典型环节的频率特性

1、111111)()(12sRCsCsRCssUsU例：如图所示电气网络的传递函数为例：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：若输入为正弦信号：tUumsin11其拉氏变换为：其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm一、频率特性的定义一、频率特性的定义 5-1 5-1 其稳态响应为：其稳态响应为：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号

2、。但幅值降低，相角滞后。输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为输入为XeXej0 j0，输出为，输出为YeYej j，则输出输入之复数比为：，则输出输入之复数比为：)(0)(jjjjeAeXYXeYe)(A幅值频率特性幅值频率特性)(相角频率特性相角频率特性01jmeUjjmejU11111频率特性的定义：频率特性的定义：线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。数比。例题中输入信号的复数表示为：例题

3、中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jAtanarg11)(j010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅频特性和相频特性数据jjG11)(频率特性频率特性G(j)也可以表示成实部和虚部的复数形式。也可以表示成实部和虚部的复数形式。)()()(jQPjG)(cos)()(AP)(sin)()(AQ22)()()(QPA)()(arctan)(PQ

4、二、频率特性与传递函数的关系二、频率特性与传递函数的关系线性定常系统的传递函数表达式为线性定常系统的传递函数表达式为)()()()()()()()(21npspspssNsDsNsRsCsG输入为输入为r(t)=Msin(t)，22)(sMsR2221)()()()(sMpspspssNsCn若无重极点，上式可写为若无重极点，上式可写为niiipsajsbjsbsC121)(tpniijjieaebebtc121)(若系统稳定，若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：都具有负实部，则稳态分量为：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(1jMjGjs

5、jsjsMsGbjs2)()()()(2G(jG(j) )是一复数，可写为是一复数，可写为)()()(jeAjG)()()(jeAjG)(1)(2jeAjMb)(2)(2jeAjMb jeeMAebebtctjtjtjtjss2)()()()(21)(sin)(tMA得到线性系统的幅频特性和相频特性：得到线性系统的幅频特性和相频特性：)()(jG)()(jGA频率特性和传递函数的关系为频率特性和传递函数的关系为jssGjG)()(三、频率特性的几种图示方法三、频率特性的几种图示方法1. 1. 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquis

6、t曲线。系统的频率特性可表示为：系统的频率特性可表示为：)()()(jeAjG对某一固定频率对某一固定频率 1 1)(111)()(jeAjG在极坐标系中画出该向量。在极坐标系中画出该向量。 从从-+-+变换时该向量在极坐标系中形成变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为的曲线，称为NyquistNyquist曲线曲线。实频特性是实频特性是 的偶函数，虚频特性是的偶函数，虚频特性是 的奇函数。为什么？的奇函数。为什么？惯性环节惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o o()A()0

7、1-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76 -840.450.370.240.052. 2. 对数频率特性曲线（对数频率特性曲线（Bode图）图） 在半对数坐标纸上绘制，由在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性对数幅频特性和和对数对数相频特性相频特性两条曲线所组成。两条曲线所组成。 频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程对数幅频特性：对数幅频特性：指指G(jG(j) )的对数值的对数值20lg|G(j)|和频率

8、和频率 的关系曲线。的关系曲线。对数相频特性：对数相频特性：指指G(jG(j) )的相角值的相角值()和频率和频率 的关系曲线。的关系曲线。即纵坐标即纵坐标)(lg20)(ALL(L() )称为对数幅值，单位是称为对数幅值，单位是dB(dB(分贝分贝) )。纵坐标是的单位是纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。采用线性刻度。3. 3. 对数幅相特性曲线（对数幅相特性曲线（NicholsNichols图图) )由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭可以方便求出系统闭环频率特性及有关特环频率特性及有关特征参数，作为评估系征参数，作为评估系统性能

9、的依据。统性能的依据。K) s (G传递函数：K)j (G频率特性：K)j (G)A(0)j (G)(Klg20lg20)A()(L0)(（一） 比例比例 环节环节5-2 5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性-20dB/dec20dB-20dB/decS1) s (G传递函数：j1)j (G频率特性：lg20)L(（二） L1()SK) s (G1传递函数：20lgK1)A(90)(1101S1) s (G传递函数：1j1)j (G频率特性：（三） 11)A(221tg)( 1/101/51/51/21/21/1/2/5/10/10/()(度度)-5.7-5.7-11.3-11.3-2

10、6.6-26.6-45-45-63.4-63.4-78.7-78.7-84.3-84.3L()（dB）0 0-0.17-0.17-0.97-0.97-3-3-7-7-14-14-20-20()L()-90o 1 10 0，得得令令 11的近似线的近似线斜率斜率-20dB/dec,-20dB/dec,与零分贝线交于与零分贝线交于 处处101lg20)(L1lg20lg20lg20)(L1惯性环节的对数幅频特性通常用折线近似惯性环节的对数幅频特性通常用折线近似: :11)A(22( )L( )-90o 绘制惯性环节的绘制惯性环节的BodeBode图方法图方法 1/1-20dB/dec1L()()-

11、90L()110-84.3 -45 101-5.7 绘制绘制惯性环节惯性环节的的Bode图图的方法的方法2、ZPZ则则N0N0， F F逆逆时针包围零点时针包围零点N N圈圈当当PZPZ则则N0 NKf时包围时包围(-1, j0)点，点， 使系统不稳定使系统不稳定KKfeRIm)H(jG(j-1)j (H)j (Gg g c相对稳定性用两个参数来衡量：相对稳定性用两个参数来衡量：1) 在在 = c处，处，|G(j )|=1, 若系统稳定若系统稳定 g g=180+ (j )应应02) 在在 = g处，处， (j ) = -180, 若系统稳定若系统稳定 Kg=1/A( )应应1 g g 称为相

12、角稳定裕度称为相角稳定裕度 （ g g 越大越大相对稳定性相对稳定性越好）越好） Kg称为幅值稳定裕度（称为幅值稳定裕度（ Kg越大越大相对稳定性相对稳定性越好）越好） gKg)(A1幅值穿越频率幅值穿越频率相角穿越频率相角穿越频率相对稳定性是用两个参数来衡量的，相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大，稳定性度大， 必须两个参数都要必须两个参数都要大大在在Bode图中，图中，稳定裕度描述如图：稳定裕度描述如图： 稳定裕度稳定裕度在在BodeBode图中的描述图中的描述)L()(F图Bode180cghg g 因为，在对数幅频特因为，在对数幅频特 性图中，纵坐标是用性图中，纵坐标是用增益刻度

13、，所以，幅增益刻度，所以，幅值稳定裕度值稳定裕度Kg用用 h= - 20lg(1/A( )来来表示表示,因此，和因此，和Kg一一致，致，h 越大，则相对越大，则相对稳定裕度就越大稳定裕度就越大上图系统 g0, h0,闭环是稳定的右图系统闭环不稳定： g0, h0, h0使系统稳定。使系统稳定。如果：如果：减少系统的传递减少系统的传递系数系数K K，稳定性，稳定性将如何变化？将如何变化？h物理意义物理意义r(t)b(t) 如果：如果： ( )= -180A( )=1此时，此时，-b(t) = r(t)，系统闭，系统闭环后，就无须输入环后，就无须输入r(t)而自而自己维持正弦振荡，即：系己维持正弦

14、振荡，即：系统输出无法控制统输出无法控制G (s) H(s)输入输入r(t)=Sin t-b(t)=ASin（ t+ ）b(t)-1系统系统开环开环情况下：情况下：系统稳定必须：系统稳定必须：A( )=1 时时 ( ) -180 ( )= -180时时 A( )1系统闭环后，系统闭环后，-b(t)和和r(t)同相位，同相位，r(t)-b(t)越来越大，系统不稳定越来越大，系统不稳定如果：如果：G(s)c(t)r(t)H(s)b(t) 5-5 系统的闭环频率特性一、闭环频率特性的几个性能指标1. 1. 直流增益直流增益( (零频振幅比零频振幅比)M(0)M(0)直接反映了系统的稳态精度。直接反映

15、了系统的稳态精度。M(0)M(0)越接近于越接近于1 1表示系统的稳表示系统的稳态误差越高。态误差越高。2. 2. 谐振峰值谐振峰值MrMr表明系统对某个频率的正弦信号反表明系统对某个频率的正弦信号反应强烈，有谐振的趋势，反映应强烈，有谐振的趋势，反映系统的相对稳定性和阶跃响应系统的相对稳定性和阶跃响应超调量。超调量。3. 3. 谐振频率谐振频率 r r。 r r较高时，较高时，t tp p值可能较小。值可能较小。 M()r0M(0)=1Mr b0.707M(0)4. 4.频带宽度频带宽度( (截止频率截止频率)b b 指衰减到指衰减到0.707M(0)0.707M(0)所对应的频率，也叫所对

16、应的频率，也叫通频带。通频带。 带宽较宽，表明系统能通过较高频率的输入信号，带宽较宽，表明系统能通过较高频率的输入信号，通频带较宽的系统一方面复现输入信号的能力较强，通频带较宽的系统一方面复现输入信号的能力较强，另一方面抑制输入端高频干扰的能力较弱。另一方面抑制输入端高频干扰的能力较弱。 带宽和调节时间也有着密切的关系，带宽和调节时间也有着密切的关系， b b越大，调节越大，调节时间越短。时间越短。二、闭环频域指标和时域指标的关系二、闭环频域指标和时域指标的关系闭环系统的频域指标：闭环系统的频域指标：谐振峰值谐振峰值MMr r和频带宽度和频带宽度 b b 。闭环系统的时域指标：闭环系统的时域指

17、标：超调量超调量%和调整时间和调整时间ts ts 。二阶系统2222)(nnnsssF)2()(2nnsssG) 10(闭环系统的频率特性为：闭环系统的频率特性为：Fnnnjj2)()(222(1) Mr和%的关系22222)2()()(nnnM0)(ddM令令可求得可求得221nr)707. 00(2121rM0.10.20.30.40.50.60.70.811.522.533.544.555.5 MMr r02040608011.522.533.544.555.5MMr r%0.7070.707时，不存在谐振峰值时，不存在谐振峰值=0.707=0.707时，时， MMr r=1=100时，时， rn