模糊数学第一章

1、第一章第一章 模糊集的基本概念模糊集的基本概念一、模糊数学概述一、模糊数学概述第一节第一节 模糊数学概述模糊数学概述二、课程认识二、课程认识l Fuzzy Mathematicsl 研究和处理研究和处理模糊概念模糊概念的数学方法。的数学方法。l 模糊概念：模糊概念：难以精确表达的概念。难以精确表达的概念。1例：高个子长头发戴宽边例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人眼镜的中年男人 一、模糊数学概述一、模糊数学概述秃子悖论秃子悖论: 所有的人都是秃子所有的人都是秃子设头发根数设头发根数nn=1 显然显然若若n=k 为秃子为秃子n=k+1 亦为秃子亦为秃子模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无

2、明显模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显 分界线。分界线。例如：年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、例如：年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。阴天、多云、暴雨、清晨等。2一、模糊数学概述一、模糊数学概述共同特点：模糊概念的外延不清楚。共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。3一、模糊数学概述一、模糊数学概述 产生产生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德

3、） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ) 基本思想基本思想用属于程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。例如：某个人属于秃子的程度为例如：某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于另一个人属于秃子的程度为秃子的程度为0.3等等.4一、模糊数学概述一、模糊数学概述 在日常生活中，我们遇到的概念不外乎在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。两类。2 一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如：是明确的。例如： 人、自然数、正方形等。人、自然数、

4、正方形等。 要么是人，要么不是人。要么是人，要么不是人。 要么是自然数，要么不是自然数。要么是自然数，要么不是自然数。 要么是正方形，要么不是正方形。要么是正方形，要么不是正方形。二、课程认识二、课程认识另一类对象概念从属的界限是模糊的，随另一类对象概念从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。判断人的思维而定。 例如例如:好不好好不好?快不快？快乐的很，好快不快？快乐的很，好得很等等。得很等等。2二、课程认识二、课程认识2 在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。晰概念多得多。 对于这类模糊现象，过去已有的数学模对于这类模糊现象，过去已有的数学

5、模型难以适用，需要形成新的理论和方法，即型难以适用，需要形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座桥梁在数学和模糊现象之间架起一座桥梁模模糊数学糊数学。二、课程认识二、课程认识u 教学目的教学目的3 通过本课程的学习，掌握模糊数学的通过本课程的学习，掌握模糊数学的基本思想，基础理基本思想，基础理 论；从而进一步了解论；从而进一步了解模糊理论的基本应用，能够应用模糊理模糊理论的基本应用，能够应用模糊理论解决信息领域与工程技术中的实际问论解决信息领域与工程技术中的实际问题。题。二、课程认识二、课程认识 用数学的眼光看世界，可把我们身边用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：的现象划分

6、为：数学数学经典（精确）数学经典（精确）数学确定性确定性不确定性不确定性随机性随机性模糊性模糊性随机数学随机数学模糊数学模糊数学4二、课程认识二、课程认识模糊数学与概率论的不同模糊数学与概率论的不同4概率论所研究的随机现象，事件本身含义明确，只概率论所研究的随机现象，事件本身含义明确，只是事件的发生与否存在不确定性，这种不确定性称是事件的发生与否存在不确定性，这种不确定性称为随机性为随机性4模糊数学所研究的模糊现象，事物的概念本身是模模糊数学所研究的模糊现象，事物的概念本身是模糊的，因此一个对象是否符合这个概念难以确定，糊的，因此一个对象是否符合这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性称这种不

7、确定性为模糊性一、经典集合一、经典集合三、二元关系三、二元关系模糊理论的数学基础模糊理论的数学基础二、映射与扩张二、映射与扩张一、经典集合一、经典集合三、二元关系三、二元关系第二节第二节 模糊理论的数学基础模糊理论的数学基础二、映射与扩张二、映射与扩张概念、内涵、外延概念、内涵、外延4每一个概念都有一定的外延和内涵每一个概念都有一定的外延和内涵就是适合这个概念的一切对象的范围就是适合这个概念的一切对象的范围就是这个概念所反映的对象的本质属性就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和的总和一、经典集合一、经典集合概念、内涵、外延概念、内涵、外延l 概念：青菜概念：青菜l 内涵：内涵：一种植物，绿色

8、，一般叶子直立，可食用一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用l 外延：外延：韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等一、经典集合一、经典集合概念与集合概念与集合4概念可以用集合来表示概念可以用集合来表示4我们讨论具体问题时，要有我们讨论具体问题时，要有（议题限制在一定范（议题限制在一定范围内）围内）4例如：例如： 在论域在论域“人人”上，讨论概念上，讨论概念“男子男子”一、经典集合一、经典集合4从集合从集合“人人”中挑出所有男子，构成一个子集中挑出所有男子，构成一个子集A4A是概念是概念“男子男子”的外延，是概念的外延，是概念“男子男子”的集的集合表现合表现一、经典集合一、经

9、典集合经典集合的回顾经典集合的回顾& 十九世纪末，康托（十九世纪末，康托（ContortContort）建立了经）建立了经典集合论。典集合论。& 经典集合论是现代数学各个分支的基础，经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身也是一门严格体系的数学分支。其本身也是一门严格体系的数学分支。一、经典集合一、经典集合&我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念：念： 具有某种特定属性的，彼此可以区别的对具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做集合。象的全体，叫做集合。 每个集合里通常包含有若干个体，集合里每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成为

10、集合中的一个元素。的每个个体，成为集合中的一个元素。 同一集合中的元素都具有某种共性，该集同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对象，称为论域。合被讨论的全体对象，称为论域。一、经典集合一、经典集合1. 1 集合集合或全集或全集称为论域称为论域讨论范围讨论范围论域论域) (:universeX相等相等: :空集空集: : 不含任何元素的集合不含任何元素的集合, ,记为记为子集子集:ABBAABBABABxAx或或记记为为包包含含或或于于包包含含的的子子集集，或或是是则则称称若若.,真子集真子集:BABABAABABA记记真真包包含含于于或或的的真真子子集集，是是，称称不不相相等等且

11、且与与且且,ABBA且，与相等，且ABA=B则称则称幂集幂集: U的所有子集的集合称为的所有子集的集合称为X的幂集的幂集,记为记为P(U)P(U)A| AUUx,y,z 例如例如：P(U)x,y,z,x,y,x,z,y,z,U, 1. 1 集合集合1.2 集合的运算集合的运算A,BP(U) | )(BxAxxBAunion或或并并| )ersection(intBxAxxBA且且交交| )(AxxAcomplementc余余 ABx xA, xB差差1.集合的运算性质集合的运算性质(1) 幂等律幂等律(idempotence)AAAAA(2) 交换律交换律( (commutativity) )

12、ABBAABBA (3) 结合律结合律(associativity)A(BC)(AB)C (AB)CA(BC) (4) 吸收律吸收律(absorption laws)A(AB)A A(AB)A(5) 分配律分配律(distributivity)()()( ) ()()(CABACBACABACBA(6) 存在最大最小元存在最大最小元AU (7) 还原律还原律(involution)AAcc)(1.集合的运算性质集合的运算性质(8) De Morgan 律（对偶律）律（对偶律）ccccccBABABABA)( )(9) 补余律补余律(complementation)ccAAU ()AA ()排中

13、律矛盾律 推广：推广：,| iIiiAxIixA,| iIiiAxIixAiAP(U) (iI) 分配律、对偶律等可推广分配律、对偶律等可推广1.集合的运算性质集合的运算性质1.4集合的特征函数集合的特征函数AP(U), A1xAxU,(x)0 xA .)(的的程程度度属属于于可可理理解解为为AxxA设设ABAB(i)xX,(x)(x)(x) 证：证：BAxxBA1)(BxAx或或1)(1)(xxBA或或ABsup(x),(x)1 ABAB(x)(x)(x) 故故特征函数与集合之间的几个基本关系：1.4集合的特征函数集合的特征函数例例:2,8,3,5,1,2,8,1,3,5,( )( )0,2

14、,8,0,3,5,ABABxxxxxxxx1,2,8,max( ),( )0,2,8,ABxxx xxx1,2,82,8,( )0,2,8ABxABxxx则则( )max( ),( )ABABxxxx xx1.4集合的特征函数集合的特征函数类似可得：类似可得：ABAB(ii)xX,(x)(x)(x) )(1)( , )(xxXxiiiAAc)()( , )(xxXxBAivBA取小运算取小运算, ,如如23 = 21.4集合的特征函数集合的特征函数证证：.BA先先设设.)()( 显显然然xxBAAxxA则则若若, 1)(, 0)(xA若Bx1)(xB)()(xxBA1.4集合的特征函数集合的特

15、征函数)()(,xxxBA反之，设反之，设1)( ,xAxA则则若若BxxB即即从从而而, 1)(BA于于是是，)()( , )(xxXxBAvBA1.4集合的特征函数集合的特征函数)(max)( ,xxXxiIiiAIiA)(min)( ,xxXxiIiiAIiA推广推广：1.4集合的特征函数集合的特征函数（1） 映射映射(mapping)xX, 记号记号：f :XYxyf(x) X,Y设设都是集合，若存在对应关系都是集合，若存在对应关系f, 使使都有唯一的都有唯一的 与之相对应，则称与之相对应，则称f 是映是映X入入Y的映射。的映射。 yY 读作读作f映映X入入Y（映入），（映入），y称为

16、称为x在影射在影射f下的像，下的像，x称为原像。称为原像。二、映射与扩张二、映射与扩张例例1 1：定义对应法则：定义对应法则：设设 , ,3 , 2 , 1cbaBA12:1, 2, 3:1, 2, 3fabcfaaa的的映映射射。到到均均为为从从则则BAff21,二、映射与扩张二、映射与扩张象与原象象与原象:. | )() (,.),( ,:的的象象为为则则称称若若的的原原象象是是的的象象，是是则则称称若若设设AAxxfAfAAyxxyxfyBAf例例2:121f (1,2,3)a,b,c,f (1,2,3)a. 在在例例 中中，二、映射与扩张二、映射与扩张（2） 特殊映射特殊映射单射单射(

17、injection)：)()(2121xfxfxx2121)()(xxxfxf或或二、映射与扩张二、映射与扩张满射满射(surjection)：双射双射(bijection)：满射满射单射单射f 为从为从X到到Y的满射当且仅当的满射当且仅当f(X)=Y.注注1. 单射或满射的概念与集合有关单射或满射的概念与集合有关. 例如例如:.0 0 )(.0 )(22）上上的的单单射射，）到到，是是）映映射射，非非单单射射，）到到，是是（xxfxxf注注2. 双射为双射为1-1对应对应.（3）扩张：点集映射）扩张：点集映射 集合变换集合变换二、映射与扩张二、映射与扩张| ),(2121iinnAxxxxA

18、AA), 2 , 1( )(niXPAii称为称为的的卡卡氏氏积积nAAA,21设设三、二元关系三、二元关系3.1 直积直积例例13 , 2 , 1,BbaA设设)3 ,(),2 ,(),1 ,(),3 ,(),2 ,(),1 ,(bbbaaaBA则则), 3(), 2(), 1 (), 3(), 2(), 1(bbbaaaAB例例2R表示实数集，表示实数集，维维欧欧氏氏空空间间为为即即为为实实平平面面，则则个个nRRRRRn3.1 直积直积解解 : 先计算先计算AB,ABC ,d , BA, 3.1 直积直积例例3 设集合设集合 A=a,b,B=1,2,3,C=d, 求求ABC，BA。例例4

19、 设集合设集合A1,2,求求AP(A)。3.1 直积直积解解: P(A)=,1,2,1,2AP(A)1,2,1,2,1,2 =, , ,B ,ABBA ,(,)ABBA AB AB 注意点：注意点：A 或或(1)(2)(3)()(),(,)A BCAB CABC3.1 直积直积引例：设一旅馆有引例：设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以一个房间，每个房间可住两个旅客，所以一共可住共可住2n个旅客，在旅馆内，旅客与房间有一定关系，用个旅客，在旅馆内，旅客与房间有一定关系，用 R 表表示示“某旅客住在某房间某旅客住在某房间”这种关系。这种关系。 设设 n=3 表示旅馆共有表示旅馆共有3个房

20、间个房间, 分别记以分别记以 1, 2, 3 可住可住6个旅个旅客分别记以客分别记以 a, b, c, d, e, f , 这些旅客住的房间如右下图所示这些旅客住的房间如右下图所示123abcdef 满足满足 R 的所有关系可看成是一个有序偶的集的所有关系可看成是一个有序偶的集合，这个集合可叫合，这个集合可叫 R R=, 若令若令 A = a, b, c, d, e, f B = 1, 2, 3 则例中关系的每一元素均属于则例中关系的每一元素均属于AB亦即亦即 R 是是AB的子集，并称此关系为从的子集，并称此关系为从 A 到到 B 的关系的关系 R。3.2 二元关系的概念二元关系的概念上上的的

21、关关系系。称称为为时时，。特特别别地地，记记具具有有关关系系与与称称，则则一一个个关关系系。若若一一个个二二元元关关系系，简简称称为为的的到到是是从从，则则称称是是两两个个集集合合，设设XRYXxRyRyxRyxYXRYXRYX,),(,注注1.1.关系就是集合，关系就是集合，注注2.2.从从X到到Y的关系与从的关系与从Y到到X关系不同。关系不同。；YXPR)(即即3.2 二元关系的概念二元关系的概念例例1 1)4 , 2(),4 , 3(),3 , 2(,| ),(4 , 321321YyXxyxyxRYX，Y，X的的小小于于关关系系为为：到到从从3.2 二元关系的概念二元关系的概念)3 ,

22、 2(),3 , 1 (),2 , 1(,| ),(2YyXxxyxyRXY的的小小于于关关系系为为：到到从从若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为R (x , y ) = 1；若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为R (x , y ) = 0. 映射映射 R : X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.3.2 二元关系的概念二元关系的概念3.3 关系的运算关系的运算定定义义：设设),(,21YXPRRR),(),( | ),(2121RyxRyxyxRR或或并并：),(),

23、( | ),(2121RyxRyxyxRR且且交交：),( | ),(RyxyxRc余余：)(),( | ),(1XYPRyxxyR逆：逆：的的大大于于关关系系到到为为从从，）（则则：的的小小于于关关系系为为到到中中，从从在在例例XYRRYX)24(),34(),2 , 3(,3 . 2111),(),( ,| ),(2121RzyRyxYyzxRR且且例例3 3,3 , 2 , 1乙乙甲甲ZdcbaYX)(), 3(), 3(), 2(), 1 (), 1(1YXPdabcaR)(),(),(),(),(2ZYPdbcaR乙乙乙乙甲甲甲甲)(), 3(), 2(), 3(), 1(21ZXP

24、RR乙乙乙乙甲甲甲甲则则定定义义为为：的的合合成成与与则则合合成成：设设)(),(),(212121ZXPRRRRZYPRYXPR3.3 关系的运算关系的运算关系的矩阵表示法关系的矩阵表示法 设设X = x1, x2, , xm, ,Y= y1, y2, , yn，R为从为从 X 到到 Y 的的二元关系，记二元关系，记rij = =R(xi , yj )，R = (rij)mn，则则R为布为布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )，称为称为R的关系矩阵的关系矩阵. 布布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩阵的矩阵. .3.3 关系的运算关系的运算关系合成的矩阵表示法关

25、系合成的矩阵表示法 设设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且，且X 到到Y 的关系的关系R1 = (aik)ms，Y 到到 Z 的关系的关系R2 = (bkj)sn，则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵的合成：的关系可表示为矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks.3.3 关系的运算关系的运算例例4 设设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是Y 到到 Z 的关系的关系,R

26、1 =(x, y) | x + y = 6= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(y, z) | y z = 1= (2,1), (3,2), (4,3),则则R1与与 R2的合成的合成R1 R2=(x, z) | x + z = 5 = (2,3), (3,2), (4,1).0010101000001R1000100012R3.3 关系的运算关系的运算合成合成( )运算的性质：运算的性质：性质性质1：(A B) C = A (B C)；性质性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( BC

27、 ) A = ( B A )( C A ) ；性质性质4：O A = A O = O，I A=A I =A；性质性质5：A B，C D A C B D.O为零矩阵为零矩阵，I 为为 n 阶单位方阵阶单位方阵.3.3 关系的运算关系的运算3.4 特征关系特征关系的特征函数：的特征函数：RYXPR),(yxRxRyyxYXyxcR01),( ,),(.,),(的程度的程度具有具有可理解为可理解为RyxyxR),(),(max(),( ,),( )(2121yxyxyxYXyxiRRRR称为称为R的特征关系。的特征关系。),(),(min(),( ,),( )(2121yxyxyxYXyxiiRRR

28、R),(1),( ,),( )(yxyxYXyxiiiRRc),(),( ,),( )(2121yxyxYXyxRRviRR),(),( ,),( )(2121yxyxYXyxRRviiRR),(),( ,),( )(1yxxyYXyxivRR),(),(min(max),( ,),(),(),( )(212121yxyxzxZXzxZYPRYXPRvRRYyRR则则3.4 特征关系特征关系3.5等价关系等价关系满满足足：若若设设RXXPR),(;),( ,)() 1 (RxxXxyreflexivit：自自反反性性;),(,),()()2(RxyRyxsymmetry则则：对对称称性性,),

29、( ),( ,),()()3(RzxRzyRyxtytransitivi则则：传传递递性性则称则称R是一个是一个X上的等价关系。上的等价关系。是是一一个个等等价价关关系系。上上的的关关系系则则),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),(),(),(),(, deedbcaccbabcabaeeddccbbaaRX，edcbaX例例1 13.5等价关系等价关系例例2：在非空集：在非空集A的幂集的幂集P(A)上给定包含关系上给定包含关系R1，真，真包含关系包含关系R2，以及不相交关系，以及不相交关系R3：123(, ),( ),(, ),( ),(, ),( ),RX YX YP

30、 A XYRX YX YP A XYRX YX YP A XY 判断是否自反、传递、对称？判断是否自反、传递、对称？3.5等价关系等价关系例例3：设：设P是正整数，在所有整数的集合是正整数，在所有整数的集合Z上给定关上给定关系系R：3.5 等价关系等价关系( , ),Rm n m nZ pmn整除易知易知R具备自反性、对称性及传递性。具备自反性、对称性及传递性。关系三大特性的矩阵表示法：关系三大特性的矩阵表示法： 设设R为为 X = x1, x2, , xn 上的上的关系，则其关关系，则其关系系矩阵矩阵R = (rij)nn 为为 n 阶方阵阶方阵.(1) R具有具有自反性自反性 I R；(2

31、) R具有具有对称性对称性 RT = R ； (3) R具有具有传递性传递性 R2 R . . 若若R具有具有自反性，则自反性，则 I R R2 R3 3.5等价关系等价关系下面证明：下面证明：R具有具有传递性传递性 R2 R. .R=(rij)nn 设设R具有具有传递性传递性, 即对任意的即对任意的 i , j , k，若有，若有rij =1， rjk=1，则有，则有rik=1. 对任意的对任意的 i , j，若，若(rikrkj) | 1kn=0， 则则 (rikrkj) | 1knrij . 若若(rikrkj) | 1kn = 1，则存在则存在1sn， 使得使得 : (risrsj)

32、= 1，3.5等价关系等价关系即即ris= 1, rsj= 1. 由于由于R具有具有传递性，则传递性，则rij =1，所以，所以(rikrkj) | 1kn = rij .综上所述综上所述 R2 R. . 设设R2 R，则对任意的，则对任意的 i , j , k，若有，若有 rij =1， rjk = 1，即即(rijrjk) = 1，因此，因此(risrsk) | 1sn=1， 由由R2 R，得，得rik=1，所以，所以R具有具有传递性传递性.3.5等价关系等价关系例例4 设设A=a,b,c,以下各关系以下各关系Ri(i=1,2, 7)均为均为A上上二元关系。二元关系。1234567(1)

33、, , , , , , , , , , , (2) , , , , , , , , , , , , , (3) , , , , , , , Ra aa cb bc cRa cc aRa aRa bb aRa cc aa ba aRa ba cRa bb ca cc c是否自反？是否自反？是否对称？是否对称？是否传递？是否传递？3.5等价关系等价关系例例5 红，白，黄三色球若干红，白，黄三色球若干，, , ( , )RXX x yXx yR球球x与球与球y相同颜色。证明：相同颜色。证明：R是等价关系。是等价关系。1,( , )(2)( , )( , )(3)( , ),( , )( , )xXx

34、 xRx yRy xRx yRy zRx zR （）若若结论：结论：R是等价关系。是等价关系。3.5等价关系等价关系等价类：等价类：令令取取上上的的一一个个等等价价关关系系，任任是是设设,XxXR的等价类。的等价类。为为则称则称xxyRxXxyx,| | , , , ax xRaa b cbca,|eedxRdxd , , , , Xa b c d e ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ), ( , ),( , ),( , ),( , )Ra ab bc cd de ea ba cb ab cc ac bd ee d3.5等

35、价关系等价关系在例在例1中中定理：若定理：若R 是集合上的等价关系，则等价类的集合是集合上的等价关系，则等价类的集合称集合称集合 Ai 是集合是集合 A 的一个划分的一个划分.每个集合每个集合Ai叫做这叫做这个划分的一个类。个划分的一个类。(1);(2).()iiKijAAAAij 定义：设定义：设A是一个非空集，而是一个非空集，而Ai， （指标集（指标集K可以是有限可以是有限的，也可以是无限的）是集合的，也可以是无限的）是集合A的某些非空子集，如果的某些非空子集，如果iKiK RaaA构成构成A A的一个划分。的一个划分。3.5等价关系等价关系第三节第三节 模糊子集模糊子集l 模糊子集的定义

36、模糊子集的定义l 模糊子集的运算模糊子集的运算l 分解定理扩张定理分解定理扩张定理l 隶属函数的确定隶属函数的确定一、一、 模糊子集的定义模糊子集的定义精确数学精确数学vsvs模糊数学模糊数学4精确数学（经典集合论）一个对象和一个集合的关精确数学（经典集合论）一个对象和一个集合的关系只有两种可能：属于、不属于；系只有两种可能：属于、不属于；4模糊数学（模糊集合论）一个对象和一个模糊集合模糊数学（模糊集合论）一个对象和一个模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度（隶属度）的关系：对象隶属于该模糊集合的程度（隶属度）特征函数与隶属函数特征函数与隶属函数特征函数（经典集合）特征函数（经典集合）4经

37、典集合论中，集合通过特征函数来刻画经典集合论中，集合通过特征函数来刻画4每个集合每个集合A对应一个特征函数对应一个特征函数CA(x)4特征函数的定义特征函数的定义AxAxxCA,0, 1)(隶属函数隶属函数4模糊集合论中，模糊集合通过隶属函数来刻画模糊集合论中，模糊集合通过隶属函数来刻画4隶属函数是将特征函数的值域从隶属函数是将特征函数的值域从0，1推广到推广到0，14隶属函数记为隶属函数记为A(u)，u论域论域U特征函数与隶属函数特征函数与隶属函数1.1 1.1 模糊子集的定义模糊子集的定义4 设设U是一论域，是一论域，U到到0, 1的任一映射的任一映射A ：U 0, 1 都确定了都确定了U

38、上的一个模糊子集上的一个模糊子集A ，称，称A为为A的隶属函数的隶属函数，A(u) （ uU ）表示）表示 u隶属于模隶属于模糊子集糊子集A的程度，称之为的程度，称之为u对对A的隶属度。的隶属度。 U上的全体模糊子集构成的集合类，上的全体模糊子集构成的集合类，记为记为F(U).4设论域设论域U0, 100表示人的年龄，表示人的年龄，“年轻年轻Y”与与“年老年老O”两个模糊集，其隶属函数两个模糊集，其隶属函数u(x)为：为：u(x)1年轻年轻2550100 x年老年老Y（30）0.5Y（35）0.2O（55）0.5O（80）0.81.1 1.1 模糊子集的定义模糊子集的定义4模糊集合模糊集合A

39、A由隶属函数由隶属函数A A刻画刻画4普通集合由特征函数普通集合由特征函数C CA A刻画刻画 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数 空集空集的隶属函数为的隶属函数为0)(x 全集全集X的隶属函数为的隶属函数为1)(xX1.1 1.1 模糊子集的定义模糊子集的定义例：某小组有五个同学，亦即例：某小组有五个同学，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5，现分别对每个同学的性格稳定程度，现分别对每个同学的性格稳定程度打分，按百分制给分再除以打分，按百分制给分再除以100，这实际上就是给定一，这实际上就是给定一

40、个从个从U到到0,1闭区间的映射，例如：闭区间的映射，例如：112233445585( )0.85;75()0.7598()0.98;30()0.3060()0.60AAAAAxxxxxxxxxx这样就确定了一个模糊子集这样就确定了一个模糊子集A，它表示出小组的同学，它表示出小组的同学对对“性格稳重性格稳重”这个模糊概念的符合程度。这个模糊概念的符合程度。1.1 1.1 模糊子集的定义模糊子集的定义 Zadeh表示法：设论域表示法：设论域U是有限集是有限集x1, x2, , xn, A是是U的一模糊子集，其隶属函数为的一模糊子集，其隶属函数为i =A(xi)，则，则模糊子集模糊子集A可以记作可

41、以记作 A = i=1n i / xi 。 “i=1n i / xi”不是分式求和，只是一不是分式求和，只是一 符号符号 当隶属度为当隶属度为0时，该项可以不写时，该项可以不写注意注意1.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法例如：例如：设论域设论域 = Bill, John, Einstein, Mike, Tom 对高个子的隶属程度：对高个子的隶属程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60，则论域中元素对则论域中元素对“高个子高个子”这模糊概念的符合程度可以这模糊概念的符合程度可以用模糊子集用模糊子集A来表示来表示 A = 0.85/Bill + 0.75/John+ 0

42、.98/Einstein + 0.30/Mike + 0.60/Tom 1.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法那么那么3 . 0)( aA0)( bA8 . 0)( cA5 . 0)( dA1)( eA则则edcaA15 . 08 . 03 . 0 例例1： 表示表示“圆糊糊的物体圆糊糊的物体”abcdeA1.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法4序偶表示法序偶表示法 A(x1 ,1),(x2 ,2),(xn ,n) A = (Bill, 0.85), (John, 0.75), (Einstein, 0.98), (Mike, 0.30), (Tom, 0.60)4向量表示

43、法向量表示法 A1, 2 , ,n A = 0.85,0.75,0.98,0.30,0.601.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法当论域当论域U为无限集时，为无限集时，A = xU A(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表示求和这里的积分号不表示积分，也不表示求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总括。括。这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等各种情况。各种情况。注意注意1.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法设论域设论域U0,100表示人的年龄，表示人的年龄，“年轻年轻

44、Y”与与“年老年老O”两个模糊集。两个模糊集。210,2525,100210,5050,100251() 15501() 05xxxxxYxxxOxx1.2 1.2 模糊子集的表示法模糊子集的表示法二、二、 模糊子集的运算模糊子集的运算设设A、B为论域为论域U上的模糊集上的模糊集4 A= 对任何对任何 uU，A(u) = 04 A = B 对任何对任何 uU，A(u) =B(u) 4 A B 对任何对任何 uU，A(u) B(u) 4 A B 对任何对任何 uU，A(u) B(u) 4 A B 对任何对任何 uU，A(u) B(u) 4 Ac 对任何对任何 uU，1A(u)2.12.1 模糊子

45、集的运算模糊子集的运算2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算例例 1.设论域设论域U=x1 , x2 , x3 , x4 , x5A, B是论域是论域U的两个模糊子集，的两个模糊子集，A = 0.2/x1+ 0.7/x2 + 1/x3 + 0.5/x5B = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.1/x4+0.7/x5计算计算A,B的余集，的余集，AB，AB2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算12345123451234512512451230.20.50.70.31000.10.50.70.5/0.7 /1/0.1/0.7 /0.20.50.70.31000.10.50.70.2

46、/0.3/0.5/0.8/0.3/1/0.5/0.5/0.7 /1/0.ccABxxxxxxxxxxABxxxxxxxxAxxxxBxxx459 /0.3/xx2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算4若若U表示商品集合，表示商品集合，A表示商品质量好，表示商品质量好，B表示商品质表示商品质量坏。则，量坏。则，4Ac表示商品质量不好，可见表示商品质量不好，可见AcB，即，商品质量不好，即，商品质量不好，并不代表商品质量坏。模糊集合能够很好的表现这，并不代表商品质量坏。模糊集合能够很好的表现这些概念的差异。些概念的差异。2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算例例2 设设U= u1,u2,u

47、3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3求：求：AB, AB及及Ac.解：解：AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2 +(0.6 0.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2+(0.6 0.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u32.12.1

48、 模糊子集的运算模糊子集的运算 例例3 设论域设论域U0,100表示人的年龄，表示人的年龄，“年轻年轻Y”与与“年老年老O”两个模糊集。给出模糊集合两个模糊集。给出模糊集合YO，YO的隶的隶属函数曲线属函数曲线.210,2525,100210,5050,100251() 15501() 05xxxxxYxxxOxx2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算解：先求两曲线的交点，即解方程解：先求两曲线的交点，即解方程112225501155xx得近似解得近似解 ，于是，于是51x2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算11220252551511001122050505151100202512

49、5501/1/55050251/1/55025115xxxxxxcxxxBAxxxxxBAxxxxBx UI1251001205050100/15011/5xcxxxxAxx 2.12.1 模糊子集的运算模糊子集的运算4（1）幂等律：）幂等律：AAA , AA=A;4（2）交换律：）交换律：AB=BA, AB=BA;4（3）结合律：）结合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC);4（4）吸收律：）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A;4（5）分配律）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC);2.22.2 模糊子集的运算性质模糊子集的运算性

50、质4（6）0-1律：律：AA, A; UA=U,UA=A;4（7）还原律：）还原律：(Ac)c=A;4（8）对偶律：）对偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 互余律不成立！互余律不成立！ AcA U, AAc 注意注意2.22.2 模糊子集的运算性质模糊子集的运算性质推广到有限个模糊集：推广到有限个模糊集：对任意多个模糊集：对任意多个模糊集：1111() ()()() ()()nniiiinniiiiAxAxAxAx() ()()() ()()tttTtTtttTtTAxAxAxAx2.22.2 模糊子集的运算性质模糊子集的运算性质运算性质：运算性质：满足：交换律、结合律、

51、还原律、满足：交换律、结合律、还原律、 0-1律、对偶律、对偶律、排中律律、排中律不满足：分配律、吸收律、幂等律、不满足：分配律、吸收律、幂等律、2.22.2 模糊子集的运算性质模糊子集的运算性质三、三、 模糊集的分解（分解定理）模糊集的分解（分解定理）模糊集合与经典集合的联系模糊集合与经典集合的联系 由模糊集合理论可知，模糊集合是通过隶属函数由模糊集合理论可知，模糊集合是通过隶属函数 来定义的。来定义的。 如果模糊集合如果模糊集合 的任意元素的任意元素x对于对于 的隶属度达到的隶属度达到 或超过一个常量或超过一个常量 者，就算做经典集合者，就算做经典集合B的成员的成员 的话，那么模糊集合的话

52、，那么模糊集合 就变成了经典集合就变成了经典集合A。 例如，例如，“高个子高个子”是个模糊集合，而是个模糊集合，而“身高身高175cm以以 上的人上的人”却是个经典集合。却是个经典集合。 为此便引出了为此便引出了“ ”的概念。的概念。AAA截集引例：东汉西汉秦战国春秋西周商夏奴隶社会/1 . 0/3 . 0/4 . 0/5 . 0/7 . 0/9 . 0/1/1若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、春秋3.1 3.1 截集截集定义：设定义：设 是论域，是论域，(),0,1,AF X |( )Ax A x 例如：例如：A 0.5

53、AA AX称为阈值XA 的截集；称为称为强截集；的强的强称为称为A |( )Ax A x 奴隶社会，奴隶社会，0.5 夏，商，西周，春秋，战国 夏，商，西周，春秋0.5AA 显然，AA3.1 3.1 截集截集4一个模糊集一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为的水平截集是普通集合，其特征函数为：1,( )( )0,( )AAAuCuu当时当时例例1 设论域设论域U=a,b,c,d,e,f上的模糊集合上的模糊集合A为：为：0.30.10.50.910.8Aabcdef则：则：根据根据 截集定义，得：截集定义，得： 0.50.70.90.5 , , , , , , , , , , , Ac

54、d e fAd e fAd e fAd e3.1 3.1 截集截集截集（例）截集（例）4 例例2 设模糊集合设模糊集合A的隶属函数为的隶属函数为 A(x)=exp-(x-a)2/2 , xR, 其中其中aR,0, 称称A为以为以(a,)为参数的正态模糊集为参数的正态模糊集, 对于对于00为为A的的支集支集，记，记SuppA=A0； 4称集合称集合KerA=xA(x)=1为为A的的核核，记，记KerA=A1.若若KerA，则称，则称A为为正规模糊集正规模糊集。4集合集合BdA x| 0 A(x)0 是隶属函数大于是隶属函数大于0的元素的元素 的最大集合。的最大集合。A的边界的边界 BdA则是介于

55、完全属于则是介于完全属于A 与完全不属于与完全不属于A之间的元之间的元 素的全体，这正表明了素的全体，这正表明了A 的边界是不分明的。的边界是不分明的。0AA1A3.1 3.1 截集截集 例例5 设有模糊集：设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且且分别为分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的分别求其相应的水平水平截集、核及支集。截集、核及支集。解：（解：（1）水平截集水平截集 A1= u3 , A0.6= u2,u3,u4 , A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集）核、支集 Ker

56、A= u3 , SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 3.1 3.1 截集截集3.2 3.2 分解定理分解定理定义定义: 设设01(),AF X，()AF X , ()( )( )xXA xA x 当当A为经典集合时，为经典集合时， ()( )0 xAA xxA( )( )( )A xA xA x 设设 定义为：定义为：A是是X的一个模糊集合，的一个模糊集合，A仍然表示仍然表示X的一个模糊子集，的一个模糊子集，称为称为与与A的的“乘积乘积”。性质：性质：1212( ) ;iAA 1212( ) iiAAAA 事实上，事实上，1211 ()( )( )A xA x 22( )()( )A

57、xA x 3.2 3.2 分解定理分解定理AAX上的模糊集对任意0,1AAU证明：证明：0,1( )()( )A xAxU所以所以0,1AAUX AAA分解定理分解定理有有只需证只需证010,10( )( )10( )( )1,( );()( )0,( ).()( )()( )()( )()( )( )(0)( )A xA xA xA xxAA xAxxAA xAxAxAxAxA x U3.2 3.2 分解定理分解定理3.2 3.2 分解定理分解定理例例1,54321xxxxxX 123513513300.2 ,0.20.5 ,0.50.6 ,0.60.7 0.71Xx x x xAx x x

58、x xx . A求11()xAA x7.05.0)(2xA1)(3xA2.0)(4xA6.0)(5xA54321/6.0/2.0/1/5.0/7.0 xxxxxA3.2 3.2 分解定理分解定理例例2 设设U1,2,3,4,5,6 ，A0.1, 0.4, 0.8, 1, 0.8, 0.4，根据分解定理，根据分解定理，A可分解为可分解为:A1 A1 0.8A0.8 0.4 A0.4 0.1 A0.1,写出写出A0.1、 A0.4、 A0.8、 A1。A0.1=1,2,3,4,5,6, A0.4=2,3,4,5,6, A0.8=3,4,5, A1=43.2 3.2 分解定理分解定理10.80.40

59、.10,143452345612345612345610.80.40.110.80.80.80.40.40.40.40.40.10.10.10.10.10.10.10.40.810.80.4AAAAAxxxxxxxxxxxxxxxAxxxxxxUUUUUUU3.2 3.2 分解定理分解定理例例3 设设U1,2,3,4,5,6，A0.1=1,2,3,4,5,6，A0.4=2,3,4,5,6， A0.8=3,4,5， A1=4，求模糊子集，求模糊子集A。 解：解：A(1)=0.1=0.1, A(2)=A(6)= 0.1,0.4=0.4, A(3)=A(5)= 0.1,0.4,0.8=0.8, A(

60、4)= 0.1,0.4,0.8,1=1 0.10.40.810.80.4123456故故 A=A的含义：靠近的含义：靠近4的数。的数。3.2 3.2 分解定理分解定理4设设A是论域是论域U的一个模糊子集，则有的一个模糊子集，则有4推论推论0,1( )( )AA xxx( )0,1;A xxA 3.2 3.2 分解定理分解定理 分解定理说明：模糊集合分解定理说明：模糊集合A A与一个经典集合族与一个经典集合族AA0 0 11等价。等价。 也就是说，模糊集合可以不通过隶属函数，而也就是说，模糊集合可以不通过隶属函数，而 是使用是使用 截集来表示。截集来表示。 模糊集合模糊集合A A可分解为无数个模