高等代数下半册复习

1、高等代数下半册复习高等代数下半册复习2一、二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准型二、化二次型为标准型三、正定二次型的判定三、正定二次型的判定第五章第五章 二次型二次型二次型二次型对称矩阵对称矩阵标准形标准形对角矩阵对角矩阵合合同同变变换换线线性性替替换换非非退退化化复复二二次次型型的的规规范范形形实实二二次次型型的的规规范范形形正惯性指数正惯性指数变元个数变元个数 n单位矩阵单位矩阵正定二次型正定二次型正定矩阵正定矩阵顺序主子式顺序主子式全大于零全大于零合合同同定理定理1定理定理2定定理理7定理定理3定理定理4定理定理6负定、负定、半正定半正定、半负定、不定二次型、半负定

2、、不定二次型定理定理8C AC=BX=CY0C 3把把n阶实对称矩阵按合同分类，可以分成阶实对称矩阵按合同分类，可以分成(n+1)(n+2)/2类类.把把n阶复对称矩阵按合同分类，可以分成阶复对称矩阵按合同分类，可以分成n+1类类.定理4 实数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形：222211ppryyyy定理3 复数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形： 221ryy1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形求二次型的标准形；实、复二次型的规范形.方法：方法：1）配方法）配方法; 2）合同变换法；）合同变换法；3）初等变换法；）初等变换法；4）正交替换

3、法）正交替换法.基本题型基本题型52、实二次型的正定性的判断；实二次型的正定性的判断；实二次型其它类型的判断实二次型其它类型的判断.方法：方法：1）用正定二次型的定义；）用正定二次型的定义；2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准 形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性;3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定.4）计算矩阵的特征值，若全大于）计算矩阵的特征值，若全大于0，则正定，则正定.线性空间的定义线性空间的定义. 1)(. 2惟

4、一性和不惟一性惟一性和不惟一性基、坐标和维数基、坐标和维数子空间、生成子空间子空间、生成子空间. 3子空间的交、和、直和子空间的交、和、直和. 4基基、维维数数和和坐坐标标常常见见的的线线性性空空间间的的自自然然第六章第六章 线性空间线性空间一、概念一、概念第六章第六章 线性空间线性空间 如何判断非空集合如何判断非空集合V为数域为数域P上的线性空间？上的线性空间？V上定义的加法与数量乘法运算封闭；上定义的加法与数量乘法运算封闭；满足如下八条运算规则：满足如下八条运算规则：v 加法四条：加法四条：)()(,+=+=+ =+0. .ts存在零元，0. .=+ts存在负元，v数乘两条：数乘两条：)(

5、)(,1kllk=v混合两条：混合两条：kkklklk+=+=+)(,)(第六章第六章 线性空间线性空间 什么叫线性空间什么叫线性空间V的维数、基与坐标？的维数、基与坐标？n维：有维：有n个线性无关向量，没有更多无关向量个线性无关向量，没有更多无关向量基：这基：这n个线性无关的向量个线性无关的向量坐标：任何向量在基下的线表系数坐标：任何向量在基下的线表系数第六章第六章 线性空间线性空间 基变换基变换A为由基为由基I到基到基II的过渡矩阵，可逆；的过渡矩阵，可逆；A中各列表示基中各列表示基II中各向量在基中各向量在基I中的坐标中的坐标Ann),(),(11= 基基II基基I坐标变换坐标变换 X=

6、AY，其中，其中Y为向量在基为向量在基II下坐标，而下坐标，而 X为该向量在基为该向量在基I坐标坐标第六章第六章 线性空间线性空间 如何判断线性空间如何判断线性空间V的的非空子集非空子集为子空间？为子空间？对加法和数量乘法运算封闭对加法和数量乘法运算封闭第六章第六章 线性空间线性空间 ：由由 生成的子空间生成的子空间生成子空间的基与维数生成子空间的基与维数12(,)nL ，12121212(,)(,)(,)nsnsLLL，12,n ，齐次线性方程组的解空间的基与维数齐次线性方程组的解空间的基与维数12121212(,)(,),nsnsLL ，与等价第六章第六章 线性空间线性空间 子空间的交与和

7、子空间的交与和都为子空间都为子空间如何求两个子空间的交与和？（见例题习题）如何求两个子空间的交与和？（见例题习题）如何求交与和子空间的基与维数？如何求交与和子空间的基与维数？ （见例题习题）（见例题习题）第六章第六章 线性空间线性空间 维数公式：维数公式：121212dimdimdim() dim()VVV VVV 第六章第六章 线性空间线性空间 判别方法：分解惟一判别方法：分解惟一 零向量分解惟一零向量分解惟一 交为零子空间（即交只有零向量）交为零子空间（即交只有零向量） dim(W)=dim(V1)+dim(V2)子空间的直和：子空间的直和：21VVW=注：子空间的补空间一般不唯一，但正交

8、补是唯一的注：子空间的补空间一般不唯一，但正交补是唯一的.第六章第六章 线性空间线性空间 线性空间线性空间V到线性空间到线性空间V的同构映射：的同构映射： )()()()()(kk=+=+为双射；同构同构同维同维innnnPxxxx+=),(111任意任意dim(V)=n的线空的线空V选定一组基选定一组基 后：后：结论：结论：二二.无无关关组组、秩秩的的有有关关结结论论线线性性相相关关、无无关关、极极大大. 1生生成成的的子子空空间间相相同同两两向向量量组组等等价价 . 2的的基基的的子子空空间间的的基基可可扩扩充充为为 VV. 3：交、和的三个充要条件交、和的三个充要条件. 421VV 12

9、1VVV 221VVV 直和的三个充要条件：直和的三个充要条件：. 5 21VV 的的分分解解式式惟惟一一 维维数数的的和和和和的的维维数数 补补空空间间存存在在定定理理. 6维数公式维数公式. 7)Vdim(V21 )Vdim(V2121dimVdimV ,VV. 8的的同同构构映映射射到到为为由由 相关相关则则s21, , 相关相关)(,),(),(s21 ()无关()无关的的基基的的基基的的像像是是VVVnP. 9维维线线性性空空间间上上的的任任意意数数域域nP均同构于均同构于维维线线性性空空间间全全部部同同构构上上的的数数域域nP补空间一般不唯一补空间一般不唯一方法：方法：三三.1.判

10、别子空间的方法12s2. L(,): 求的基的方法的的极极大大无无关关组组的的方方法法即即求求s21, , 123. WW求的基的方法 12s4. L(,) 求),(Lt21 的的基基的的方方法法A),(),(n21n21 基变换公式基变换公式. 56.坐标变换公式XAY-1 或或AYX7. 证明 的方法：1)证明是子空间，2)证明是和， 3)证明直和12VVV第七章第七章 线性变换线性变换:.概念概念一一、性性质质线线性性变变换换的的定定义义及及运运算算. 1A. 2 线线性性变变换换的的矩矩阵阵相似矩阵相似矩阵. 3矩矩阵阵变变换换在在标标准准正正交交基基下下的的特特别别：正正交交变变换换

11、和和对对称称特特征征值值与与特特征征向向量量. 45. 值域与核值域与核6.不变子空间第七章第七章 线性变换线性变换 如何判断一个线空如何判断一个线空V上的变换为线性变换？上的变换为线性变换？ 映射映射A ： A = A + A A A )(+)()()(k)(kVV 第七章第七章 线性变换线性变换 线性变换的运算线性变换的运算两线变乘积：两线变乘积：(AB) A (B 也为线变；也为线变；=)()(两线变加法：两线变加法：(A+B) A +B 亦亦线变；线变；=)()()(数域数域P中的数与线变的数量乘法：中的数与线变的数量乘法： kA=KA kA也为线变也为线变L(V)=数域数域P上线空上

12、线空V上的所有线变上的所有线变=构成构成P上一个线空上一个线空在线空在线空V中选定一组基后，每个线变都与一个矩阵对应中选定一组基后，每个线变都与一个矩阵对应L(V)与与 同构，故维数是同构，故维数是nnP2n可逆的线变：若可逆的线变：若AB=BA=恒等变换，则恒等变换，则B为为A的逆变换的逆变换第七章第七章 线性变换线性变换 线性变换的矩阵：线性变换的矩阵：A基Ann),(),(11=在线空在线空V中选定一组基后，每个线变中选定一组基后，每个线变A都与一都与一个矩阵个矩阵A对应对应矩阵矩阵A或是可逆的，或是不可逆的或是可逆的，或是不可逆的 欧式空间中，欧式空间中，正交变换正交变换在一组标准正交

13、基下的矩在一组标准正交基下的矩阵是阵是正交矩阵正交矩阵，对称变换对称变换在一组标准正交基下的矩阵在一组标准正交基下的矩阵是是实对称矩阵实对称矩阵.第七章第七章 线性变换线性变换 利用线性变换的矩阵求向量的像利用线性变换的矩阵求向量的像 设设A ，且，且 则则AAnn),(),(11=Xn),(1=AXn),(1=第七章第七章 线性变换线性变换 同一线性变换在不同基下矩阵的关系：同一线性变换在不同基下矩阵的关系：设设A ， A ， 且且则有则有 Ann),(),(11=Bnn),(),(11=Cnn),(),(11=1BC ACA相似于相似于B，记为，记为AB相似矩阵的相似矩阵的性质：性质：(1

14、) 若若A B，则则f(A) f(B)，其中其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式是个多项式（2）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不然）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不然第七章第七章 线性变换线性变换 线性变换的特征值与特征向量：线性变换的特征值与特征向量： A 0任选一组基：任选一组基：AAnn),(),(11=矩阵矩阵A的特征多项式：的特征多项式：AE如何确定线性变换的特征值和特征向量？如何确定线性变换的特征值和特征向量？ 矩阵矩阵A的特征值与特征向量：的特征值与特征向量： 0A第七章第七章 线性变换线性变换 特征子空间：特征子空间：上零向量的所有特征

15、向量再添加属于特征值=V维数就是属于特征值维数就是属于特征值 的线性无关的特征向量的最大个数的线性无关的特征向量的最大个数A的所有特征值的和的所有特征值的和=A的迹的迹A的所有特征值的积的所有特征值的积=A的行列式的行列式A不可逆不可逆 0是是A的特征值的特征值 (1) k 是是kA的的特征值（特征值（k为任意常数），而且为任意常数），而且x 仍然是仍然是矩阵矩阵kA属于特征值属于特征值 k 的特征向量的特征向量； (2) m是是Am的的特征值，而且特征值，而且x仍然是矩阵仍然是矩阵Am属于特征值属于特征值 , m 的特征向量的特征向量; (3)若若A可逆，则可逆，则 1为为A 1的一个特征值

16、，而且的一个特征值，而且x仍然是仍然是矩阵矩阵A 1的属于特征值的属于特征值 1的特征向量。的特征向量。若若 是是A的的特征值特征值, x 是是A的属于的属于 的特征向量。则的特征向量。则 判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？ 判别准则是线性变换是否有判别准则是线性变换是否有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的如何具体求出一组基，使线变在其下的矩阵是对角的？如何具体求出一组基，使线变在其下的矩阵是对角的？ 任选一组基：任选一组基：AAnn),(),(11=求出求出A的特征值

17、与相应的特征向量（应该共有的特征值与相应的特征向量（应该共有n个）个）把这把这n个特征向量按列写成矩阵个特征向量按列写成矩阵T则基则基 即为所求即为所求Tnn),(),(11=线性变换在这个新基下的矩阵为对角的，对角线上是特征值线性变换在这个新基下的矩阵为对角的，对角线上是特征值第七章第七章 线性变换线性变换第七章第七章 线性变换线性变换 线性变换的值域线性变换的值域AV：线性变换作用在线空：线性变换作用在线空V上的全体像集合上的全体像集合线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合值域与核都是子空间值域与核都是子空间值域的维数称为线变的秩值

18、域的维数称为线变的秩核的维数称为线变的零度核的维数称为线变的零度值域的维数值域的维数=线变的秩线变的秩=线变在基下矩阵的秩线变在基下矩阵的秩值域一组基的原像与核的一组基合起来就是值域一组基的原像与核的一组基合起来就是V的一组基的一组基线变的秩线变的秩+线变的零度线变的零度=线空的维数线空的维数有限维线空的线性变换，单射有限维线空的线性变换，单射满射满射n,21设设 为为V的一组基，则值域的一组基，则值域=L(A , A )1n第七章第七章 线性变换线性变换 线性变换的不变子空间：线性变换的不变子空间：W是线空是线空V的子空间，如果的子空间，如果W中的向量在中的向量在线变下仍在线变下仍在W中中如

19、何判断或证明不变子空间如何判断或证明不变子空间方法方法二二.1.求特征值与特征向量的方法 抽象矩阵抽象矩阵具体数字矩阵具体数字矩阵-12.APP APkA 判断 可对角化的方法，求可逆阵 ，使， 并求3. 求值域与核的基与维数的方法第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间:.概念概念一一内积、欧氏空间定义内积、欧氏空间定义. 1长长度度、夹夹角角、正正交交. 2:A. 3内内积积关关于于基基的的度度量量矩矩阵阵标准正交基及存在性标准正交基及存在性. 4正正交交矩矩阵阵及及性性质质.5正定7. 子空间正交的概念、正交补空间8.正交变换定义9.对称变换定义同构同构. 6第九章第九章 欧几里得空间欧几

20、里得空间 如何判定如何判定欧几里得空间？欧几里得空间？实数域实数域R上的线空上的线空V，若定义了内积，满足，若定义了内积，满足v 0),(0),(),(),(),(),(),(),(),(=+=+=零向量时，当且仅当kk第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 向量的长度：向量的长度：),( =向量的夹角：向量的夹角：=,0,),(arccos,三角不等式：三角不等式：+向量的正交或垂直：向量的正交或垂直：0),(=第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 基的度量矩阵：基的度量矩阵：设设 则则11( ,)( ,)nnXY，AYXT=),(v其中其中A为基的度量矩阵，为基的度量矩阵，),(jiij

21、a=不同基的度量矩阵是合同的不同基的度量矩阵是合同的),(1n ),(1n Cnn),(),(11=设基设基 的度量矩阵为的度量矩阵为A， 基基 的度量矩阵为的度量矩阵为B， 且有且有 则有则有ACCBT=度量矩阵是实对称正定的度量矩阵是实对称正定的第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 正交向量组：一组非零向量，两两正交正交向量组：一组非零向量，两两正交正交向量组是线性无关的正交向量组是线性无关的标准正交基：单位的、两两正交的基标准正交基：单位的、两两正交的基标准正交基下，标准正交基下，为标正基下的坐标YXYX,),(=第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 会用Schimidt正交化算法(

22、标正基标正基II)=(标正基标正基I)*正交矩阵正交矩阵由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵由标正基由标正基I及正交矩阵的过渡矩阵可得基及正交矩阵的过渡矩阵可得基II为标正为标正基基正交矩阵的行列式等于正交矩阵的行列式等于1（第一类的）或（第一类的）或-1（第二类的）（第二类的）正交矩阵：正交矩阵：EAAT第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 判断欧空判断欧空V到欧空到欧空V的同构？的同构？ ),()(),()()()()()(=+=+kk为双射；在标正基下，每个在标正基下，每个n维欧空都与维欧空都与 同构同构nR两个有限维欧空，同构两个有限维欧空，同构同维同维第九章第九章 欧几里得空间欧几里得空间 正交变换：（线性）变换基础上保持内积不变正交变换：（线性）变换基础上保持内积不变 (A , A )=),(对于线性变换，以下四命题等价：对于线性变换，以下四命题等价：正交变换正交变换保持长度不变保持长度不变标正基的像仍是标正基标正基的像仍是标正基在任一组标正基下的矩阵是正交矩阵