其其中中 c=1 12 2AB为为双双曲曲线线的的半半焦焦距距，h 是是梯梯形形的的高高 由由定定比比分分点点坐坐标标公公式式得得 x0- -c c+ +c c2 21 1+ +( (- -2 2) )c c2 2( (1 1+ +) )，y0h h1 1+ + 设设双双曲曲线线的的方方程程为为x x2a a2y y2b b21，则则离离心心率率e=c ca a. 由由点点C、E在在双双曲曲线线上上，所所以以，将将点点C的的坐坐标标代代入入双双曲曲线线方方程程得得 c c24 4a a2h h2b b21 ， 将将点点E的的坐坐标标代代入入双双

21、曲曲线线方方程程得得c c24 4a a2( (2 21 1+ +) )2( (1 1+ +) )2h h2b b21 再再将将e=c ca a、 得得 e e24 4h h2b b21， h h2b b2e e24 41 ，e e24 4( (2 21 1+ +) )2( (1 11 1+ +) )2h h2b b21 将将式式代代入入式式，整整理理得得 e e24 4（44）12，13 3e e2+2 由由题题设设2 23 33 34 4得得，2 23 313 3e e2+23 34 4解解得得 7 7e 1 10 0 所所以以双双曲曲线线的的离离心心率率的的取取值值范范围围为为 7 7， 1 10 0 （20102010 辽宁文数）辽宁文数） （9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A）2 （B）3 （C）312 （D）512 解 析 ： 选D. 不 妨 设 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上 ， 设 其 方 程 为 ：22221(0,0)xyabab， 则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb 一条渐近线斜率为：ba，直线FB