小学数学思想方法例谈

1、背 景 数学课程标准【总目标总目标】 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基础知识、基本技能、基本活动经验。基本活动经验。 2. 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，与生活之间的联系，增强，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 3 3. . 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学了解数学的价值，提高学习数学的兴趣

2、，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。识和科学态度。 教材哪些地方渗透着基本思想？倒底有哪些基本思想？倒底有哪些基本思想？怎样教才能培养孩子们真正的数学思想怎样教才能培养孩子们真正的数学思想? ?为什么要把这些基本思想作为什么要把这些基本思想作为教学目标？为教学目标？数学思想怎么检测？数学思想怎么检测？什么是数学基本思想？什么是数学基本思想？一、化一、化归思想归思想 二、符号化思想二、符号化思想三、三、类比思想类比思想 四四、分类思想、分类思想五、五、模型思想模型思想 六六、数形结合思、数形结合思想想七、七、对

3、应思想对应思想 八八、极限思想、极限思想 九、九、集合思想集合思想 十、统计思想十、统计思想十十一一、假设思想假设思想 十十二二、代换思想、代换思想十三、单位十三、单位化思想化思想 十四、函数思想十四、函数思想 十五、十五、运筹思想运筹思想 十六十六、抽象思想、抽象思想数学的基本思想 数学思想可以有许多，并且是有层次的。 数学的基本思想则是其中带有基本重要性的思想，处于较高的层次。 其它思想都在基本思想中派生出来。什么是数学基本思想？什么是数学基本思想？概念、性质、法则、公概念、性质、法则、公式等数学的式等数学的基础知识和基础知识和基本技能基本技能对数学理论与内容的本对数学理论与内容的本质认识

4、、解决数学问题质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法的基本观点和根本想法人们运用这些数学思想人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的解决问题过程中形成的一些程序、手段一些程序、手段基础、躯壳基础、躯壳精髓精髓数学学科精神数学学科精神数学方法数学方法数学思想数学思想表层知识与深层知识表层知识与深层知识数学数学素养素养表层知识表层知识深层知识深层知识核心精核心精神神灵魂灵魂哪哪些些是数学基本思想？是数学基本思想？首先要回答的问题是数学学科的思维特点什么是什么是对对数学理论与内容的本质认识、解决数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本数学问题的基本观点和根本想法？想法？什么是什么是数

5、学学科精神数学学科精神什么是数学 数学的对象： 数、形、机会、算法、变化 数学的特点： 高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性 数学的思考方式： 抽象化、符号化、公理化、最优化、模型数学学科的特点反映在学生身上1、抽象思维2、推理思维3、建模思维4、理性精神这个学生缺的究竟是什么？ “52“52型拖拉机，一天耕地型拖拉机，一天耕地150150亩，问亩，问1212天耕地多少亩？天耕地多少亩？” 一位学生是这样解题的：一位学生是这样解题的：5252= =在他眼中，数字都是用来算的，而且都要放进去算。在他眼中，数字都是用来算的，而且都要放进去算。还没有建立清晰的数量关系模型。还没有建立清晰的数量关系模型

6、。接下来的对话 “告诉我，你为什么这么列式？告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了。老师，我错了。” “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” “除。除。” “怎么除？怎么除？” “大的除以小的。大的除以小的。” “为什么是除呢？为什么是除呢？” “老师，我又错了。老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。应该把它们加起来。”恐慌，极端不自信。恐慌，极端不自信。解决问题的思路建立在计解决问题的思路建立在计算经验的基础上，而不是算经验的基础上，而不是建立在运算意义基础上。建立在运算意义基础上。启而不发？

7、 “我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5 5天吃天吃几个大饼？几个大饼？” “老师，我早上不吃大饼的。老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？那你吃什么？” “我经常吃粽子。我经常吃粽子。” “好，那你每天吃两个粽子，好，那你每天吃两个粽子，5 5天吃几个粽子？天吃几个粽子？” “老师，我一天根本吃不了两个粽子。老师，我一天根本吃不了两个粽子。”无法脱离具体的事物无法脱离具体的事物演算。演算。启而不发？ “那你能吃几个粽子？那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，好，那你每天吃半个（小数乘

8、法没学）粽子，5 5天吃几个粽子？天吃几个粽子？” “两个半。两个半。” “怎么算出来的？怎么算出来的？” “两天一个，两天一个，5 5天两个半。天两个半。”他究竟缺了什么？ 可怜的孩子，在数学面前他只有恐慌，没有思考。 他没有办法脱离具体的情境。 这孩子数学入门了吗？ 他究竟缺了什么？ （1）运算意义的理解 （2）数量关系 （3 3）数学的基本思维）数学的基本思维抽象抽象 我我的一生很庆幸，因为我曾经在两个不的一生很庆幸，因为我曾经在两个不同的国度生活过，一个国家注重演绎，一个同的国度生活过，一个国家注重演绎，一个国家注重归纳。国家注重归纳。 杨振宁杨振宁速度速度时间时间路程路程每小时每小时

9、8080千米千米行了行了5 5小时小时一共行了一共行了400400千米千米v vt tS SS=vtS=vt抽象具体符号化模型模型8080* *5 5400400（千米）（千米）3030* *9 9270270（千米）（千米）归纳推理归纳推理路程速度路程速度* *时间时间数学的学习过程处处也处处体现人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科； 通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展； 通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。他们真的学好数学了吗?他们数学成绩很好他们数学成绩很好, ,但：但：对概念不求甚解；对概念不

10、求甚解；对定理、公式、法则不考虑它们为什么对定理、公式、法则不考虑它们为什么成立，在什么条件下成立；成立，在什么条件下成立；做练习时，对题型、套公式，不去领会做练习时，对题型、套公式，不去领会解题方法的实质。解题方法的实质。他们真的学好数学了吗? 他们数学成绩很好他们数学成绩很好, ,但：但： 缺乏自己的思考，特别不能进行缺乏自己的思考，特别不能进行长时间持续性的思考，浅尝辄止。长时间持续性的思考，浅尝辄止。他们真的学好数学了吗? 他们数学成绩很好他们数学成绩很好, ,但：但： 对书中内容趋之若鹜，对课外的数对书中内容趋之若鹜，对课外的数学题避而远之。学题避而远之。 数学学得呱呱叫，生活中却没

11、有用数学学得呱呱叫，生活中却没有用数学的冲动。数学的冲动。理性精神理性思辨，不感情用事。实事求是，不盲从权威。尊重数据，不弄虚作假。科学严谨，不随欲而为。 西方文化的重要组成部分，也是中国文化最缺少的部分 电影艺术的理性美泰坦尼克号 对数据的尊重： 哪里来的？ 可靠吗？实证过吗？ 敬畏真实的数据 深入挖掘数据关于理性精神概念、性质、法则、公概念、性质、法则、公式等数学的式等数学的基础知识和基础知识和基本技能基本技能对数学理论与内容的本对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法的基本观点和根本想法人们运用这些数学思想人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的解

12、决问题过程中形成的一些程序、手段一些程序、手段基础、躯壳基础、躯壳精髓精髓数学学科精神数学学科精神数学方法数学方法数学思想数学思想表层知识与深层知识表层知识与深层知识数学数学素养素养表层知识表层知识深层知识深层知识核心精核心精神神灵魂灵魂概念、性质、法则、公概念、性质、法则、公式等数学的式等数学的基础知识和基础知识和基本技能基本技能数学基本思想：数学基本思想：基础、躯壳基础、躯壳精髓精髓表层知识与深层知识表层知识与深层知识数学数学素养素养表层知识表层知识深层知识深层知识核心精核心精神神灵魂灵魂抽象思想抽象思想模模型型思想思想推理思想推理思想数学学科精神数学学科精神概念、性质、法则、公概念、性质

13、、法则、公式等数学的式等数学的基础知识和基础知识和基本技能基本技能数学基本思想：数学基本思想：基础、躯壳基础、躯壳精髓精髓表层知识与深层知识表层知识与深层知识数学数学素养素养表层知识表层知识深层知识深层知识核心精核心精神神灵魂灵魂抽象思想抽象思想模模型型思想思想推理思想推理思想理性精神理性精神数学的基本思想抽象思想推理思想模型思想基本思想一：抽象思想国外的一则笑话 幼儿园放学后，女儿告诉做数学家的父亲：幼儿园放学后，女儿告诉做数学家的父亲：“我我们今天学了们今天学了集合集合！” 父亲：父亲：“老师是怎么教的？老师是怎么教的？” 女儿：女儿：“女教师让班上所有的男孩子站起来，然女教师让班上所有的

14、男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；后告诉大家这就是男孩子的集合； “接着，她又让所有的女孩子站起来，说这是女接着，她又让所有的女孩子站起来，说这是女孩子的集合。孩子的集合。” “然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，合，” “最后，教师问全班：最后，教师问全班：大家是否都懂了？大家是否都懂了？她她得到了肯定的答复。得到了肯定的答复。”国外的一则笑话 父：父：“那么，我们是否可以将世界上所有那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？的匙子或土豆组成一个集合？” 迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：迟疑了一会，女儿最终作出了这样

15、的回答： “不行！除非它们都能站起来！不行！除非它们都能站起来！” 一、数学抽象的思想数学抽象的内容数学抽象的内容 现实现实对象对象抽象的数字具体的对象抽象的乘法算式男孩数目乘以苹果数目直线（几何） 拉紧的绳子数学是从量的方面反映客观实在的，即在数学的抽象中我们数学是从量的方面反映客观实在的，即在数学的抽象中我们完全舍弃了事物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属完全舍弃了事物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属性。性。这就是数学与一般自然科学的一个基本区别这就是数学与一般自然科学的一个基本区别具体事物具体事物符号化符号化数的模型数的模型具体化具体化直观直观形式化形式化 （模型）模型）直观直观6 6

16、的认识的认识第一次抽象第一次抽象第二次抽象第二次抽象舍去高矮长短宽窄等非本舍去高矮长短宽窄等非本质特征质特征几何模型几何模型 数学抽象的思想派生出的有：分类思想集合思想数形结合思想；符号化思想；对称思想；对应思想；极限思想分类思想 数学分类思想，它是人们在研究数学对象时，常常采用的根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织，再进行研究分析的思想。 既是一种重要的数学思想。又是一种重要的数学逻辑方法。一、数学抽象的思想分类思想 数学价值： 应用分类讨论，往往能使繁杂的问题清晰化。（三角形内角和、一个非零正整数乘小数的结果判断） 教育价值： 分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又

17、促进学生研究问题、探索规律的能力。（统计、编码都是建立在分类思想的基础上）一、数学抽象的思想渗透分类思想的课例: 图形的分类 四边形、角的分类、三角形的认识 数的分类 认识奇数偶数质数合数 算式的分类 认识有余数除法 等式的分类 认识方程一、数学抽象的思想以三角形内角和为例选择研究的三角形对象为什么选择研究的三角形对象为什么要强调要强调“不同类型不同类型”？1 1、在无法穷尽的情况下，、在无法穷尽的情况下，选择各种类型的样本进行研选择各种类型的样本进行研究，用样本反映整体。究，用样本反映整体。2 2、分类讨论的思想。、分类讨论的思想。不同类型指的是哪几种类型？不同类型指的是哪几种类型？除了各选

18、一个锐、直、钝的除了各选一个锐、直、钝的方法，还有其它的吗？方法，还有其它的吗？分类思想渗透的研究分类思想渗透的研究: : 怎样驱动学生有目的地分类； 怎样引导学生找到合适的标准； 分类如何做到不重不漏； 形成分类讨论的意识 一、数学抽象的思想集合思想 集合理论的创始者德国数学家康托夫康托夫这样描述集合： 集合集合：指把确定的、彼此可以区分的具体的或想象的对象（它们将称为集合的元素）看成一个整体。 集合思想：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。一、数学抽象的思想集合思想典

19、型集合思想典型案例案例 加减法加减法的的意义意义并集、差集并集、差集 数数的的认识认识有限集、无限集有限集、无限集 长方形长方形、正方形的、正方形的关系关系子集子集 因数因数和倍数、质数和和倍数、质数和合数合数 2 2、3 3、5 5的倍数的的倍数的特征特征交集交集 公因数公因数和和公倍数公倍数 最大公约数最大公约数和最小公倍数和最小公倍数 平行四边形平行四边形、长方形、正方形的关系、长方形、正方形的关系 三角形三角形的的分类分类 重叠问重叠问题题一、数学抽象的思想（1）认识加法： 很久很久以前，还没有文明人类的时候，那时候还只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人妈妈。爸爸负责每天

20、出去打猎找食物，妈妈负责在家里做家务带宝宝。有一天早上，野人爸爸出门打猎，到了晚上，野人爸爸回来了。野人妈妈问：你今天打了什么猎物啊？野人爸爸说：我今天打到了一只兔子。我们今天晚上有兔肉吃咯。野人妈妈说：不行不行，我们前几天还有很多东西没吃完，先别急着吃。”集合思想典型案例集合思想典型案例 讲到这里，我在黑板上贴一只兔子图片，我问：“那怎么办呢？”居然有学生想都不想说：“放到冰箱里。”我晕。 还是把兔子养起来吧。野人妈妈说。于是野人爸爸就用树枝编了个围栏，把小兔子圈在里面。 讲到这里，我在兔子图外画了一个圈，写上1（呵呵。集合圈的雏形） 第二天，野人爸爸又出去打猎，回来的时候，妈妈问，今天你又

21、打了什么啊？爸爸说，我今天运气特别好，我打到了两只兔子，今天晚上我们可以大吃一顿了。妈妈说，先别急着吃，我们先把前几天食物吃完。这两只兔子也养起来，准备过冬。于是野人爸爸又编了一个围栏，把兔子养起来。一、数学抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例 这时，我贴上两只兔子，在外面画一个圈。野人妈妈看到了，说，为什么不把这两个圈的兔子，放到一个圈里养呢？于是野人爸爸就把这两部分兔子合在一起，养在一个圈里。现在一共养了多少只兔子呢？” 讲到这里，我用一个大圈把三只兔子都圈了起来。一、数学抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例(2)认识减法： 动物都过冬了，兔子要遭殃了。大饥荒来了大饥荒来了(3

22、)0(3)0的认识的认识：一、数学抽象的思想集合思想典型案例集合思想典型案例数形结合思想 指通过数(数量关系)和形(空间形式)之间的对应关系来研究、解决问题的思想。 让学生有写一写、画一画的冲动。例：众数例：众数一、数学抽象的思想用数形结合的思想解释等差数列求和公式。用数形结合的思想解释等差数列求和公式。如求如求 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5 = =（1 15 5）* *5/25/2数形结数形结合合思想思想典型典型案例之二案例之二用数形结合的思想解释（用数形结合的思想解释（a+ba+b）2 2 = a= a2 2 + 2ab + b+ 2ab + b2 2a ab ba ab ba

23、a2 2ababababb b2 2数形结数形结合合思想思想典型典型案例之三案例之三用数形结合的思想解释用数形结合的思想解释a a2 2 b b2 2 =(a =(ab b）（a ab)b)a ab ba ab ba ab ba ab b周髀算经注解中记载赵爽的证明方法：数形结数形结合合思想思想典型典型案例之四案例之四 一种新思路一种新思路 百科百科情境下的数学问题解决情境下的数学问题解决乘法分配律乘法分配律数形结数形结合合思想思想典型典型案例之五案例之五学习两位数乘两位数笔算前学习两位数乘两位数笔算前师：你是怎样算的？师：你是怎样算的？生：个位二四得八，生：个位二四得八，11=1； 十位十位

24、21=2，14=4数形结数形结合合思想思想典型典型案例之六案例之六师：你是算出的？师：你是算出的？生：先二二得四，二三得六；再一生：先二二得四，二三得六；再一 二二得二，一三得三。这个二是得二，一三得三。这个二是 十位乘的，要和十位对齐。十位乘的，要和十位对齐。师：为什么可以这样算？师：为什么可以这样算？生：（停顿思考，摇摇头）就是记生：（停顿思考，摇摇头）就是记 住住要乘四次。要乘四次。师：这个师：这个64表示谁与谁的乘积？表示谁与谁的乘积？生：就是生：就是22和和23。课前熟练掌握两位数乘两位数笔算的同学。课前熟练掌握两位数乘两位数笔算的同学。表内乘法的计算模型表内乘法的计算模型12121

25、0=12010=12012124=484=48120+48=168120+48=1681 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 91010 1111 1212 1313 14141 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用三个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用

26、四个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用五个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用六个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用七个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思

27、想思想典型典型案例之七案例之七用八个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用九个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七用十二个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不同的拼法吗？质数合数质数合数数形结数形结合合思想思想典型典型案例之七案例之七1 1 111+ + +2 4 8 16 32计算计算 ： 12141811 6132132数

28、形结数形结合合思想思想典型典型案例之八案例之八1 1 111+ + +2 4 8 16 32计算计算 ： 121418116132“1”数形结数形结合合思想思想典型典型案例之八案例之八长长宽宽面积长方形的面积长方形的面积=长长宽宽数量数量总价总价总价=单价单价数量数量单价单价数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法（二）解决问题问题：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？总千克数 =每天吃的千克数天数长方形的面积= 长 宽数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法（二）解决问题问题

29、：学校食堂买来一些大米。计划吃8天，实际每天比计划多吃5千克，结果提前2天就吃完了。你能算出原计划每天吃多少千克吗？总千克数 =每天吃的千克数天数提前2天吃完多吃多吃5千克千克计划吃计划吃8天天AB原计划每天吃多少千克？数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法一个正方形，一条边减少一个正方形，一条边减少20%，另一条增加，另一条增加2米，米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米方米数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法一个正方形，一条边减少一个正方形，一条边减少20%，另一条增，另一条增加加2米，面积保持

30、不变，求原来正方形的米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米面积是多少平方米数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法一个正方形，一条边减少一个正方形，一条边减少20%，另一条增，另一条增加加2米，面积保持不变，求原来正方形的米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米面积是多少平方米减少减少20%2米米数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法一个正方形，一条边减少一个正方形，一条边减少20%，另一条增，另一条增加加2米，面积保持不变，求原来正方形的米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米面积是多少平方米减少减少20%2米米减少减少1/

31、5，把正方形的，把正方形的边长平均分成五份，减边长平均分成五份，减少其中少其中1份，还剩下份，还剩下4份份数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法一个正方形，一条边减少一个正方形，一条边减少20%，另一条增，另一条增加加2米，面积保持不变，求原来正方形的米，面积保持不变，求原来正方形的面积是多少平方米面积是多少平方米1份份2米米4份份BAC数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例之九之九面积法面积法A、B、C、D、E进行象棋比赛，每两人之间都要赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，请问E已经赛了几盘？数形结合思想典型案例数形结合思想典型案例

32、之十之十逻辑推理逻辑推理数形结合诗数形结合诗数形本是相依偎，数形本是相依偎，焉能纷作两边飞焉能纷作两边飞. .数缺形时少直观，数缺形时少直观，形少数时难入微形少数时难入微. .数形结合百般好，数形结合百般好，割裂分家万事休割裂分家万事休. .几何代数统一体，几何代数统一体，永远联系莫永远联系莫分离分离. . 华罗庚华罗庚 数学语言所包含的信息量的大小，直接影响着数学思维的质量。 运用各种简洁的符号对问题进行抽象表达，既能以浓缩的形式表达大量信息，大大简化了数学运算或推理的过程，加快了数学思维的速度，更能去伪存真，抓住问题的本质和关键。 因此，在数学中，人们大量地运用符号。几乎所有的数学表述用语

33、，包括公理、定理、法则、公式、概念等都是一串串符号链，而数学研究的过程就是把一个符号链变换成另一个符号链。符号化思想一、数学抽象的思想 符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素甚至说：“什么是数学? 数学就是符号加逻辑。” 符号化思想一、数学抽象的思想途径之一途径之一 1认识已有的数学符号系统。认识已有的数学符号系统。符号化思想一、数学抽象的思想小学阶段的数学符号 数值符号： 阿拉伯数字 09 数量符号： x、a、（常量、变量、未知数） 关系符号： = 运算符号： ：（ ） 符号组合：代数式、方程、字母公式、复合单位 还有一些特例： 统计领域：统计图 正字统计法、用分数表示可能性的大小

34、（1）理解数学符号的含义和实质。）理解数学符号的含义和实质。（2）经历符号化的过程。）经历符号化的过程。（3）适当渗透一些符号化通用规则。适当渗透一些符号化通用规则。途径之一途径之一 1认识已有的数学符号系统。认识已有的数学符号系统。例：速度时间路程例：速度时间路程例：负数例：负数符号化思想一、数学抽象的思想倍的认识倍的认识线段图线段图 第一小组得了5个笑脸， 第二小组得的笑脸数是第一小组的3倍， 第二小组得了多少个笑脸？符号化思想一、数学抽象的思想（1）理解数学符号的含义和实质。）理解数学符号的含义和实质。（2）经历符号化的过程。）经历符号化的过程。（3）适当渗透一些符号化通用规则。适当渗透

35、一些符号化通用规则。（1）尊重学生原发思维的同时，鼓励符号的）尊重学生原发思维的同时，鼓励符号的优化。优化。途径之一途径之一 1认识已有的数学符号系统。认识已有的数学符号系统。途径之二途径之二 2尝试用符号化的思想进行数学思考。尝试用符号化的思想进行数学思考。（2）强化符号化过程的规则意识。）强化符号化过程的规则意识。符号化思想一、数学抽象的思想打电话打电话 例：一下统计例：一下统计2342正正 典型案例典型案例 角的初步认识 数学广角：搭配的学问 用字母表示数 长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、圆柱、圆锥的周长、面积和体积的计算公式推导 比和比例 用字母表示数 解放程求未知数X

36、加法交换律、结合律、乘法。 乘法交换律、结合律、分配律 列方程解应用题 解比例 环形面积字母公式。基本思想二：推理思想什么是推理？什么是推理？ 推理推理是人们思维活动的过程，是根据一个或是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推推 理理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳类比类比歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”即:偶数奇质数奇质数改写为:1037，20317，30131763+3， 100029+971，83+5， 1002=139

37、+863,105+5, 125+7，147+7， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: : 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。数学推理的思想派生出的有：归纳推理； 演绎推理；联想与类比的思想；公理化思想； 化归思想；逐步逼近的思想；问题A问题A解答A解答A化归化归还原还原化归思想化归思想除数是小数的除法除数是小数的除法除数是整数的除法除数是整数的除法求多边形内角和求多边形内角和几个三角形内角总和几个三角形内角总和多加的要减去，多减的要加上多加的要减去，多减的要加上（1 1）改变形式的非恒等化归改变形式的非恒等化归（2 2）简化问题的非恒等化归简化问题的非恒等化归恒等化归

38、恒等化归 在确保量不变的前提下，将求解问题通过改变在确保量不变的前提下，将求解问题通过改变形式使之成为已有解的问题形式使之成为已有解的问题非恒等化归非恒等化归将求解问题通过改变形式成为已有解问题或是将求解问题通过改变形式成为已有解问题或是简单的问题时，结果出现变化，此时返回值需简单的问题时，结果出现变化，此时返回值需要加以处理，才能得到问题的解要加以处理，才能得到问题的解（3 3）制造变化冲突的非恒等化归制造变化冲突的非恒等化归化归思想化归思想直角三角形的内角和是直角三角形的内角和是180180度度180+180-90-90=180（度）度）钝角三角形的内角和是钝角三角形的内角和是180180

39、度度360360度度所有三角形的内角和都是所有三角形的内角和都是180180度度180+180-90-90=180（度）（度）锐角三角形的内角和是锐角三角形的内角和是180180度度小学阶段几何图形面积计算公式推导过程中的化归思想小学阶段几何图形面积计算公式推导过程中的化归思想（箭头表示化归方向）（箭头表示化归方向）平面图形面积计平面图形面积计算算立体图形体积计立体图形体积计算算组合图形的组合图形的面积或体积计算面积或体积计算两个完全一样的两个完全一样的梯形拼成一个平梯形拼成一个平行四边形行四边形割圆术，化曲为割圆术，化曲为直直两个完全一样的两个完全一样的梯形拼成一个平梯形拼成一个平行四边形行

40、四边形切割拼补切割拼补两个完全一样的两个完全一样的梯形拼成一个平梯形拼成一个平行四边形行四边形圆锥体积是与它等圆锥体积是与它等底等高的圆柱体积底等高的圆柱体积的的1/3化归思想化归思想面积法 某修路队抢修一段公路，原计划36天可以完成任务，为了赶工程进度，开工时又调来一个修路队，结果实际每天比计划多抢修200米，只用了20天就完成了任务。这段公路长多少米？3636天天200200米米2020天天找寻学生思维的路径 例：平行四边形的面积计算例：平行四边形的面积计算 1 1、产生错误的原因是什么？产生错误的原因是什么？ 2 2、错误也是有价值的。错误也是有价值的。核心思想核心思想1 1、化归并不是

41、一种无目的的活动，因此，在实、化归并不是一种无目的的活动，因此，在实践过程中，我们就应始终盯住目标，即应当始践过程中，我们就应始终盯住目标，即应当始终考虑这样的问题：怎样才能达到解决原来问终考虑这样的问题：怎样才能达到解决原来问题的目的？题的目的？以可变的观点去看待问题，善于对所要解决的以可变的观点去看待问题，善于对所要解决的问题进行变换。问题进行变换。注意：注意：2 2、由于只有通过反复的实践，才能找到正确的、由于只有通过反复的实践，才能找到正确的化归方向与方法，因此在解题过程中，应保持化归方向与方法，因此在解题过程中，应保持一定的灵活性。一定的灵活性。化归思想化归思想数学推理的思想派生出的

42、有：归纳推理； 演绎推理；联想与类比的思想；公理化思想； 化归思想；逐步逼近的思想；基本思想三：模型思想模型思想 模型是人们为了某种特定的目的而将原型模型是人们为了某种特定的目的而将原型的某一部分信息加以简略和提炼而构建出的某一部分信息加以简略和提炼而构建出来的这个原型的某个代替物。来的这个原型的某个代替物。 典型案例典型案例 二年级上册数学广角：握手的次数、打乒乓球的次数 10以内数的认识 20以内进位加法、退位减法 四则混合运算法则的总结 四年级下册 植树问题 三年级上册 搭配、排列与组合 数学的概念、定理、公式、法则探索、研究、提炼、总结的过程，都是一个数学建模的过程。S=r2计算公式是

43、模型计算公式是模型方程是刻画等量关系的模型方程是刻画等量关系的模型数学模型的思想派生出的有：简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。函数思想 函数反映的是相关联的量运动变化中的对应关系。函数思想即以运动变化的观点去反映客观世界中变量间的相互联系和内在规律的。函数思想 尽管函数的定义没有在小学数学教材中专门给出，但从低年级开始就有所渗透。如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化而变化；积变化的规律（讨论“一个因数不变，另一个因数扩大或缩小，引起的积的变化”）；正、反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。再如利息随着利率的变化而变化，综合实践活

44、动内容中出租车的票价随着出租车运行的千米数而变化，进一步帮助学生加深对函数的认识与理解，画龙画晴地强调量的“变化”，突出“两种相关联的量”之间的对应关系。口算 60 +60 +60= 80 +50 +50= 100 +45 + 35= 150 +20 + 10= 170 +5 + 5 =180180180180180+=和不变和不变+ABCAAAAAAAA形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？ A B C A ABCA AAAA+形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？形状不一样的三角形，内角和怎么会一样？(1)(1)对数或者图形排列规律的探索对数或者图形排

45、列规律的探索 探索图形的排列规律探索图形的排列规律探索数的排列的规律探索数的排列的规律(2)(2)对数的运算规律的探索对数的运算规律的探索(2)(2)对数的运算规律的探索对数的运算规律的探索用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格。 用用1616根根1 1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格多少个？其中面积最大的是多少？并填写如下表格(3)(3)对图形变化规律的探索对图形变化规律的探索序号序号长长宽宽周长周长面积面积示意图示意图1 12 2（1 1）感受

46、）感受“一一 一对应一对应”的对应关系的对应关系 （1 1）感受）感受“一一 一对应一对应”的对应关系的对应关系 乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数“一一对应一一对应”找规律填数找规律填数: :数列中的每一个数与它的项数数列中的每一个数与它的项数“一一对应一一对应”折线统计图：一组数据与统计图中的一个点折线统计图：一组数据与统计图中的一个点“一一对应一一对应” 如：如：学习学习“四舍五入四舍五入”，3.53.5至至4.5(4.5(不含不含4.5)4.5)之间的无穷多之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”4

47、” 又如：又如：“找次品问题找次品问题”，次品数在，次品数在1010至至2727个时，均需要称个时，均需要称量量3 3次次（2 2）感受）感受“多对一多对一”的对应关系的对应关系 将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习：以上所列举的以上所列举的内容丰富了学生对于两个集合内容丰富了学生对于两个集合“关系关系”的认识的认识（3 3）结合基本数量关系或图形计算公式，）结合基本数量关系或图形计算公式， 强化对变量之间关系的感受强化对变量之间关系的感受S=vt(S=vt(路程路程= =速度速度时间时间) )，当速度，当速度v v固

48、定时，固定时，S S是是t t的函数。的函数。C=d(C=d(圆的周长圆的周长= =圆周率圆周率直径直径) )，C C是是d d的函数。的函数。S=S=1 1/ /2 2ah(ah(三角形面积三角形面积= =底底高高2)2)，当，当a a固定时，固定时，S S是是h h的函数的函数可以设计如下的训练：可以设计如下的训练：学校有学校有120120名学生排队名学生排队做操，做操， ，可以站几排？，可以站几排？3.3. 对多种数学语言的感受和初步使用对多种数学语言的感受和初步使用感受和使用字母语言感受和使用字母语言一般的函数解析式一般的函数解析式 都是借助字母来表都是借助字母来表 达的。引进字母表达

49、的。引进字母表 示，是用符号表示示，是用符号表示 数量关系和变化规数量关系和变化规 律的基础。律的基础。 解析式：解析式：S=r2（2 2）感受和使用表格语言）感受和使用表格语言(3)(3)感受和使用图像语言感受和使用图像语言 图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，图像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用，它是它是“看见看见”相应的关系和变化情况的途径之一。相应的关系和变化情况的途径之一。学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图

50、六年级成正比例的两个量的图像绘制六年级成正比例的两个量的图像绘制 鼓励学生将表格、图像和关系式结合起来，谈自己鼓励学生将表格、图像和关系式结合起来，谈自己对正比例关系的认识对正比例关系的认识原来的设计：原来的设计：1.1.复习时说长方形的长、宽、高，速度复习时说长方形的长、宽、高，速度、时间、路程等之间的关系、时间、路程等之间的关系2.2.出示例题，学生思考：出示例题，学生思考：（1 1）表中有哪几种量？）表中有哪几种量？（2 2）它们是两种相关联的量吗？）它们是两种相关联的量吗？（3 3）你发现了什么规律？）你发现了什么规律？3.3.判断练习，强调比值或商一定判断练习，强调比值或商一定学生做

51、判断练习的正确率比较高。学生做判断练习的正确率比较高。4.4.例例2 2的图像让学生自主画图，集体交的图像让学生自主画图，集体交流答题情况后并没有过多停留。流答题情况后并没有过多停留。过于重视判断技巧的习得，忽略了图像教学的价值。过于重视判断技巧的习得，忽略了图像教学的价值。化静为动，感悟函数思想化静为动，感悟函数思想课始呈现：课始呈现：蜡烛燃烧（时间与被烧的长度的变化关系）蜡烛燃烧（时间与被烧的长度的变化关系）汽车行驶（时间与速度的变化关系）汽车行驶（时间与速度的变化关系）股票行情股票行情正方形周长与边长的变化关系正方形周长与边长的变化关系两人年龄情况两人年龄情况正方形面积计算公式正方形面积

52、计算公式思考：思考：1.1.观察每个情景中的两种变量，它们是怎样变化的？观察每个情景中的两种变量，它们是怎样变化的？ 2 2. .在这些情景中，哪些量的变化具有相同的特点？在这些情景中，哪些量的变化具有相同的特点？ 分类：分类：1.1.两个变量，一个量增加，另一个量也增加（同时增加）两个变量，一个量增加，另一个量也增加（同时增加）2.2.两个变量，一个量增加，另一个量却减少。两个变量，一个量增加，另一个量却减少。3.3.两个变量，一个量增加，另一个量时增时减。两个变量，一个量增加，另一个量时增时减。对同时增加的一类再深入研究：分为直线上升、曲线上升对同时增加的一类再深入研究：分为直线上升、曲线

53、上升经历：经历：体会变化的量之间的关系体会变化的量之间的关系感受变量之间关系的不同感受变量之间关系的不同通过分类，关注正比例变化的情况通过分类，关注正比例变化的情况直观感受变量之间的相互依存关系，预测动态变化趋势直观感受变量之间的相互依存关系，预测动态变化趋势 在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则基本原则: : （1 1）创设）创设“变化变化”的过程，才能感受到函数思想。的过程，才能感受到函数思想。 （2 2）激发学生）激发学生“探究探究”的本性，于的本性，于“变变”中把握中把握“不变不变”，满足人的好奇本性。，满足人的好奇本性。典型

54、案例典型案例 用字母表示数 商不变的性质 正比例和反比例 “周长和面积”的练习课 利用数量关系在解决实际问题，如单价、数量和总价之间的关系；路程、时间和速度的关系；工作量、工作效率和工作时间的关系 统计与概率 六年级上册“位置” 一年级上册20以内进位加法表 一位数乘法口算 0和任何数相乘都得0的计算过程 倍的认识；倍数应用题 除数是一位数的除法 自然数与直线上的点的关系 乘数是两位数的乘法计算 归一、归总应用题；除数是两位数的除法 差（和）对应两步应用题 相遇问题 分数的初步认识 小数与数轴上的点。一个综合性的例子鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，

55、腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。策略策略4 4：面积图，利用长方形面积公式来计：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。算组合图形的面积。2只脚只脚4只脚只脚8个头个头 鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 策略策略5 5：金鸡独立法。 所有的鸡、兔都起立，兔子两腿站立，鸡一脚独立，此时腿数是222=11（支），此时鸡的腿数和头数相等，而兔子的腿数比头数多1。因此118=3（个），就是兔子的只数。鸡兔

56、共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 策略6：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔； 策略7：方程思路：用表示鸡的只数，用表示兔的只数，根据已知条件可以发现8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。引导与体验1 1、教师要深入理解每种思想的本质，、教师要深入理解每种思想的本质，把握教学内容渗透数学思想的机会。把握教学内容渗透数学思想的机会。 我们通常会这样问： 等边三角形的三个角分别是多少度？ 如果改成这样呢： 等边三角形是否可能有直角？2 2、好问题才会有好思维好问题才会有好思维, ,才能提升高级思维才能提升高级思维 几年前，一位朋友问郭思乐教授：几年前，一位朋友问郭思乐教授：“什么是教学？什么是教学？” 郭教授回答说：郭教授回答说：“如果你告诉学生，如果你告诉学生，3 3乘以乘以5 5等于等于1515，这不是教学。如果你说，这不是教学。如果你说，3 3乘以乘以5 5等于什么？这就有一等于什么？这就有一点是教学了。点是教学了。” “如果你有胆量说：如果你有胆量说：3 3乘以乘以5 5等于等于1414，那就更是教，那就更是教学了。这时候，打瞌睡的孩子睁开了眼睛，玩橡皮泥学了。这时候，打瞌睡的孩子睁开了眼睛，玩橡皮泥的学生也不玩了：的学生也不玩了：什么什么？等于什么什么？等于1