第三章 三大守恒定律

1、 一一 理解理解动量、冲量概念动量、冲量概念, 掌握动量定理和掌握动量定理和动量守恒定律动量守恒定律 . 二二 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功能计算变力的功, 理解理解保守力作功的特点及势能的概念保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有会计算万有引力、重力和弹性力的势能引力、重力和弹性力的势能 . 三三 掌握掌握动能定理动能定理 、功能原理和机械能守、功能原理和机械能守恒定律恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法法 . 四四 了解了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点的特点 .对质点的冲量为时间内，在Ftt21

2、21ttdtFI同向；与同向，与冲量是矢量，）FIFId .1决定于力和作用时间；） .2下一页上一页对质点的元冲量为时间内，在FtdtFIdd)(. 112ttFIF为恒力，ItFF可积分求已知),(. 2)(. 312ttFI已知平均力，Ns)( 3积累效应。冲量反映力对时间的）注意：2121 )(.4ttiittiIdtFdtFI3-1 冲量 质点和质点系的动量定理 3-1-1 3-1-1 冲量冲量 质点的动量定理质点的动量定理12ppI11vmPdtFItt2122vmPa1t1v2v2tb下一页上一页)(12122121vvmpppddtFIppttdtpddtvmddtvdmamF

3、)(pddtF动量定理定义：动量vmp）态的物理量。动量是表征物体运动状-1skgm(. 1微分形式积分形式与amF. 2注意：dtpdF。宏观低速等价，高速否分量关系。. 3121221xxxxttxxmvmvppdtFI121221yyyyttyymvmvppdtFI互作用力等过程，物体之间的相对于碰撞、打击、爆炸短，在某时刻其值值大，变化大，称为冲力，其特点是峰t其它力（如重中，可忽略物体所受的难准确确定。在该过程均力替代变力。力、弹力）。一般用平121221vmvmppdtFItt下一页上一页121221zzzzttzzmvmvppdtFI. 41212)(vmvmttFI常量，如果1

4、2 vmvm越小。越大，则Ftt12，以增加作用手顺球运动方向稍移动例：用手接篮球瞬间，输过程中，软包装，也是为了在运时间；给商品加上各种力。机，锻压机则是利用冲缓冲外力作用。而打桩1212ttvmvmF冲力示意图下一页上一页大，与地碰撞后，跳起最高度，水平初速在例：已知小球00vym对小球的垂直，求碰撞过程中，地球，水平速率高度00212vy冲量与水平冲量。解：分阶段解题。0yxyo0vBcD20v20y可求出碰撞前小球速度过程机械能守恒。BAjgyivvB002点小球速度求出碰后过程，机械能守恒，可CDC jgyivvC002A下一页上一页水平冲量冲量碰撞过程，地球对小球,CB jgygy

5、mimvvmvmIBc22000垂直冲量下一页上一页例2.4 垒球m=0.3kg，初速v1=20m/s，沿水平，被棒打击后v2=30m/s，方向 ，求垒球受棒打击力，设球和棒接触时间0.01s。30解：忽略重力作用方法一：用分量式求解iv201jiv30sin3030cos302ji1526 1v2vxy0)(138001. 0)2026(3 . 012NtmvmvFxxx)(45001. 0153 . 012NtmvmvFyyy下一页上一页)(145122NFFFyx轴夹角）与xFFtgxy(162328. 01380450方法二：用矢量图解法221112,vmpvmptFIppI根据余弦定

6、理21222212)cos(2)()()(vvmmvmvtF)(145101. 0)30cos(302023020) 3 . 0(22NF得根据正弦定理。夹角为即力的方向与162,18)sin(sin2vtFmvtF1vm2vm下一页上一页例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞后末速度为0，（1）若碰撞时间为 ，计算铁锤对被加工锻件的平均冲力。（2）加上包装的彩电与地面碰撞时间为 ，求彩电受到的平均冲力。st3110st12，解：物体受外力mgN,02v末速ghv21初速ghmmvmvdtmgNt2)(102ghmtmgN2)(mgtghmN215131033. 1

7、10) 1 (NNNNstNNst427 1)2(2hh铁锤锻件彩电下一页上一页3-1-2 质点系的动量定理质点系的动量定理下一页上一页个质点组成的系统：对于n点动量的矢量和。质点系动量：系内各质tvmtpfffFnd)(ddd111113121tvmtpfffFiiiiniiid)(ddd21tvmtpfffFnnnnnnnnd)(ddd)1(21jiijffiiipdtdFdtpdF外即微分形式下一页上一页122121pppddtFpptt外积分形式 内力不会引起系统总动量的改变，但内力可使系统总动量在各质点之间重新分配。则则如果系统受合外力外, 0, 0dtpdF常矢量iiiiivmpp

8、3-2 动量守恒定律动量守恒定律注意：1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。3-2-1 动量守恒定律动量守恒定律5、动量守恒是自然界最普遍、最基本的规律之一。（电子）（原子核）（原子核）衰变如eBA A开始是静止的，则B与e运动方向相反，但实验显示两者的轨迹并不在一条直线上。泡利1930年提出了中微子假说，1956年由实验证明了中微子的存在。即)(中微子或反中微子或（电子）（另一原子核）（原子核）eBA下一页上一页3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受的合外力为0

9、，则系统在该方向动量守恒。常量时，即当iixixiixxvmpFF0常量时，当iiyiyiiyyvmpFF04、在同一方程中，所有动量应相对于同一惯性系。例：，求反中微子的动量。，两者夹角为电子动量部分动量为衰变后剩余原子核止，经一放射性原子核最初静153/102 . 1,/104 . 12222smkgsmkg解：设衰变后原子核，电子，反中微子动量分别为 、 、 则vpeprp0verppp0153cos:xverpppx0)90153cos(:yveppy23103 . 3153coserxvppp得231044. 5)90153cos(eyvppsmkgpppyvxvv/104 . 62

10、322121xvyvpparctgx轴夹角：运动方向与117153yxvpeprp下一页上一页。车的一端，质量为一小车长为例：水平光滑铁轨上有Ml端走向另一端，均静止。现设人从一站有一人，质量m距离？求人和小车各移动多少xxl车地l人地l车地v人地v人车v解：车地人车人地vvv投影量) 1 ( 车地人车人地vvv:守恒人与车沿水平方向动量）（车地人地2 0Mvmv）式，得代入（2) 1 ()3( Mmmvv人车车地下一页上一页向相反，度与人相对车的速度方上式说明车相对地的速轴负向，并且即沿x)4( MmMvv人车人地车相对地面移动距离：Mmmll车地:人相对地移动距离MmMll人地下一页上一页

11、 dd2121tMmmvtvtttt人车车地）积分：对（3）积分：对（4tMmMvtvttttdd2121人车人地。，求炮车反冲速度大小例：如图，已知VvvMmmM0 ,)( cos0SIMmmvVV)Mxm0v解：发射炮弹过程中，系统水平方向动量守恒:水平对地的水平速率vmVvvcos0水平0MVmv水平方向向左Vvvvm0，则相对地速度为设思考：总动量是否守恒？为什么？（否！地面支撑力为被动力，与内力有关）下一页上一页3-2-2火箭飞行原理火箭飞行原理t时刻动量 Mvt+dt时刻 喷出气体质量 dm， 相对速度-u火箭体质量 M-dm 速度v+dv 喷出气体质量dm 速度v+dv-u)d(

12、d)d)(duvvmvvmMdtt（时刻动量：时刻动量为，则由于dttdMdm)d(dM)d)(dMuvvvvM（动量守恒MvuvvvvM)d(dM)d)(dM（tvMdmM+dMv+dv(u)t+dt下一页上一页整理得0dd MuvMMMuvdd即设火箭点火时质量Mi，初速vi，燃料烧完后，质量为Mf ,末速vf，则积分上式。fiifMMuvvln近代高能推进剂skmvMMskmuffi/1115/1 . 4考虑空气阻力、重力等skmvf/7下一页上一页3-4 功功 动能和动能定理动能和动能定理下一页上一页（一）.恒力的功rFArF , /0 , ArFrFrFArFcos , 角成与Fr/

13、FF0, 0cos,900).1A0, 0cos,18090).2A0, 0cos,90).3A注意：功是标量；r是受力点位移。-22sm1kgm1NJ13-4-1功 一、功的定义一、功的定义kFjFiFFzyxkdzjdyidxrd)(dzFdyFdxFAzybax下一页上一页2）自然坐标系：dsrdFnFFnbabadsFrdFAFrdab（二）.变力的功rFrFAdcosdd babardFdAA1）直角坐标系：1 分量式元功元功yoxA.,),(,)(:0所作的功的过程中求质点由的圆周运动面内沿半径为质点在水平已知例FRRAORNj yi xFF:解ydyFxdxFdA00200000

14、RFydyFxdxFARR下一页上一页2.功的物理意义3.功的几何意义曲线下的面积xFxFAxx21dxF1x2x4.功是过程量acbadbAAnbanbababanbaAAArdFrdFrdFrdFFFrdFA.).(212121总上一页下一页dsFrdFdAcos coscosvFvFdtdsFdtdAP下一页上一页tAP 平均功率tAtAPtdd lim0瞬时功率注意：1 功率反映作功的快慢2 单位：-1s1Jw121d)( . 3ttttPAFtFabnFavbvdsFdsFAbabaabcosdsdtdvmdsmababa221221abvvmvmvmvdvbakakbEE初末kka

15、bEEA动能定理下一页上一页221 mvEk质点动能注意：1 动能是态函数，功是过程量2 单位：J1smkg1-22kkEAEA, 0;, 0 33.4.2 动能和动能定理动能和动能定理也可根据定义求：).(43132SItttxxkgm轴运动，沿例：已知对质点作功。秒内，求合力在F40解：，m/s 3832ttv(N) 68 tF则m/s3 ,m/s1904vv(J) 176)(22024vvmA(J) 176)383)(68(4024040dttttFvdtFdxW下一页上一页2m/s 68ta，m/s 3832ttv课堂作业时，当轴方向运动，沿受力已知02, xxxixkFm？求运动至无

16、穷远处时 vv, 00解：202210mvxkdxxkAxmxkv02下一页上一页1mnmim2m1FnFiF2F内1f内2f内if内nf上质点组成的系统。质点系：两个或两个以统内质点的作用力。外力：系统外质点对系用力。系统内质点间的相互作内力:个质点组成的系统：对于n210121112121 :11vmvmAAmfF内2022121 :iiiifFivmvmAAmii内2022121 :nnnnfFnnvmvmAAmn内下一页上一页点动能之和。质点系动能：系内各质3-4-3 质点系的动能定理质点系的动能定理0kkEEAA内外niiiniiinifniFvmvmAAii12012112121内

17、即所有外力和内力对质点系内各质点所作的功之和等于质点系总动能的增量，这一结论称为质点系的动能定理质点系的动能定理。注意：系统内力做功之和可以不为零，这是因为虽然一对内力大小相等，方向相反，即2112ff 但是有相互作用的两个质点的位移并不一定相同。内力虽内力虽不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能不能改变系统的总动量，但可以改变系统的总动能 在碰撞过程中，质点间的相互作用力为冲力，可忽略非冲力的外力的影响，可以应用动量守恒定律。3-4-4 两体碰撞两体碰撞v10v20m1m1m1m2m2m2a、碰撞前b、碰撞时c、碰撞后f1f2v1v2一 正碰：两球碰撞前的速度矢量沿着两球连心线下一页上

18、一页三维碰撞二维碰撞斜碰非完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全弹性碰撞正碰碰撞10220121)vvvvmmi，则如果00)21012012vvvvmmii，则，且如果2、完全非弹性碰撞2120210121mmvmvmvvv下一页上一页1、弹性碰撞（动量守恒）2211202101vmvmvmvm能量守恒）(2222121121220221210121vmvmvmvm解得：2021210212112vmmmvmmmmv1021120211222vmmmvmmmmv下一页上一页202121021211)1 (vmmmevmmemmv102112021122)1 (vmmmevmmemmv二 斜碰两球碰撞

19、前的速度矢量不沿着两球连心线3、一般碰撞碰后分离速度12vv 碰前接近速度2010vv 201012 vvvve恢复系数e=0, 完全非弹性碰撞0e1, 为一般碰撞2211202101vmvmvmvme=1, 完全弹性碰撞下一页上一页(1) 210vmvmvm解：(2) 222121212021mvmvmv)()( : ) 1 () 1 (212100vvvvvv 221222120vvvvv 0cos22 )2(2121vvvv代入：将 0cos 0, 21vv 90即：是多少？的运动方向之间的夹角的运动方向与小球，小球发生弹性非对心碰撞后质量相同的静止小球与的运动小球，一质量为例：在光滑水

20、平桌面上BABAm:,21122121则这一对力作功为相互作用力分别为的位移分别是时间内，ffrdrdmmdtO1r2r21r2rd1rd21f12f1m2m221112rdfrdfdA212112211221)()(rdfrrdfrdrdf的位矢相对于是1221mmr2121drfAba3-5 势能势能 功能原理功能原理 机械能守恒机械能守恒 3-5-1 作用力与反作用力的功作用力与反作用力的功 的位矢相对于是1221mmr2121drfAba两个粒子相互作用力所做的功:在相对于其中在相对于其中一个粒子静止的参照系中，计算相互作用力一个粒子静止的参照系中，计算相互作用力对另一个粒子所做的功。

21、对另一个粒子所做的功。例如，物体下落过程中受重力所做的功与与地球受物体引例如，物体下落过程中受重力所做的功与与地球受物体引力所做的功两者之和就等于在地面参考系中重力对物体所力所做的功两者之和就等于在地面参考系中重力对物体所做的功；做的功；若一个物体在另一个物体表面滑动，摩擦力所作的总功也若一个物体在另一个物体表面滑动，摩擦力所作的总功也就等于其中一个力与两物体的相对位移的乘积就等于其中一个力与两物体的相对位移的乘积 重力的功).1abxyzoahbhkmgFmgdzdzfdAz)()(bahhababhhmghhmgmgdzAba1、几种常见力的功弹力的功).2ikxFkxdxdxfdAxba

22、xxbaababkxkxxxkkxdxA22222121)(213-5-2保守力与非保守力保守力与非保守力abxo0lO末端为坐标原点设弹簧无形变时，bMamarbrsddrF万有引力的功).32rmMGf dsfdAcoscos)180cos(fdsdsffdrbarrbarrGmMdrrmMGA)11(2)()(barmMGrmMG保守力与非保守力.2与其经过的动物体的始末位置，而如果力作功仅取决于运守力。路径无关，则称之为保、静电力都是保守力重力、弹力、万有引力abIII为保守力，则如图，设 fbabardfrdfIII，则有对于闭合路径 aIbIIa0IIIIIIbabaabbardf

23、rdfrdfrdfrdf下一页上一页。摩擦力做功与路径有关).4sfdsfArbar是保守力充要条件frdf0由其位置决定的函数，个的系统，必然存在着一对于相互作用为保守力该函数称为势能。重力势能. 1mghEP重弹性势能. 2221kxEP弹的端点为势能零点。注意：选弹簧无形变时弹pEox)2121(22abkxkxA下一页上一页ppapbEEEA)（保内应势能增量的负值。即：保守力作功等于相)(abhhmgA3-5-3势能势能万有引力势能. 3rmMGEP引且最大）。选无穷远处势能为零（)()(abrmMGrmMGA引pEor下一页上一页体系统。势能属于相互作用的物).1注意:关。数，与零

24、势点的选择有）势能是相对位置的函2之相关的势能。）只有保守力才存在与3由质点系的动能定理kakbEEAA内外内力保守内力非保守内力 下一页上一页)(PaPbEEA保内末机械能初机械能kakbEEAAA非保内保内外 kakbPaPbEEEEAA)( 非保内外)()(PakaPbkbEEEEAA非保内外abEE 3-5-5功能原理 机械能守恒 一功能原理一功能原理力作功。有系统物体之间的摩擦常见的非保内A下一页上一页机械能守恒定律二、 ，非保守个过程中，外力不做功如果对某个系统，在一守恒。内力不作功，则机械能0 非保守内外如果AA00 pkpkEEEE则即学）九、能量守恒定律（自 保守内力作功不会

25、引起系统机械能的改变，保守内力作功意味着系统动能和势能的相互转化。gmABoNrf点平动的球面由沿半径为小球质量为例ARm,:对容器正压力点在点在点到mBvAB, 0,0.,作功该过程中对由做功定义求摩擦力在数值为mN下一页上一页gmABoNrf解一：dtdvmfmgrcos 切向：dtdvmmgfrcos dsdtdvmmgdsfdArf)cos(mvdvRdmgcos，积分上式，得处，小球速率为的设在vB2vfmvdvRdmgA020 cos221mvmgR 下一页上一页;21 , 0 ,3 ) 1 (2mvmgRAmgNf此时讨论mgRAvmgNf此时 , 0 , )2()3(2 mgN

26、RAfmgRNRmv21221 2得RvmmgNB2 点解解二：应用功能原理求点为重力势能零点。统，以以小球和地球为研究系BmgRmv 221ABfEEA下一页上一页的系统。质心对象：链条与地球组成力其几何中心，可认为重匀质物体的质心位于（质量中心） :作用于该点外力：无 重力，保守力内力支撑力作功为零;以平面为重力势能零点下一页上一页sin221sin22LmgmvlgLml)(sin22lLLgvx解法二：链条例)(端离开平面时的速度。链条末时静止，忽略摩擦，求，倾角在斜面上长部分放，均匀分布，开始，质量为例：链条全长0)( ,tlmL点平衡，后至点，加，原长至为例：轻弹簧，劲度系数OmO

27、k为多少？开始最大伸长量，问从一个向下的初速再给xOvmOOv1状态2状态0v点说明：机械能守恒三要注意势能零点的选择 . 3质点、地球。解：研究系统：弹簧、能零点），是弹簧原长点（弹性势O，的平衡位置（平衡点）是mO，则设0 xOO) 1 ( )(21212120202mgxxxkkxmv的机械能状态1的机械能状态2两个状态系统. 2 . 1下一页上一页)2( 0mgkx 平衡条件kmvx 解得下一页上一页例：第一宇宙速度，第二宇宙速度第一宇宙速度第一宇宙速度，物体绕地球作圆周运动所需要的最小速度，此时RvmRGMmmg212skmRGMv/9 . 71分别为地球质量与半径和RM第二宇宙速度

28、，第二宇宙速度，物体逃脱地球引力的最小速度物体在地球表面的机械能RmMGmvE22021物体在无穷远处，末态机械能为 E=0由机械能守恒，得skmvRGMv/2 .11222下一页上一页 黑洞，一般星球质量与半径分别为M，R，则物体脱离该星球引力的最小速度为RGMv2逃Cv逃当 则星球上任何物质（包括电磁波）都逃不出，该星球与外界的一切物质与信息交流全部中断了，我们称之为黑洞黑洞。 3-5-6能量转化与守恒定律能量转化与守恒定律 自看vmrL相对于某一定义：质点m为的角动量参考点Lo点的位矢质点对or :sin rmvL 大小：右手螺旋方向： 12. smkg单位：vmLFromvrL 择有关

29、与参照系和参考点的选注意：Lsin vvrmvLsinrr 下一页上一页3-6 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律3-6-1质点的角动量质点的角动量证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为证明，作匀速直线运动的物体对某一参考点的角动量为常矢量，与物体的位置无关。常矢量，与物体的位置无关。物体位于1点对参考点O的角动量为vmrL11位于2点对参考点O的角动量为vmrL22显然，两者方向相同，且mvrLL211r2rrOvmvmvm121221LL2mrrmvL特例特例，则圆周运动，vr下一页上一页orv大小sinrFM sinrr vmMFror右手螺旋方向： mN 单位

30、：FrMrFM sinFF mrrFvFO二、力矩为的力矩相对于某参考点定义：MoFFrM点的位矢力的作用点相对or :下一页上一页3-6-3质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律注意：（1）角动量守恒定律是物理学中最基本的定律。角动量守恒定律是物理学中最基本的定律。FrdtvmdrvmdtrdvmrdtddtLd)()(即MdtLd适用于惯性系；) i必选用同一参考点。、LMii)注意注意3-6-2质点的角动量定理质点的角动量定理常矢量则即若LdtLdM, 0, 0（2）角动量是否守恒与受力情况和参考点的选择有关。下一页上一页功。时，拉力对质点所做的离为绳，求质点离圆心距旋转，然后慢慢向下拉以角速度离圆心距离的绳子上，开始，质点穿在圆盘中心光滑小孔的质点，栓在一根上有一质量为如图所示，光滑圆盘面211,rrmf rfov得：222121mrmr12212rr根据动能定理，外力做功为2112222122)(21)(212121rmrmmvmvA211212212)(2121rmrrrm1212212121rrmr而有：质点的角动量守恒，因时刻质点受力矩选小孔为参考点，任意, 0frM下一页上一页