第5章现代控制

1、第第5 5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合1. 引言引言2. 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈3. 状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的能控性和能观测性4. 极点配置极点配置5. 镇定问题镇定问题6. 状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器7. 降阶观测器降阶观测器8. 带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统9. 渐近跟踪和干扰抑制问题渐近跟踪和干扰抑制问题10. 解耦问题解耦问题本章内容为本章内容为:5.1 5.1 引言引言系统性能取决于-特征根（）性能指标 期望极点位置 110SsG 观察观察：在经典控制理论中，对一个不稳定系统在经典控制理论中，对一个

2、不稳定系统（在S右半平面有一个极点）为使系统稳定，加一个补偿环节为使系统稳定，加一个补偿环节 11SSsGc采用反馈11Sk传递函数 11kSsG只要 k 系统稳定0k好方法可推广？ SSsG201 ksssak221kkSS21k11S1k2411kS给定系统采用同样方法，特征方程特征根无论 k 为何值，实部均大于零改进反馈方式，特征方程2sk )(22212skssskksssak根轨迹方程 sssksak22)(1 )4)(2()3)(1(ssssssGh21,kkj01-2选择合适的 可使系统稳定sk1是否可得出：一阶系统引入 通用性?二阶系统引入1k考虑 sG0 )4)(2() 3)

3、(1(ssssssGh ) 4)(2() 3)(1(ssssssGh sG0哪种结构好？哪种反馈好？含混不清的争论状态反馈最好！ 状态反馈能随意改变系统固有频率，有效性取决于获取状态的能力 确定状态 观测器引出两个问题 提供状态反馈 怎样求取反馈增益K终结于卡尔曼 状态变量描述方法启迪赖萨尼 证明图6-1 状态反馈系统的结构图与状态反馈有何不同?图6-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构5.1 5.1 引言引言线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。使系统满足性能指标要求。5.2 5.

4、2 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈5.2.1 状态反馈状态反馈线性定常系统方程为：线性定常系统方程为：DuCxyBuAxx （1）假定有假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。KxVu（2）其中，其中，K 为为 反馈增益矩阵；反馈增益矩阵；V 为为r 维输入向量。维输入向量。nr则有则有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）5.2.2 输出反馈输出反馈采用采用HyVu（4）H 为为 常数矩阵常数矩阵mrVDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx)()()(11DVDHICxDHIy11)()(（5）两者比较：状态反

5、馈效果较好；两者比较：状态反馈效果较好； 输出反馈实现较方便。输出反馈实现较方便。5.3 5.3 状态反馈的能控性和能观测性状态反馈的能控性和能观测性线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxyBuAxx （6）引入状态反馈引入状态反馈KxVu（7）CxyBVBK)xAx(则有则有（8）定理定理5-15-1 线性定常系统（线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（）引入状态反馈后，成为系统（8），不），不改变系统的能控性。改变系统的能控性。对任意的对任意的K 矩阵，均有矩阵，均有证明证明 IKIBAIBBKAI0)(BAIBBKAIrank)(rankIKI0因为因为 满秩，所以对任意常值矩阵

6、满秩，所以对任意常值矩阵K 和和 ，均有，均有（9）（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态反馈可以改变系统的能观测性，见例反馈可以改变系统的能观测性，见例5-1。5.4 5.4 极点配置极点配置定理定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。件是：系统状态完全能控。状态反馈状态反馈KxVu（11）线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu（10）CxbbK)xAxyV(状态反馈系统方程状态反馈系统方程（12）因为因为A 和和 b 一定，确

7、定一定，确定K 的就可以配置系统的极点。的就可以配置系统的极点。经过线性变换经过线性变换 ，可以使系统具有能控标准形。，可以使系统具有能控标准形。xPx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系统传递函数：系统传递函数：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC（14）（15）引入状态反馈引入状态反馈xKxKPKxVVVu1令令1101nkkkKPK（16）其中其中 为待定常数为待定常数110,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKb

8、A状态反馈系统特征多项式为状态反馈系统特征多项式为)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）设状态反馈系统希望的极点为设状态反馈系统希望的极点为nsss,21其特征多项式为其特征多项式为*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK（18）比较（比较（17）式和（）式和（18）式，选择）式，选择 使同次幂系数相同。有使同次幂系数相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而状态反馈矩阵而状态反馈矩阵110nkkkPKK例例5-35-3 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下DiiiKu

9、为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即，即 。已知折算到电。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数动机轴上的粘性摩擦系数 、转动惯量、转动惯量 ；电；电动机电枢回路电阻动机电枢回路电阻 ；电枢回路电感；电枢回路电感 ；电动势系数；电动势系数为为 、电动机转矩系数为、电动机转矩系数为 。选择。选择 、 、 作为状态变量。将系统极点配置到作为状态变量。将系统极点配置到 和和 ，求，求K 阵。阵。TGTGKuDim/(rad/s)N1 f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(

10、rad/s)1 . 0eKm/AN1mKoDi31j10解解 1. 建立系统状态空间模型建立系统状态空间模型)(oiKuoAAuKuAPDuKu DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 为恒定的负载转矩为恒定的负载转矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy2. 计算状态反馈矩阵计算状态反馈矩阵99010

11、01011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系统能控所以系统能控计算出状态反馈矩阵计算出状态反馈矩阵 1 . 02 . 14210KKKK状态反馈系统的状态图如图（状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）所示（没有画出 ）。）。FT经过结构变换成（经过结构变换成（d）图所示的状态图）图所示的状态图10K因为位置主反馈因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：，其他参数的选择应该满足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 验证验证：求图（：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。点位置。5.5 5

12、.5 镇定问题镇定问题镇定问题镇定问题 非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定非渐近稳定系统通过引入状态反馈，实现渐近稳定（23）定理定理5-25-2 SISO线性定常系统方程为线性定常系统方程为CxbAxxyu显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。显然，能控系统可以通过状态反馈实现镇定。如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状如果系统不能控，引入状态反馈能镇定的充要条件为：不能控的状态分量是渐近稳定的。态分量是渐近稳定的。（证明请参见教材（证明请参见教材163页）页）那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理那么，如果系统不能控，还能不能镇定呢？请见定理5-2。

13、当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为当系统满足可镇定的条件时，状态反馈阵的计算步骤为1） 将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵将系统按能控性进行结构分解，确定变换矩阵1PCA2）确定）确定 ，化，化 为约当形式为约当形式2PCA3） 利用状态反馈配置利用状态反馈配置 的特征值，计算的特征值，计算1A1K4） 所求镇定系统的反馈阵所求镇定系统的反馈阵1210PPKK 例例5-55-5 系统的状态方程为系统的状态方程为u011500020001xx 试用状态反馈来镇定系统。试用状态反馈来镇定系统。解解 矩阵矩阵A 为对角阵，显然系统不能控。不能控的子系统特征值为为对角阵，显然系统不

14、能控。不能控的子系统特征值为-5，因此，系统可以镇定。，因此，系统可以镇定。能控子系统方程为能控子系统方程为uuCCCCC112001xbxAx引入状态反馈引入状态反馈CVuxK其中其中21kkK为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为为了保证系统是渐近稳定的，设希望极点为222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次幂系数相等，得同次幂系数相等，得131k202k5.6 5.6 状态重构和状态观测器状态重构和状态观测器问题的提出：状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。问题的提出：状态反馈可以改善系

15、统性能，但有时不便于检测。如何解决这个问题？如何解决这个问题？答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。答案是：重构一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。（24）系统方程为系统方程为)0()(0 xxCxyBuAxxt（25）重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同xCyBuxAx（24）式减去（）式减去（25）式）式) () (xxCyyxxAxx（26）当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则 。但。但是实际系统总会有一些差别，因此实际上是实际系统总会有一些差别，因此实际上 。x

16、xxx（27）当当 时，时， 也不为零，可以引入信号也不为零，可以引入信号 来校正系统来校正系统（25），它就成为了状态观测器。），它就成为了状态观测器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中，其中， 为为 矩阵矩阵Gnn（24）式减去（）式减去（27）式）式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由（由（28）式可知，如果适当选择）式可知，如果适当选择G 矩阵，使矩阵，使(A-GC) 的所有特征值的所有特征值具有负实部，则具有负实部，则式（式（27）系统就是式（）系统就是式（24）系统的状态观测器，）系统的状态观测器

17、， 就是重构的状态。就是重构的状态。0) (limxxtx 定理定理5-3 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统能观测，或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负或者系统虽然不能观测，但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部。实部。（证明请参见教材（证明请参见教材167页）页）定理定理5-4 线性定常系统线性定常系统 的观测器的观测器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(（30）可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。可任意配置极点的充分必要条件是系统能观测并且能控。例例5-6 系统方程为系统方程为u10120

18、0120001xx x011y要求设计系统的状态观测器，其特征值为要求设计系统的状态观测器，其特征值为3、4、5。解解首先判断系统的能观测性首先判断系统的能观测性441121011CQ3rankCQ系统能观测，可设计观测器。系统能观测，可设计观测器。设：设：210gggG其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值对应的特征多项式希望特征值对应的特征多项式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssGGCAI而状态观测器的特征多项式而状态观测器的特征多项式同次幂系数分别相等，可以得出同次幂系数

19、分别相等，可以得出210103120210gggG几点说明：几点说明：1） 希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更希望的特征值一定要具有负实部，且要比原系统的特征值更负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。负。这样重构的状态才可以尽快地趋近原系统状态。2）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否）状态观测器的特征值与原系统的特征值相比，又不能太负，否则，抗干扰能力降低。则，抗干扰能力降低。3）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有）选择观测器特征值时，应该考虑到不至于因为参数变化而会有较大的变化，从而可能使系统不稳定。较大的变化，从而可能使系统

20、不稳定。5.7 5.7 降阶观测器降阶观测器1. 降阶观测器的维数降阶观测器的维数定理定理 5-5 若系统能观测，且若系统能观测，且rankC = m，则系统的状态观测器的最，则系统的状态观测器的最小维数是小维数是(n-m)。（证明略）（证明略）21CCCmCrank因为有因为有m 维可以通过观测维可以通过观测 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)维需要观测。维需要观测。CxyBuAxx对系统方程对系统方程采用变换矩阵采用变换矩阵210CCIP进行线性变换，进行线性变换，Pxx 1 PAPAPBB 1 CPC（31）得到如下形式的系统方程得到如下形式的系统方程2212121222112112

21、10 xxxIyuBBxxAAAAxx可见可见 可以通过可以通过 观测到，需要对观测到，需要对 维的维的 进行估计。进行估计。2xy)(mn1x因此，降阶观测器的维数为因此，降阶观测器的维数为(n-m)2. 降阶观测器存在的条件及其构成降阶观测器存在的条件及其构成将（将（31）式改写成）式改写成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令令121222xAuByAyy 于是有于是有(n-m) 阶的子系统：阶的子系统：121xAy u)ByAxAx1121111(（35）以下构造这个子系统的状态观测器以下构造这个子系统的状态观测器

22、（36）yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(因为子系统能观测，所以，通过选择因为子系统能观测，所以，通过选择 的参数，可以配置的参数，可以配置的特征值。的特征值。1G)(21111AAG为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，（37）yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即即（37）式代入（）式代入（36），得），得yAGAGAGAuBGBzAGAz)()()(2211212111121121111由于由于21xxx故故00limlim111 xxyyGz

23、xtt（38）因此，因此， 是是 的估计。的估计。 yyGz1x（39）yzyGQQxQxPx1211状态图中状态图中)(221121211111AGAGAGAG5.8 5.8 带有状态观测器的状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统SISO线性定常系统线性定常系统CxBAxxyu（40）全阶状态观测器全阶状态观测器yuGbxGCAx)(（41）状态反馈状态反馈xKVu（42）还有还有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy写成矩阵形式写成矩阵形式VbbxxbKGCAGCbKAxx（43）xxC0y作线性变换作线性变换IIIP0IIIP01xxxxxxxIIIxxP0（44）其中其中

24、 为误差估计为误差估计xxx对（对（43）式进行线性变换，得到如下方程）式进行线性变换，得到如下方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIbKGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y（45）)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII（46）xx bKAGCAGCAbKA由上式可见，由上式可见， 的特征值与的特征值与 的特征值可以分别配置，的特征值可以分别配置，互不影响。互不影响。 这种这种 的特征值和的特征值和 特征值可以分别配置，特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理。需要注意：互不影响的方法，称为分离定理。需要注意： 的

25、特征值应该的特征值应该比比 的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证的特征值更负，一般为四倍左右，才能够保证 尽快跟尽快跟上上 ，正常地实现状态反馈。，正常地实现状态反馈。bKAGCA这时传递函数为这时传递函数为bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK5.9 5.9 渐近跟踪与干扰抑制问题渐近跟踪与干扰抑制问题5.9.1 渐近跟踪问题渐近跟踪问题右图所示反馈控制系统右图所示反馈控制系统)()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很难做到在所有时间上都有一般很难做到在所有时间上都有 ， 但但 ， 就有可能做到，即：就有可能做到，即：)()(trtyt)()

26、(trty0)()(lim)(limtytrtett稳态时，实现了稳态时，实现了 跟踪跟踪 ，称为渐近跟踪。，称为渐近跟踪。)(ty)(tr在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。在经典控制理论中，已经讨论过典型输入信号时的情况。)(ty)(tr 但是，对于但是，对于 不是典型输入信号，则不是典型输入信号，则 跟踪跟踪 的条件是什的条件是什么？么？)(tr输入和误差信号的拉氏变换式分别为输入和误差信号的拉氏变换式分别为)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg显然，输入信号的分母显然，输入信号的分母 中那些实部

27、为负的根，当中那些实部为负的根，当 时时对稳态误差无影响；只有那些位于对稳态误差无影响；只有那些位于 右半闭平面（包括虚轴的右半右半闭平面（包括虚轴的右半平面）的根，对稳态误差有影响。平面）的根，对稳态误差有影响。0)(sdrts当当 的全部极点位于的全部极点位于 左半开平面时，要使左半开平面时，要使s)(ssE0)()()()()()()()(lim)(lim)(lim00sdsnsnsnsdsdsdsdsssEteerrCgCgCgsstss必须有必须有1） 的所有根实部均为负。的所有根实部均为负。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在在 右半闭平面的零点也是右半闭平

28、面的零点也是 的零点。的零点。s)()(sdsdCg上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即上面两个条件成立时，就实现了渐近跟踪，即 有有 。其中，第其中，第2个条件就是著名的内模原理。个条件就是著名的内模原理。t)()(trty5.9.2 内模原理内模原理)()(ssdrg假定假定 的某些根具有零实部或正实部，令的某些根具有零实部或正实部，令 是是 中不稳定的中不稳定的极点构成的多项式。极点构成的多项式。 和和 互质。则互质。则)(sdr)(sr)(sR)(sng)()()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsdsdsYsRsErrgCgrCrgC)(snC

29、 由于由于 中的不稳定的零点均被中的不稳定的零点均被 精确地消去，所以，只要选精确地消去，所以，只要选择择 、 使使 的根具有负实部。的根具有负实部。即：用即：用 镇定系统，则镇定系统，则 时，有时，有 ，实现了渐近跟踪。这就是内模原理实现了渐近跟踪。这就是内模原理.)(sdr)(sr)(sdC0)()()()()(snsnsdssdgCgrC)(sgCt0)()()(tytrte5.9.3 干扰抑制问题干扰抑制问题如果系统存在确定性干扰，如果系统存在确定性干扰，如右图所示。如右图所示。当当 时，时， ，使，使 ，称为干扰抑制问题。，称为干扰抑制问题。0)(trt0)(tyf如果如果 为正则有

30、理函数，假定为正则有理函数，假定 的某些根具有零实部的某些根具有零实部或负实部。令或负实部。令 是是 的不稳定极点构成的的不稳定极点构成的s多项式。于是多项式。于是 的所有根均具有零实部或正实部。将内模的所有根均具有零实部或正实部。将内模 放入系统中，选放入系统中，选择择 使反馈系统成为渐近稳定的系统。使反馈系统成为渐近稳定的系统。)()()(sdsnsfff0)(sdf)(sf)(sf)(sf)(/1sf)(sgC由由 作用引起的系统输出作用引起的系统输出)(tf)()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsnsdsEsYffgCgfCfgCff)(sdf0)

31、(tyft由于由于 中的不稳定的零点均被中的不稳定的零点均被 精确地消去，故精确地消去，故 的所有的所有极点都具有负实部。因此，当极点都具有负实部。因此，当 时，时， 。从而实现了。从而实现了干扰抑制。干扰抑制。)(sf)(sYf5.9.4 渐近跟踪与干扰抑制渐近跟踪与干扰抑制)(sgC)(/1s如果如果 ， ，通过在系统中引入内模，通过在系统中引入内模 ，若，若 是是 和和 的不稳定极点之最小公分母。的不稳定极点之最小公分母。 设计补偿器设计补偿器 ，就可，就可以实现渐近跟踪和干扰抑制。以实现渐近跟踪和干扰抑制。0)(tr0)(tf)(s)(sR)(sf2）内模）内模 的系数不允许变化，否则

32、无法实现精确对消。虽然的系数不允许变化，否则无法实现精确对消。虽然现实中，很难极其精确地对消，由于现实中，很难极其精确地对消，由于 和和 大多数是有界的，大多数是有界的，输出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。输出仍然可以跟踪输入，只是有有限的稳态误差。)(/1s)(tr)(tf两点说明：两点说明：1）内模）内模 的位置要求并不高，只要不位于从的位置要求并不高，只要不位于从 到到 和从和从 到到 的前向通道中即可的前向通道中即可 。)(/1s)(sR)(sE)(sF)(sY5.9.5 状态空间设计法状态空间设计法系统方程为系统方程为)(tfufbbAxx)(tfuyfddCx（47） 为能

33、控，为能控， 为能观测。为能观测。bACA（48） 为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生。为干扰信号，认为它是在未知初始条件下，由以下系统产生。)(tffftfxC)(fffxAx （49） 认为是在未知初始条件下，由以下系统产生。认为是在未知初始条件下，由以下系统产生。)(trrrtrxC)(rrrxAx 和和 为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与为能观测，要求设计的系统实现渐近跟踪与干扰抑制。干扰抑制。ffCArrCA设设)det()(ffssAI )det()(rrssAI )(sr)(sf 和和 在在s右半闭平面零点的最小公倍式为右半闭平面零点的最小公倍式为)(s01

34、11)(asasassmmm)(s的所有零点都具有非负实部，内模的所有零点都具有非负实部，内模 可实现为可实现为)(1sCCyxeCCCCbxAx（50）100Cb110100001000010mCaaaA其中其中duryreCxrdudurCCCCCCCCCbbCxbxACxbxAx)(组合系统的状态方程为组合系统的状态方程为rudCCCCCCbbbxxACbAxx00当当 时，状态反馈的组合系统特征多项式为时，状态反馈的组合系统特征多项式为0dCCCKKsssCAICbbKbKAI)(det)(对状态反馈组合系统，如果给出对状态反馈组合系统，如果给出(n+m)个希望极点，求出个希望极点，求

35、出)(*sCKK)(*sCKK)(sCKK比较比较 和和 ，即可以求得，即可以求得K 和和KC ，如此设计的系统，即，如此设计的系统，即可以实现渐近跟踪和干扰抑制。可以实现渐近跟踪和干扰抑制。5.10 5.10 解耦问题解耦问题CxyBuAxx 线性定常系统方程为线性定常系统方程为（51）引入状态反馈引入状态反馈KxFVu其中其中K 为反馈阵，为反馈阵，F为输入变换矩阵。为输入变换矩阵。BFVxBKAKxFVBAxx)()(Cxy （52）状态反馈系统的传递函数矩阵为状态反馈系统的传递函数矩阵为BFBKAICG1)()(ssKF所谓解耦问题，就是寻求适当的所谓解耦问题，就是寻求适当的K 和和F

36、 矩阵使得状态反馈传递函数矩阵使得状态反馈传递函数矩阵矩阵 为对角阵。为对角阵。)(sKFG)()()(diag)(2211sgsgsgsmmKFG5.10.1 关于关于 的两个不变量的两个不变量)(sKFG如果如果 为严格正则有理传递函数矩阵，可以表示为如下形式为严格正则有理传递函数矩阵，可以表示为如下形式)(sKFG),(),(),()(21FKGFKGFKGGssssTmTTKF（53）),(FKGsTi)(sKFG其中，其中， 为为 的第的第 行向量。行向量。i定义定义11,min),()()(2)(1imiiiFKd（54）其中，其中， 为为 的第的第k 个元素分母多项式和分子多项个

37、元素分母多项式和分子多项式次数之差，式次数之差，),(FKGsTi)(ikmk, 2, 1),(),(4312111122)(212222FKGFKGGssssssssssssTTKF例例5-9 传递函数矩阵如下，求不变量传递函数矩阵如下，求不变量id解解对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(1FKGsT112112021201min),(12111FKd对于对于 来说，来说， ， 因此因此),(2FKGsT202212022211min),(22212FKd),(FKGsTi约定：对于约定：对于 为零向量时，为零向量时，nFKdi),(定义定义2（55）),(lim),(1FKGFKss

38、rTidtTii 这是一个这是一个m 维非零向量。它是这样构造的：对于维非零向量。它是这样构造的：对于1m 的行向的行向量量 ，各元素分子多项式中最高次幂的系数。，各元素分子多项式中最高次幂的系数。),(FKGsTi例例5-9 中中110122),(221sssssssTFKG01),(1FKTr43121),(222sssssTFKG31),(2FKTr),(FKGsTi约定：对于约定：对于 为零向量时，为零向量时，0),(FKrTi5.10.2 能解耦性判据能解耦性判据定理定理5-6 一个具有传递函数一个具有传递函数 的系统，能用状态反馈的系统，能用状态反馈实现解耦的充分必要条件是以下矩阵

39、非奇异。实现解耦的充分必要条件是以下矩阵非奇异。), 0(), 0(), 0(21221101IIIBACBACBACTmTTdmmddrrrE（56）（证明请参见教材（证明请参见教材184页。这是构造性证明页。这是构造性证明方法。即：定理证毕，方法。即：定理证毕，K, F矩阵即可求出）矩阵即可求出）例例5-10 系统方程如下，要求用状态反馈实现系统解耦。系统方程如下，要求用状态反馈实现系统解耦。uxx100001321100000 xy1000111）系统传递函数矩阵为）系统传递函数矩阵为解解)2)(1()2)(1(1)2)(1(1)2)(1(13)(2101ssssssssssssssBA

40、ICG2）判断系统能解耦性）判断系统能解耦性01d02d011Tr102Tr100121TTrrE因为因为 ，系统能解耦。，系统能解耦。0detE1003211000000111111dACL3）3213211000001001222dACL32110021LLL10011EF32110032110010011LEK因此因此xVu3211004）状态反馈的方程为）状态反馈的方程为VxBFVxBKAx100001000100100 xy100011ssss1001)(1BFBKAICGKF上面介绍的是积分解耦系统。而对于实际工程系统来说，要求系统上面介绍的是积分解耦系统。而对于实际工程系统来说，

41、要求系统为李亚普诺夫意义下渐近稳定。实现方法见教材为李亚普诺夫意义下渐近稳定。实现方法见教材187页。页。5.11 5.11 MATLAB的应用的应用5.11.1 极点配置极点配置 线性系统是状态能控时，可以通过状态反馈来任意配置系统的线性系统是状态能控时，可以通过状态反馈来任意配置系统的极点。把极点配置到极点。把极点配置到S左半平面所希望的位置上，则可以获得满意左半平面所希望的位置上，则可以获得满意的控制特性。的控制特性。状态反馈的系统方程为状态反馈的系统方程为 BvxBKAx)(Cxy 在在MATLAB中，用函数命令中，用函数命令place( )可以方便地求出状态反馈可以方便地求出状态反馈

42、矩阵矩阵K；该命令的调用格式为：；该命令的调用格式为：K = place(A,b,P)。P为一个行向量，其各分量为所希望配置的各极为一个行向量，其各分量为所希望配置的各极点。即：该命令计算出状态反馈阵点。即：该命令计算出状态反馈阵K，使得（，使得（A-bK）的特征值为向）的特征值为向量量P的各个分量。使用函数命令的各个分量。使用函数命令acker( )也可以计算出状态矩阵也可以计算出状态矩阵K，其作用和调用格式与其作用和调用格式与place( )相同，只是算法有些差异。相同，只是算法有些差异。例例5-12 线性控制系统的状态方程为线性控制系统的状态方程为uBAxx其中其中 0100016116

43、A001B要求确定状态反馈矩阵，使状态反馈系统极点配置为要求确定状态反馈矩阵，使状态反馈系统极点配置为 101s112s123s解解 首先判断系统的能控性，输入以下语句首先判断系统的能控性，输入以下语句 语句执行结果为语句执行结果为 这说明系统能控性矩阵满秩，系统能控，可以应用状态反馈，这说明系统能控性矩阵满秩，系统能控，可以应用状态反馈，任意配置极点。任意配置极点。 输入以下语句输入以下语句 语句执行结果为语句执行结果为 计算结果表明，状态反馈阵为计算结果表明，状态反馈阵为 131435127K注注：如果将输入语句中的：如果将输入语句中的 K=place(A,B,P) 改为改为 K=acke

44、r(A,B,P)，可以得到同样的结果。，可以得到同样的结果。5.11.2 状态观测器设计状态观测器设计 在在MATLAB中，可以使用函数命令中，可以使用函数命令acker( )计算出状态观测器计算出状态观测器矩阵矩阵 。调用格式。调用格式 ，其中，其中AT 和和 CT 分别是分别是A 和和B 矩阵的转置。矩阵的转置。P为一个行向量，其各分量为所希望的状态观测器为一个行向量，其各分量为所希望的状态观测器的各极点。的各极点。GT为所求的状态观测器矩阵为所求的状态观测器矩阵G 的转置。的转置。 ),acker(PCAGTTT例例5-13 线性控制系统的状态方程为线性控制系统的状态方程为uBAxxCx

45、y其中其中 200120001A101B011C要求设计系统状态观测器，其特征值为要求设计系统状态观测器，其特征值为:3, 4, 5。解解 首先判断系统的能观测性，输入以下语句首先判断系统的能观测性，输入以下语句 语句运行结果为语句运行结果为说明系统能观测，可以设计状态观测器说明系统能观测，可以设计状态观测器输入以下语句输入以下语句 语句运行结果为语句运行结果为 计算结果表明，状态观测器矩阵为计算结果表明，状态观测器矩阵为210103120G状态观测器的方程为状态观测器的方程为uyBGxGCAx)(uy101210103120221021011051030120119x5.11.3 单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计1. 状态反馈系统的极点配置及其状态反馈系统的极点配置及其MATLAB/Simulink仿真仿真例例3-5中给出的单级倒立摆系统的状态方程为中给出的单级倒立摆系统的状态方程为 uxxxxxxxx1010011001000010000104321432143210001xxxxy 首先，使用首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。输入以下程序输入以