数分与高代相互渗透浅析

1、数分与高代相互渗透浅析姓名 史瑞东 指导教师 马金亭（太原师范学院吕梁办学点数学系0301班 山西.离石 033000）摘要数分高代是大学数学专业两门独立的基础课，在大一初接触这两门课时，总感觉这两门课程的思想方法有很大区别，可随着专业课程的深入，特别是到了泛函、拓朴、数理统计、概率论等课程的展开，数分与高代中所体现的思想方法的交叉渗透越来越多。本文就从一些很基础的方面以及一些常见的例题入手，浅析一下数分与高代之间的相互交叉。关键词正交矩阵 正定矩阵 正交补 高阶无穷小 广义积分 向量函数 黑赛矩阵一、 高代在数分中的应用 随着科技的发展，代数学的内容都在不断地充实和更新。在大学里开设的，高等

2、代数课大致涉及了这么三块：多项式、线性代数、样环域理论、高等代数在数分里的应用主要体现了以下两点： a 在某些定义的给出或定理的证明上采用了行列式矩阵的书写形式，以寻求简明。这一点主要体现在多元函数微分学和隐函数组定理及应用这两章中。比如象多元函数 极值问题；隐函数组定理、反函数组定理的给出和证明；空间曲线切线与法平面的表达 式；条件极值等问题。这里只对多元函数极值问题中的二元函数极值充分条件定理的表述及证明列如下： 为了给出二元函数f在点取得极值的充分条件，我们假定具有二阶连续偏导数，并记它称为在点的黑赛（）矩阵定理1（极值充分条件）设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。

3、则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值证由在的二阶泰勒公式，并注意到条件，有由于正定，所以对任何，恒使二次型因此存在一个与无关的正数，使得从而对于充分小的，只要就有即在点取得极小值同理可证为负定矩阵时，在取得极大值最后，当不定时，在不取极值这是因为倘若取极值（例如取极大值），则沿任何过的直线，在亦取极大值由一元函数取极值的充分条件是不可能的（否则在将取极小值），故而这表明必须是负半定的。同理，倘若取极小值，则将导致必须是正半定的。也就是说，当在取极值时，必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设相矛盾根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，

4、定理1又可写成如下比较实用的形式：若函数如定理1所设。是的稳定点，则有：()当时，在点取得极小值；()当时，在点取得极大值；()当时，在点不能取得极值；()当时，不能肯定在点是否取得极值b数学分析与高等代数在研究领域上的交叉这一点，主要体现在向量函数微分这一章，向量本来是线性代数里的一个概念，虽然向量函数微分学转化成了一个数学分析问题，但要解决这一问题高等代数里的n维欧氏空间，向量一向量之间的对应关系，以及行列式，矩阵的手段是不可缺的。为了展示数分一高代在研究领域上的一些交叉，我们通过参考有关资料仅对向量在某些点可微和可微函数（向量函数）的定义给出表述如下： 定义：设为开集，若存在某个线性变换

5、，使得时有 或则称向量函数f在可微，若与上述线性变换相联系的矩阵为，则称为f在点的微分，并称A为f 在点的导数，因而是的一个线性逼近，只是当时，它不再是一个实数，则称f是D上的可微函数，下面来导出矩阵A的元素与f的坐标函数的偏导数的联系，为此设，其中，此时，可微，由实值函数可微性的结论知道于是当f在可微时，f在的导数矩阵为二、数分在高代中的应用在中学数学里我们已初步接触了极限，微积分的思想，大学数学分析正是对，极限、微积分这一思想进一步加深与推广，微分在高代里应用，实质上也就是微积分思想在高等代数里的渗透，具体地讲这种渗透也可以分为以下两种类型： a在研究代数问题时，采用微积分运算寻求简捷。这

6、种交叉主要体现在多项式这一章，如下面的定理（摘录部分） 定理2不可约多项式是的k重因式那么它是微商的k-1重因式（证明略） 推论：不可约多项式是的重因式的充分条件为是与的公因式。定理3 如果，则没有重根（证明略） 等等这一系列定理的表述正式有了微分形式的参与才显得格外的简明。b数分在高代中的应用还体现在研究领域上的一些渗透，这种交叉主要体现在线性空间及线性变换知识块上。当把微积分运算当作一种变换的时候，就可以形成空间到空间的对应关系，而这正是数分与高代都要研究的领域之间的交叉。如下面的例子： 例1、在线性空间或者中求微商是一个线性变换（证明略） 例2、定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上一

7、线性空间，以为代表这个空间中变换是一线性变换（证明略）这两种线性变换在某组基下均可写成矩阵的形式，并且象这样的变换例子是很多的。 从以上第一点和第二点可以看出数学中有些问题本身就体现了数学分析与高等代数的联系，所以在一些高数题的解法上自然免不了数分与高代的交叉。三、数分与高代问题与解法的渗透：在这一点上我们可以举出大量的题例：例1：设A是n阶方阵，且 分析：本题是典型的数分与高代相结合的问题，以行列式形式给出多项式，求其在x=0时的导数。解：是关于x的次数不大于n的多项式，设，故，易知b是行列式展开式中x的一次项的系数和。对于这个n阶行列式中含x的一次幂的项只可能是主对角线上各元素的乘积这一项

8、，即含于中，显然： 例2：已知，1是二阶单位阵，求解： 令其中 则 若因为 同样。 于是，所以 例3：求特征值为的所有二阶实对称阵中元素的最大值。 解：对于二阶实对称阵A，存在二交阵Y，使得，其中Y一定的是下面形式由=计算得： 例4：设二次型，其中为n阶实对称阵，证明：（1） 若，则|A|>0（2） 若A为正定阵，则也为正定阵 分析：数学分析中的一个典型无穷积分， 利用到本题中：证明：（1）已知则 对于一切，被积函数都大于0，所以积分值大于0，即对于任何不为0的x都使则为正定的二次型，A为正定阵，所以|A|>0(2)设令则上面广义积分被积函数为：对于任意不为0的X，Y也不为0。而A

9、为正定矩阵，故二次型正定，综合上述，任意都有,则被积函数意总大于0。积分值一定为正值，所以为正定二次型，B为正定阵。例5求中定向量列平面的最短距离。解：设则由于由的一维子空间，且，其中K为常数。由 又知为到平面的最短距离。由以上这些例子可以看出，纯代数问题处理时用到数分知识，处理起来很简洁，同样，数学分析中有些问题出可以用典型的代数方法处理，当然有些题型的题设就是数分与高代的交义。参考文献1数学分析（第二版） 华东师大数学系编2高等代数 北京大学数学系几何与代数教研室代数组编3数学分析的方法及例题评 徐利治 王兴华 高等教育出版社4数学分析中的问题与定理 张奠宙 宋国栋 译 上海科技出版社Mu

10、tual infiltrate into higher algebra and mathematical analysis AnalysisName: ShiRuidong Instructor: MaJinting（Class0301 Department Mathmatics Lvliang High College Shanxi·Lishi 033000）Abstract University mathematics was the high number of hours on the basis of two independent classes in the early

11、 contacts freshman, I always felt there's a big difference between these two courses of thinking, along with the in-depth courses, especially in the functional, topology, mathematical statistics, probability theory and other courses start with a few minutes of thinking, as reflected in the high generation has infiltrated the irreplaceable. This paper is based on some common examples, as well as some start, a