人教版九年级上册数学同步练习实际问题与一元二次方程习题+答案

1、21.3实际问题与一元二次方程内容提要1 .列一元二次方程解应用题应注意各类应用题中常见的等量关系，注意挖掘题目中隐含的等量关系.2 .本节主要讨论增长率问题、几何图形面积问题、传播类型问题.应用一元二次方程解决实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.3 .求得方程的解后，注意检验其结果是否符合题意，然后得到原问题的解答.基础训练（1）二次增长类型1.某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）22A.2001a%148B.2001a%14822C.200a%148D.200a%1

2、482.某地区2013年投入教育经费2500万元，预计2015年投入教育经费3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则下列方程正确的是（）22A.2500x23600B.25001x360022C.25001x%3600D.25001x25001x36003.由于国家出台对房屋的限购令，某地房屋价格原价为2400元/平方米，通过连续两次降价a%后，售价变为2000元/平方米，下列方程中正确的是（）22A.24001a%2000B.20001a%240022C.24001a%2000D.24001a%24004 .某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为

3、25元根据题意可列方程为.5 .某地区以旅游业为龙头的服务业将成为推动该区经济发展的主要动力.2013年全区全年旅游总收入大约1000亿元，如果到2015年全区全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为6 .某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总产量的10%,今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10%,为保持总产量与去年相等，那么今年新能源汽车的产量应增加的百分数为7 .据报道，某市农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2013年的利用率只有30%,大部分秸秆被直接焚烧了，假定该市每年产出的农作物秸秆总量不变

4、，且合理利用量的增长率相同，要使2015年的利用率提高到60%,求每年的增长率.（取在1.41）8 .某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工需比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少大？（2）若甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作多少大（用含a的代数表示）可完成此项工程？（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使总施工费不超过64万元？基础训练1 .某中学准备建一个面积为375m2的矩

5、形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为xm,则可列方程（）A.xx10375B.xx10375C.2x2x10375D.2x2x103752 .在一幅长60cm,宽40cm的矩形中学生书画作品的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个作品的面积是2816cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）A.602x402x2816B.60x40x2816C.602x40x2816D.60x402x2816工60cm40cm第2题3 .某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分

6、率为x,根据题意列得方程为().22A.501x175B.50501x17522C.501x501x175D.50501x501x1754 .一块正方形钢杆上截去3Gm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的面积是cm2.5 .某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程为.6 .如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米、宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.(1)用含a的式子表示花圃的面积；如果通道所占面积是整个长方形空地面积的求出

7、此时通道的宽白米花删口率米第6即7.思思家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，思思设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮思思求出图中的x值.吉案三方崇一方案二基础训练（3）传播类型1 .有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.8人B.9人C.10人D.11人2 .一月份某地发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出方程正确的是（）.22A.1001x250B.1001x1001x25

8、02C.1001x250D.1001x3.要某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）_xx1_xx1A.xx110B.10C.xx110D.10224 .有4支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则一共需比赛场.5 .2011年甲型H1N1流感病毒在某地有蔓延趋势，世界卫生组织提出各国要严加防控，因为曾经有一种流感病毒，若一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患流感.如果设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为.6 .由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每千克1

9、6元下调到每千克9元.设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可列方程为.7 .某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮传染中平均一台电脑会传染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮传染后，被传染的电脑会不会超过700台？8 .一种电脑病毒NHK传播速度极快，每台带NHK病毒的电脑一天能传染若干台.（1）现有一台电脑感染上这种NHK病毒，开始两天共有225台电脑感染上NHK病毒，每台电脑每天平均传染了几台？（2）两天后，启用新的杀毒软件“小北毒霸”，平均一天一台带NHK病毒电脑以少传染5台的速度在递减，再过两天，共有多少台电脑感染

10、上NHK病毒？能力提高1 .在一幅长为80cm,宽为50cm的矩形中学生书画作品的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个作品的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）A.x2130x14000B.x265x3500C.x2130x14000D.x265x3500第1题2 .关于x的方程的两根分别为3,x22,则这个方程可以为（A.x3x20B.x3x20C.x3x20D.x3x203 .根据下列表格的对应值:x3.233.243.253.262.axbxc0.060.020.030.07判断方程ax2bxc0（a0,a,b,c为常数）的一

11、个解x的范围是（）A.3x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.264 .如图，在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积为.1m30m第4题5 .填空：2x2x（）2x2.6 .跳水运动员李玲从10米高台上跳水，她跳下的高度h（单位：米）与所用时间t（单位:秒）的关系是h5t2t1,她从起跳到入水所用的时间是.7 .用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为x217cm,正六边形的边长为x22xcm（其中x0）.求这两段铁丝的总长.<.TJ+2j)cm8

12、.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？9 .某火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？(2)若甲队每月的施工费为100万元，

13、乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？(甲、乙两队的施工时间按月取整数)10 .为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电作如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过元.某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元.部分每千瓦时要交100(1)求a的值；(2)该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时?拓展探究1.思思和同桌聪聪在课后

14、复习时，对一道思考题进行了探索：一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C底端的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？第1题(1)请你将思思对思考题的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1x,B1Cx0.7,ACACAA2.520.720.42.而AB12.5,在RtABC中，由BiC2A1C2AB，得方程,解方程得X1,X2.点B将向外移动米.(2)解完思考题后，聪聪提出：在思考题中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？在思考题中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有

15、可能相等吗？为什么？折成一个长方体盒子(纸板的厚2.把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁,度忽略不计).(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由.第Z题(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分拆成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(

16、只需求出符合要求的一种情况)3 .某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，思思设计了点做圆周运动的一个雏形.如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：i1t2-tt0,乙以4cm/s的速22度匀速运动，半圆的长度为21cm.(1)甲运动4s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运用了多少时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？第3题4 .低碳生活的理念已逐步被人们所接受.据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18千克；一个人平均一年

17、少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6千克.问题解决：甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”“少买衣服”的倡议.2012年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排的二氧化碳总量为600千克.(1) 2012年两校响应本校倡议的人数分别为多少？(2) 2012年到2014年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长.2013年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2014年两校响应本校倡议的总人数比2013年两校倡议的总人数多100人.求2014年两校因响应本校倡议减排二氧化碳的总量.数学应用请阅读下列材料：已知方程x2x10,求一个一

18、元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.2解：设所求方程的根为y,则y2x,所以x卫.把x卫代入已知方程，得卫)10.2222化简，得y22y40,故所求方程为y22y40.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x2x20,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为；(2)已知关于x的一元二次方程ax2bxc0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.应用2构造一元二次方程解决较复杂的几何问题：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB2

19、,点P从A点出发，沿射线AB运动，点Q从点C出发，以相同的速度沿BC的延长PCQ与ABC的面积相等?线运动，PQ与直线AC交于点D.当AP的长为何值时,数学应用1 .解一元二次方程要观察方程的特点，灵活选取适当的方法来解.一般地，用配方法可以解任意一个一元二次方程.但对形如ax2bx0a0的一元二次方程，采用因式分解法求解更为简便.2 .本章中还渗透了一些重要的数学思想方法，如在利用配方法解题过程中，体现了一种重要的数学思想方法一一化归，即把一个一般的一元二次方程转化为“xa2b”的形式；用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程时，抓住“降次”这一基本策略.在学习过程中，同学们应多加体会.3

20、 .列一元二次方程解应用题应注意各类应用题中常见的等量关系：(1)与几何图形有关的问题：这类应用题经常用到的几何知识有：面积公式；勾股定理.(2)有关增长率(或降低率)的问题：若原有值为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a1x,二次增长后的值为a1x2;若原有值为b,平均降低率为y,则一次降低后的值为b1y,二次降低后的值为b1y2;解决这类问题时，如果原有值没有具体给出，那么我们通常把它设为单位1.4 .方程是一种重要的数学模型，许多代数、几何问题以及实际问题可以通过构造一元二次方程来解决.数学文化塔塔利亚发现的一元三次方程的解决1494的，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索

21、后作出极其悲观的结论.他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的.费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3mxn这样一类缺项三次方程的求解公式.大约1510年左右，帕西奥利将这一成果传给他的学生菲奥尔.1534年塔塔利亚宣称自己已得到了形如x3mx2n这类没有一次项的三次方程的解的方法.菲奥尔与塔塔利亚二人相约在米兰进行公开比赛.双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多谁就获胜.塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法.于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对

22、方出的所有题目，而对方对他出的题目却一题都做不出来，这样他以30:0的战绩大获全胜，这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来轰动一时的荣誉，塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法.到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题，卡尔达诺在此之前对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果.于是多次向塔塔利亚求教，开始都被塔塔利亚拒绝了.但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密.但卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版大术一书，将三次方程解法公之于众，从而使自己在数学界声名鹊起.由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因

23、而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡达尔诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了.一元三次方程的一般形式是x3sx2txu0,如果作一个横坐标平移yx-,那么3我们就可以把方程的二次项消去，所以我们只要考虑形如x3pxq的三次方程.假设方程的解x可以写成xab的形式，这里a和b是待定的参数.代数方程，我们就有a33a2b3ab2b3pabq,整理得a3b3abp3abq,由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b,使得在xab的同时3abp0,这样上式就成为a3b3q,两边各乘以27a3,就得到27a627a3b327qa3,由p3ab可知27a6p327qa3.这是一个关于a3的二次方程，所以

24、可以解得a.进而可解出b和根x.学业评价21.3参考答案：基础训练(1)21. B2.B3.D4.361m%255.20%6.90%7 .设每年产出的农作物秸秆总量为a,合理利用量的增长率是x,由题意得a30%1x2a60%，即1x22.所以x10.41,X22.41(不合题意，舍去).故x0.41,即每年秸秆合理利用量的增长率约是41%.8 .(1)设乙单独做x天完成此项工程，由题意得2011,整理得xx30x210x6000,解得x130,x220,经检验：x130,x220都是分式方程的解，但x220不符合题意舍去.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天.(2)设甲独做a

25、天后，甲、乙再合做20a天,可以完成此项工程.3(3)由题意得1a12.520a64,解得a36.3答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使总施工费不超过64万元.基础训练(2)1.A2,A3.D4.815.xx103006 .(1)402a602a(2)517 .万案一：根据题思，得8x6x-86,解得x112,x22.x112不合题思，舍去，.x2,其他方案略.基础训练(3)1. B2,B3.B4.65.1xx1x81或1x2816.161x297 .设每轮传染中平均每一台电脑会传染x台电脑，依题意得1x1xx81,1x281,x19或x19,x18或x

26、210(舍去)，1x2183729700.答：每轮传染中平均每一台电脑会传染8台电脑，3轮传染后，被传染的电脑会超过700台.8 .(1)设每台感染NHK病毒电脑每天传染x台，依题意得1xx1x225,1 x2225,1x15,214,x216(不合题意，舍去).答：每台每天平均传染了14台.(2)第三天感染上NHK病毒电脑有：2252251452250,第四天感染上NHK病毒电脑有：22502250145511250答：第四天共有11250台电脑感染上NHK病毒.能力提高1. B2.D3.C4.551m25.-6.2秒847. 由已知得，正四边形周长为5x217cm,正六边形周长为6x22x

27、cm,因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5x2176x22x.整理得x212x850,解得x15,x217(舍去)，故正五边形的周长为55217210(cm),又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.8. (1)解：设每千克核桃应降价x元.根据题意，得60x40100-202240.解2得x14,x26.答：每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为60654(元)，义100%90%.60答：该店应按原售价的九折出售.9. (1)设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工

28、程需要x5个月.由题意得xx56xx5,解得Xi2,x215,因为x12不合意，舍去，故x15,x510.答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月.10. 设在完成这项工程中甲队做了m个月，则乙队做了？个月，由题意知：乙队每2月的施工费为150万元，根据题意列不等式得100m150-1500,解得m8上，;m为正27整数，一.m的大整数值为8.答：完成这项工程，甲队最多施工8个月.10.(1)80a2035.解得耳50,a230.=a45,a230不合题意，舍去.100a50.(2)设宿舍5月份用电量为x千瓦时，x50皿2045,解得x100,100答：该宿舍5月份用电量为100千瓦时.拓展探究1. (1)x0.72222.520.82.2(舍去)0.8(2)不会是0.9米有可能.设梯子顶端从A处下滑x米，则有x0.722.4x22.52,解得x1.7或x0(舍去).22. (1)设男掉的正方形的边长为xcm,则402x484,解得x131(不合题意，舍去)，x29,剪掉的正方