第四章数值积分与数值微分(第一次)

1、数学分析数学分析两种基本运算两种基本运算积分积分微分微分数值积分数值积分数值微分数值微分数值计算数值计算方法方法2016.4.14插值型求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式复化求积公式特殊节点数值微分数值积分本章主要内容一、数值求积的基本思想一、数值求积的基本思想)()()(aFbFdxxfba 积分积分 只要找到被积函数只要找到被积函数 f (x)原函数原函数F(x)，便有，便有牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹(NewtonLeibniz)公式公式 baxxfId)(实际困难实际困难：大量的被积函数（：大量的被积函数（ , sin x2 等）等）, 找不到用初等函找不到用初等函数表示的原函数数表示的原

2、函数；另外；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数是（测量或数值计算出的）一张数据表时，据表时，牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式也也不能直接运用不能直接运用。xxsin 积分中值定理：在积分中值定理：在a, b内存在一点内存在一点 ，有，有 f( )成立。成立。 )(d)(abxxfba 1 引言引言 就是说就是说, 底为底为b- -a 而高为而高为f( )的的矩形面积矩形面积恰恰等于所求等于所求曲边梯形的面积曲边梯形的面积 .问题问题 在于点在于点的具体位置一般是不知道的，因而的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出难以准确算出 f( )的值的值我们将我们将f ( )称为区间称

3、为区间a, b上的平均高度这样上的平均高度这样,只要对只要对平均高度平均高度f( )提供一种算法提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法相应地便获得一种数值求积方法 如果用两端点的如果用两端点的“高度高度”f(a)与与f(b)的算术平均作为平均高度的算术平均作为平均高度f ( ) 的近似值，这样导出的求积公式的近似值，这样导出的求积公式 : 便是我们所熟悉的便是我们所熟悉的梯形公式梯形公式 . )()(2bfafabT 2)(bafabR2bac 而如果改用区间中点而如果改用区间中点 的的“高度高度”f (c)近似地取代平近似地取代平均高度均高度f ( )，则又可导出所谓，则又可导出所谓中矩

4、形公式中矩形公式(今后简称矩形公式今后简称矩形公式)：(1.1)(1.2) 更一般地，我们可以在区间更一般地，我们可以在区间a，b上适当选取某些节点上适当选取某些节点 xk ，然后然后用用 f (xk )加权平均得到平均高度加权平均得到平均高度 f ()的近似值的近似值，这样构造出的，这样构造出的求积公式具有下列形式求积公式具有下列形式式中式中 xk 称为称为求积节点求积节点；Ak 称为称为求积系数求积系数，亦称为伴随节点，亦称为伴随节点 xk 的的权权权权Ak 仅仅与节点仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的的具体形式具体形式 ban0kkk

5、xfAdxxf)()(使积分公式具有通用性使积分公式具有通用性 这类数值积分方法通常称作能这类数值积分方法通常称作能机械求积机械求积， 其特点是将积分其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难式需要寻求原函数的困难(1.3)二、二、代数精度的概念代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念度的概念 定

6、义定义 1 如果某个求积公式对于次数如果某个求积公式对于次数m的多项式均能准确地成的多项式均能准确地成立，但对于立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代次代数精度数精度 一般地，欲使求积公式一般地，欲使求积公式 具有具有m次代数次代数精度，只要令它对于精度，只要令它对于f (x) = 1，x，xm 都能准确成立，这就要求都能准确成立，这就要求 bankkkxfAxxf0)(d)( . )(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA例例1： 考察其代数精度。考察其代数精度。 f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯

7、形公式解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代数精度代数精度 = 1)()(2)(bfafabdxxfba 例例2 试构造形如试构造形如 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值的数值求积公式求积公式,使其代数精度尽可能高使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数并指出其代数精度的阶数.3h0解解: 令公式对令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立均准确成

8、立,则有则有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求积公式的形式为故求积公式的形式为解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h43h43h0由公式的构造知由公式的构造知,公式公式至少至少具有具有2次代数精度次代数精度; 而当而当f(x)=x3时时,公式的左边公式的左边= h4, 右边右边=18h4, 公式的左边公式的左边 右边右边,说明说明此公式对此公式对 f(x)=x3不能准确成立不能准确成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代数次代数精度精度.814三、三、求

9、积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定理定理3表明，只要求积系数表明，只要求积系数Ak0 (k0,1,n)，就能保证，就能保证计算的稳定性计算的稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式 中，若中，若 其中其中 ，则称求积公式是收敛的，则称求积公式是收敛的 由于计算由于计算 f (xk)可能有误差可能有误差,实际得到实际得到 定义定义3 对任给对任给 e e 0，若，若 (k=0,1, ,n), 就有就有 , 则称求积公式是稳定的则称求积公式是稳定的. bankkkxfAxxf0)(d)(e e |)(|00nkkknkkkfAxfA)(max11 iinixxhkkfxf)(0 ，

10、只要，只要 .)(,kkkkfxff 即即 bankkkhnxxfxfAd)()(lim00 定理定理3 若求积公式若求积公式(13)中系数中系数Ak0 (k0，1，n)，则此求积公式是稳定的则此求积公式是稳定的 1 1、 给定形如 的求积公式，试确定系数 ，使公式具有尽可能高的代数精度.)0() 1 ()0()(01010fBfAfAdxxf010,BAA 解解 根据题意可令 分别代入求积公式使它精确成立2, 1)(xxxf 当 时，得1)(xf;111010dxAA 当 时，得xxf)(;211001dxxBA课堂练习课堂练习 当 时，得2)(xxf.311021dxxA解得 ,于是得61

11、,32,31000BAA).0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf 当 时， 而上式右端为 ，故公式对 不精确成立，其代数精度为2.3)(xxf.41103dxx313)(xxf插值型求积公式定义性质误差代数精度常用公式牛顿科特斯公式近似近似计算计算 badxxfI)(思思路路利用利用插值多项式插值多项式 则积分易算。则积分易算。)()(xfxPn 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjk

12、j)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f (x)插值型积分公式插值型积分公式bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()(误差误差bandxxP)(4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式与与Newton-Cotes 公公式式关键是关键是f(x)如果求积公式是插值型的如果求积公式是插值型的, 按余项式按余项式, 对于次数对于次数 n的多项式的多项式 f (x)，其余项其余项R f 等于等于0，因而这时求积公式至少具有，因而这时求积公式至少具有n次代数精度次代数精度定理定理1：形如形如

13、的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式为公式为插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(为便于计算，一般取为便于计算，一般取等距离节点等距离节点得到近似公式得到近似公式:4.2.14.2.1、Newton-Cotes 公式公式2、 把把a, b二等分，作二等分，作2次插值，有次插值，有)()(4)( )(26bffafdxxfbaabba此公式称为此公式称为辛普森（辛普森（Simpson）公式）公式。badxxL)(21、 对于对于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bf

14、afdxxfAAabbaab 此即此即梯形公式梯形公式。 节点节点等距分布等距分布：ninabhhiaxi,., 1, 0, dxxxxxAnxxijjiji 0)()( njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!( !)1)()()(令令htax Cotes系数系数)(niC注：注：Cotes 系数仅取决于系数仅取决于 n 和和 i，可查表得到。与可查表得到。与 f (x) 及区及区间间a, b均无关。均无关。 3、 把把a, b n 等分，用插值等分，用插值Ln(x)近似近似 f(x)积分，有积分，有当当n=4时时, 牛顿牛顿-柯特斯公式特别称作柯特斯公式特别称作柯

15、特斯公式柯特斯公式,其形式为其形式为 )(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 若求积公式(1.3)的代数精度为 ，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如m（1.8）),()()()1(0mnkkkbafKxfAdxxffR其中 为不依赖于 的待定参数,K)(xf).,(ba 结果表明当 是次数小于等于 的多项式时，由于 ，故此时 ，即求积公式(1.3)精确成立.)(xfm0)()1(xfm0fR 而当 时， (1.8)的右端故可求得1)(mxxf,)!1()()1(mxfm, 0 xRn 4.1.44.1.4 求积公式的余项求积公式的余项（1

16、.9）.)()2(1)!1(1)!1(10122011nkmkkmmnkmkkbamxAabmmxAdxxmK代入余项(1.8)中可以得到更细致的余项表达式. 梯形公式(1.1)的代数精度为1，可以证明它的余项表达式为),(),(bafKfR 其中于是得到梯形公式(1.1)的余项为).,(),(12)(3bafabfR （1.10）.)(121)(6121)(2)(3121332233ababbaababK 对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明),(),(bafKfR 其中于是得到中矩形公式(1.2)的余项为).,(),(24)(3bafabfR （1.11）.24)()2)()(

17、31213233abbaababKbcacfbaxfxfMxfmMmdxxdxxba),(,)( . 3 )(sup),(inf, )()(f(x) (x)bxa 2. ba,(x)f(x) 1.:ba连续，则于若其中：不变号，则时，上有界并可积分于，函数若广义积分中值定理已学知识回顾已学知识回顾21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba Trapezoidal RuledxbxaxffRbax)(!2)( /* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */1, , )(1213abhbafh 代数精度代数精度 = 1n = 2

18、:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba Simpsons Rule代数精度代数精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR n = 3: Simpsons 3/8-Rule, 代数精度代数精度 = 3,)(803)5(5 fhfR n = 4: Cotes Rule, 代数精度代数精度 = 5,)(9458)6(7 fhfR n 为为偶数阶偶数阶的的Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 次代数精度。次代数精度。几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项4.2.24.2.2、偶阶求积公式的代数精偶

19、阶求积公式的代数精度度 作为插值型的求积公式，作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿阶的牛顿-柯特斯公式至柯特斯公式至少具有少具有n 次的插值精度（定理次的插值精度（定理1）。实际的代数精度还可）。实际的代数精度还可进一步提高，一般地，可以证明下述定理进一步提高，一般地，可以证明下述定理: 定理定理 2 当阶当阶 n 为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式至少有至少有 n+1 次代数精度次代数精度 . nkknknxfCabI0)()()(注：注：由公式知，当由公式知，当n8时，柯特斯系数出现负值，这时时，柯特斯系数出现负值，这时，初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不，初始数

20、据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定。因此，实际计算不用稳定。因此，实际计算不用n8的牛顿的牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 . 证明证明 我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零. n1)(nxxf 由于这里,)!1()()1(nxfn.)(0 banjjdxxxfR引进变换 并注意到 有 ,thax,jhaxj所以按余项公式有,)(002 nnjndtjthfR若 为偶数，则 为整数，n2n,2nut再令进一步有,)2(2202 nnnjndujnuhfR因为被积函数.0fRnjjnuuH0)2()(为奇函数，所以2/2/)(nnjju估计估计截断误差截断误差为为解解

21、用用梯形公式梯形公式计算计算:=2.1835估计估计截断误差截断误差为为=0.6796用用Simpson公式公式计算：计算：=2. 0263例例3 试分别使用梯形公式和试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分公式计算积分 的近的近似值，并估计截断误差似值，并估计截断误差.=198.4306890. 0)(max2880)12()4(2152 xfRx=0.068904、 求例3中求积公式)0(61) 1 (31)0(32)(10fffdxxf的余项 解解 由于此求积公式的代数精度为2，故余项表达式为 . 令 ，得 ，于是有)(fKfR 3)(xxf! 3)( f故得.721)3141(!

22、 31)0(61) 1 (31)0(32(! 31103fffdxxK).1 , 0(),(721 ffR本本 节节 主主 要要 内内 容容1 1、复化求积公式、复化求积公式构造思想构造思想公式余项公式余项2 2、龙贝格算法、龙贝格算法构造思想构造思想上机计算上机计算3 3、高斯求积公式、高斯求积公式构造过程构造过程4 4、3 3 复化求积公式复化求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。一、复化梯形公式一、复化梯形公式:),., 0(,nkhkaxnabhk 在

23、每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(=Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 二、复化辛普森公式二、复化辛普森公式:),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdx

24、xf= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：为方便编程，可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数，为偶数， 这时这时 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS三、收敛速度与误差估计：三、收敛速度与误差估计：定义定义 若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 且且C 0，则则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例例4：计算计算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk

25、 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同问题问题: 给定精度给定精度 e e，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判断，如何判断 n = ？e e |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上述上述例例4中若要求中若要求 , 则则610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409通常采取将区间通常

26、采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上述上述例例4中中2k 409 k = 9 时，时，T512 = 3.14159202例例4中：中：S4 = 3.141592502注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用来判断迭代可用来判断迭代是否停止。是否停止。(1)(2)(3)事后误差估计事后误差估计. dsin 10的值积公式求根据数据表利用复合求xxxI例1例1 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 0

27、.8414709. )()()()()()()()()( 94569090218743852183418120818fffffffffT946083201432141287858381406414.)()()()( )()()()()( fffffffffS9460829017211443411287858381320790212.)()()()( )()()()()( fffffffffC10,)dcos(sin)(txtxxxf1010)(,)d2cos()d(cosdd)(tkxtttxtxxfkkkk10)(10.11d)2cos()(maxktkxttxfkkx.0.00043431

28、81121 )(max121 21028 fhTIRxT.100.271514128801 6-44SIRS作业作业 P135： 2(1),3,6一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化逐次分半法逐次分半法 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长步长取得取得太大精度太大精度难以保证难以保证，步长太小步长太小则会导致则会导致计算量计算量的的增加增加，而事先给出一个，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的恰当的步长又往往是困难的 实际计算中常常实际计算中常常采用

29、变步长的计算方案采用变步长的计算方案，即在步长，即在步长逐次分逐次分半半(即步长二分即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止直至所求得的积分值满足精度要求为止 设将求积区间设将求积区间a，b分成分成n等分，则一共有等分，则一共有n+1个分点，按个分点，按梯形公式计算积分值梯形公式计算积分值Tn，需要提供，需要提供n+1个函数值如果将求积个函数值如果将求积区间再二分一次，则分点增至区间再二分一次，则分点增至2n+1个，我们来个，我们来考察考察二分二分前后两前后两个积分值个积分值之间的之间的联系联系4 4、4 4

30、 龙贝格求积公式龙贝格求积公式逐次分半逐次分半计算计算方案方案的实现的实现: 注意到每个子区间注意到每个子区间xk，xk+1经过二分只增加了一个分经过二分只增加了一个分点点 xk+1/2( xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为积分值为 101021102110122)12(221)(221)(2)()(4nknnkknnkknkkknhkafhTxfhTxfhxfxfhT)()(2)(4121 kkkxfxfxfh这里这里 代表二分前后的步长代表二分前后的步长. .将每个子区间上的积分将每个子区间上的积分值相加得值相加得nabh 二、龙贝

31、格算法二、龙贝格算法).,()(212);,()(12)(222bafhabTIbafhabTIfRnnn 有有：根据复化梯形公式的余项表达式根据复化梯形公式的余项表达式. )(31.41)()(222nnnnnTTTITITIff 整理后可得：整理后可得：，则有，则有假定假定 可见，可见，利用利用两种步长两种步长计算的结果能估计截断误差计算的结果能估计截断误差.若将该截断若将该截断误差加到计算结果中误差加到计算结果中，nnnnnTTTTTT3134)(31222 就得出就得出“改进的梯形求积公式改进的梯形求积公式”：事后误差事后误差估计估计例：例：计算计算dxx 10142 已知对于已知对于

32、e e = 10 6 须将区间对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 483134TT = 3.141592502 = S4改进梯形求积公式改进梯形求积公式的右边实际是的右边实际是nnknkkknkknkknkknnnkknnnSbfxfxfafhxfhbfxfafhxfhTTxfhTTT 101121102111102110212)()(2)(4)(6)(2)()(2)(231)(231)(221431)4(31这就是说用这就是说用梯形法二分前后的两个积分值梯形法二分前

33、后的两个积分值Tn与与T2n的的线性组合线性组合的结果的结果得到得到复化辛普森法求积公式复化辛普森法求积公式nnnnnTTTTS141144313422 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与与S2n的线性组合的结果可得到的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式复化柯特斯求积公式nnnnnSSSSC151151614114422222 重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值重复同样的手续，用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与与C2n的线性组合的结果可得到的线性组合的结果可得到龙贝格龙贝格(Romberg)求积公式求积公式nnnnnCC

34、CCR631636414114423233 我们在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯我们在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯特斯值、柯特斯值Cn和龙和龙贝格值贝格值Rn .一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323 Romberg 算法：算法： e e ? e e ? e e ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2

35、T S4 =)2(1TRomberg 序列序列kk2kT212 kS22 kC32 kR0 20=1 T11 21=2 T2 S12 22=4 T4 S2 C13 23=8 T8 S4 C2 R14 24=16 T16 S8 C4 R25 25=32 T32 S16 C8 R4 区间等分数区间等分数 梯形序列梯形序列 辛普森序列辛普森序列 柯特斯序列柯特斯序列 龙贝格序列龙贝格序列 龙贝格求积算法可用下表来表示：龙贝格求积算法可用下表来表示： 例例5 用龙贝格方法计算椭圆用龙贝格方法计算椭圆 x2/4 + y2 l 的周长，使结果的周长，使结果具有五位有效数字具有五位有效数字 分析分析 为便于

36、计算，先将椭圆方程采用参数形式表示为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示, ,再根再根据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示由于计算结果要求具据弧长公式将椭圆周长用积分形式表示由于计算结果要求具有五位有效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而有五位有效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分值的绝对误差限最后再应用龙贝格方法计算积确定所求积分值的绝对误差限最后再应用龙贝格方法计算积分分 解解 令令 x 2cosq q，y sinq q ， 则椭圆的周长为则椭圆的周长为Iyxl4d sin314d42022022 q qq qq qq qq q.10125. 01081)(1

37、021)(4422d sin3124451202 fRIfRIlI的的截截断断误误差差为为故故计计算算，的的截截断断误误差差为为则则需需结结果果有有五五位位有有效效数数字字，有有一一位位整整数数，要要求求，因因此此由由于于 q qq q 下表给出了用龙贝格方法计算积分下表给出了用龙贝格方法计算积分I= 1+1+3sin2q q dx 的过程的过程. /20kk2kT212 kS22 kC32 kR4322 kkRR0 1 2.356 1941 2 2.419 921 2.441 1632 4 2.422 103 2.422 830 2.421 608 3 8 2.422 112 2.422 1

38、15 2.422 067 2.422 074 4 16 2.422 112 2.422 112 2.422 112 2.422 113 0.000 0395 32 2.422 112 2.422 112 2.422 112 2.422 112 0.000 001 0.125 10- -4 故积分故积分I 2.422112, 椭圆周长的近似值为椭圆周长的近似值为l = 4I 9.6884。三、理查森三、理查森(Richardson)外推加速法外推加速法 上面讨论说明由梯形公式出发上面讨论说明由梯形公式出发, 将区间将区间a, b逐次二分逐次二分可提高求积公式的精度可提高求积公式的精度, 上述加速

39、过程还可继续下去上述加速过程还可继续下去. 下面我们讨论其下面我们讨论其理论依据理论依据. ,)(24221 llhhhIhT .)(122nabhbafhabTIn ， 22hTTn若记若记Tn = T(h), 当区间当区间a, b分为分为2n等分时等分时, 有有 , 则则可见可见I = T(h)的误差为的误差为O(h2). llhhhIhT2422121642 3)(24)(1hThThT 若记若记 ，则，则 将梯形公式按余项展开将梯形公式按余项展开. 由误差公式有由误差公式有 62411)(hhIhT 6416262411hhIhT 显然显然T1(h)与与 I 近似的阶为近似的阶为O(h

40、4) . 就是就是辛普森公式辛普森公式序列序列Sn, S2n, . .， 2),(11hThT这样构造的这样构造的 )(1412144)(11hThThTmmmmmm 则又可进一步从余项中则又可进一步从余项中消去消去 h4 项，这样构造出的项，这样构造出的 ，其实就是，其实就是柯特斯公式柯特斯公式序序列，它与列，它与 I 的逼近阶为的逼近阶为O(h6) . )(2hT)(151 21516)(112hThThT 若令若令 , 一般地，若记一般地，若记T0(h) = T(h)，经过，经过m (m =1,2,)次加速次加速后，则有后，则有如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶阶. )21(141144)(1)1(1)()(0)()(0，次次加加速速值值，可可得得