2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测(4月)数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2222 页2019 届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测（4月）数学（理）试题一、单选题21设集合A x|2x5x0，集合B x y Ig x x 2，则集合AU B( )A A .(,1)U(2,)B B (2,)C C (2,)D D (,(,，1)U(0,)1)U(0,)【答案】D D【解析】求解出指数不等式2x5x0的解集作为A,对数型函数y lg x2x 2的定义域作为集合B，由此求解出AU B的结果 【详解】因为2xxx25x，所以1,5所以x 0,所以A 0,又因为x2x 20,所以x,1 U 2,，所以B,12,所以AU B , 1 U 0,故选：C.C.

2、【点睛】本题考查利用指数函数单调性解不等式、对数型函数的定义域、集合的交集运算，难度较易 对数型函数求解定义域注意利用对数式的真数大于零去求解22P2: z 2i P3：z的共轭复数为1 iP4: z的虚部为【答案】C C牙=（1共轭复数为？二-1_H，居的虚部为一1,所以真命题为pZip4选2 2 下面是关于复数z的四个命其中的真命题为（P1: zA A P2, P3B B.P1, P2C CP2, P4D D P3, P4【解因为2(-1-0蓟一1),，所以第2 2页共 2222 页C.C.3 3下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在（，0）上单调性也相同的是（）Ay1|X|B B

3、.y 3X3xC C.y log0.5xD.ysin | x |【答案】 C C【解析】先分析y3|x|的奇偶性以及在,0上的单调性，由此根据选项再逐项判断即可. .【详解】因为yf X3以的定义域为R关于原点对称,且f x3x3Xf X所以fX是偶函数，当x 0,时，f x3X为减函数；A A .因为yf X1的疋义域为,00,关于原点对称，且|x|11fXif x,Xx|1所以f x是偶函数，当x 0,时，f x为增函数，不符合；xxxB B 因为y f X 33的定义域为R关于原点对称，且f x 3x3x3x3xf x,所以f x是奇函数，不符合；C C.因为y f X log0.5x的

4、定义域为，00,关于原点对称，且f x log0.5x log0.5x f x,所以fX是偶函数，当x 0,时，f Xlog0.5x为减函数，符合；D D因为y f x sin|x|的定义域为R关于原点对称，且f x sin x sin x f x,所以f x是偶函数，且x 0,是，f f X X sinxsinx ,此时f x不是单调减函数，不 符合. .故选：C.C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，难度一般 注意分析函数的奇偶第3 3页共 2222 页性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称log7，则a, b,c的大小关系是（）y29C C.cab【答案】选 B.

5、B.必要条件【答案】A A【解析】根据 勿，印2是方程x23x 1 0的两根”与勺勺81”的互相推出情况，判断出是何种条件 【详解】因为a4a123,a4a121,所以a40, a120,所以等比数列中a8a4q40，所以a8a4a121；又因为在常数列an1中，a81，但是a4,a12不是所给方程的两根.所以在等比数列an中，自自4, ,印印2是方程x23x 1 0的两根”是勺勺81”的充分不必要条件 故选：A.A.【点睛】本题考查数列与充分、必要条件的综合应用，难度一般 在等比数列an中，若* 2m n p q 2c m, n,p,q,c N，则有amanapaqa_6 6 .若(1 2x

6、)n的展开式中x x3的系数为 8080,其中n为正整数，则C1一59 - 7b7-9aB B.【解由题意可得（7） ?，所以构造函数f9x(x)(x)- -，由于 f(x)f(x)9是 R R 上的单调递减函数,0, ,所以ab1,ab1,c log27log2l 0, ,c 0, ,所以5 5.在等比数列an中,哲厶仁哲厶仁是方程x23x 1 0的两根”1”的（）A A .充分不必要条件B B.必要不充分条件C C 充要D D .既不充分也不第4 4页共 2222 页各项系数的绝对值之和为（）A A . 3232B B. 8181（1 2x）的展开式中xC C. 243243D D . 2

7、56256第5 5页共 2222 页【答案】C C【解析】由题意得C：( 2)480 n 5,1 2xn_的展开式中各项系数的绝对值之和为53243，选1C.C.7.若tan(4)7 7，贝 U U coscos22sin2sin 2 264A A .2548B B.2516D D.25【答案】【解析】先计算出tan的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以cos2即可计算出结果 【详解】因为tan(，所以tanA 11 tan A37，所以tan2又cos2sin 2cos24sin:2sincos2cos1 4ta ntan21所以 coscos22sin2sin 2 264642525故选：

8、A.A.【点睛】本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用,tan，求解msin2ncos的值，可变形为求解6425，难度一般. .已知.2 2msinn cos.2 2sincosmta n2tan2的结果；求解1.nasi nncsi nbcosn. nd cos的值，可变形为a tannb求解b b的结果. .cta nd8 8已知函数 f(x)f(x)的部分图象如图所示，贝 y yf(xf(x) )的解析式可以是( () )A A. f(x)f(x)= L L2xcosxB B. f(x)f(x)=x第6 6页共 2222 页第7 7页共 2222 页2/、cos xC

9、 C . f(x)f(x)=xf(x)f(x)=cosx【答案】【解析】由函数的图象可知函数是奇函数，排除f(x)cosxT,x时，f(x)2 x22xcos2f(x)coscosxxs inx cosx -因为f(x)是奇函数，x时，f(x)0,f(x)-2所以x2x函数的解析式可能是n2x2D.f(x)1x函数是奇函数，零点为：x,2,2xx2f(x)10,不满足题意;丄VO,0,x. 2时,f(x)V0，当x时,f(x)y当x(0,2),所以排除 A A ,故选 D D.9 9 .若x,y满足kx20，且zy x的最小值为4,则k的值为(B B.【答案】D D【解析】试题分析：作出不等式

10、组kx2 020，所表示的平面区域，如下图:故选 C C.第 6 6 页共 2222 页由图可知：由于直线kx y 20过定点（0,2），只需它还过点（4,0）即可,4k 0 2 0，解得：k -.2【考点】线性规划.1010 .设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线2y 2px P 0上任意一点，M是线段PF上的点，且【答案】【解析】试题分析:y。PMB B.2 MF, ,则直线OM的斜率的最大值为（）设P（2 yc2p,y0），由题意，显然y00时不符合题意，故uuuuOMUUUUUUUOF FMUULTOF1LUUFP3LULTOF1 UUU3(OPuuurOF)1 UUU 2UULT

11、OP 3OF3，可得:kOM23yo6PP.3y2Pp y02 *；2子，当且仅当2y。22p , y。2p时取等号,故选 C C.第 6 6 页共 2222 页第1010页共 2222 页【考点】1 1 抛物线的简单几何性质；2 2 均值不等式.【方法点晴】 本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题解题时一定要注意分析条件，根据条件|PM| 2MF|2利用向量的运算可知M(匹 -,-y0)，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特6p 3 3别是要分析等号是否成立，否则易出问题.1111.已知点怔、1、分别是正方体A1BJCIDI的棱心、U

12、CUC、DD|DD|的中点，点人仁卜:、分别在线段 、鋼、爲讨上，则以、为顶点的三棱锥卜-的俯视图不可能是()【答案】C C【解析】试题分析：当怎 1 1 计重合、眉计重合、剧习重合、卜重合时，三棱锥 F F 沁的 俯视图为；当是所在线段的中点时，三棱锥严红过 d d 的俯视图为；当 是所在线段的非端点位置，而重合时，三棱锥丙疋的俯视图为口, ,故选料 I I【考点】1 1 三视图；2 2 几何体的特征. .21212.关于函数f(x)In x, ,下列说法正确的是()x(1(1)x 2是 f(x)f(x)的极大值点；(2 2)函数y f(x) x有且只有 1 1 个零点；(3 3)存在A A

13、 .B B. C C.D D.第1111页共 2222 页正实数k，使得 f(x)f(x) kxkx 恒成立；(4 4)对任意两个正实数x x“X X2，且x-ix2，若f(X1)f(X2)，则X1X24A A (1)(2)(3)(4)B B.(2)(4)C C.(2)(3)D D.(3)(4)【答案】B B第1212页共 2222 页【解析】 依次判断各个选项：（1 1）利用导数与极值的关系可知x 2是f X的极小值点，则（1 1）错误；（2 2）利用导数研究y f x x的单调性，结合零点存在定理判断正确 【详解】(1) f x可知x 2是f X的极小值点，可知（1 1）错误h x h 1

14、1 I n1 430 g x 0即g x在0,上单调递减Q x2x 20y0，即y f xx在0,上单调递减又f 11 21 1 0；f e2Ine2e 1e0ee则xc1,e, 使得y fXQXQ0(2(2) y y2由函数单调性可知yx x有且只有1个零点，可知（2 2）正确可知（2 2）正确；（3 3）采用分离变量的方式，通过求解g x空竺的单调性和极X限，可判断出k0,则（3 3）错误;4 4）构造函数f 2 x f 2 x，通过导数可求得0，从而可确定x22 x时，x-i2 x,从而证得结论，知（4 4）当x 0,2时,x x 0 0，此时f x单调递减当x 2,时，f f X X

15、0 0，此时f x单调递增(3(3)若f x kx在 x x 0,0,上恒成立，则kIn xxx2 xln x2x入2 xln x令g x2，则g xxx xlnx 4令h x x xln x 4，贝y h x1 In x 1In xx 0,1时，h x 0；x 1,时，h x 0第1313页共 2222 页又x 0时，g x 0 k 0第1414页共 2222 页不存在正实数k,使得fxkx恒成立，可知（3 3）错误2x上ln，x 0,2x242 xx0，即x在0,2上单调递减x0 0即f2 x f 2 xQ %X2，令X22 x，由f X1f x2，即f X1f X20%2XX1X24，可

16、知（4 4）正确综上所述,说法正确的为：（2 2） （4 4）本题正确选项：B【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到求解函数单调性和极值、判断函数零点个数、恒成立问题的求解和零点偏移的问题 关键是能够根据求解内容的不同，构造出不同的函数，通过函数的最值、单调性来进行综合判断 本题对于学生导数运算能力和分析能力要求较高，属于难题 二、填空题1313.已知非零向量a,b,c满足a b c 0，向量a,b的夹角为120o，且| b| 2 |a |, 则向量a与c的夹角为_ .（4 4）由（1 1）可知,x在0,2上单调递减；在2,上单调递增x24 x 4 4x 2x 2x 2x 2 x4x2

17、1642/22x 42x22 xx2424 x28x2x242【答90r a/( ra第1515页共 2222 页由a b c 0可 得|a| |b|cos120|a|2|a| 2|a| ( )|a|2c 0,因为a,c为非零向量，所以第1616页共 2222 页a c，即a,c 90. .【考点】1 1. .平面向量的数量积；2.2.两向量垂直的条件2x1414 .若双曲线a此双曲线的离心率为【答案】【详解】【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题。1515 .利用随机模拟方法可估计某无理数m的值，为此设计如图所示的程序框图，其中randran

18、d ()表示产生区间(0,1)上的随机数，P为s与n之比值，执行此程序框图，输出结果P是m的估计值，则m是_0,b 0的渐近线与圆x .322y 11相切，则【解求出双2y_b21 a 0,b0的渐近线方程：y-x，利用渐近线a与圆x1相切列方程即可求解。2双曲线笃a2yb20,b0的渐近线方程:-x，即bx aay 0,圆心13,1到渐近线bx又渐近线与圆x .,32即：4ab2所以双曲线的离心率为:1的圆心为：、3,1ay 0的距离为:y 121相切,，整理得：ba2b2半径为：r 1,.a2b2第1717页共 2222 页s【解析】根据程序框图分析出s,n的含义，利用几何概型的知识将 -

19、的值转化为对应的n面积比值，利用微积分基本定理求得面积比值即为P的值，从而确定m的值.【详解】1由程序框图的含义可知：s表示处于函数y 图象下方点的个数，n表示所有点的x 1个数，1记y与X 0, x 1,y0围成的区域面积为3，所有的点构成的区域总面积为X 1S S2，s S根据几何概型的知识可知：-，如下图所示：n S2第1818页共 2222 页O第1919页共 2222 页0In2【点睛】本题考查程序框图功能的理解、 几何概型以及微积分基本定理的运用，属于综合性问题,难度一般 解答本题的关键是能将随机数的个数与几何概型联系在一起，利用面积完成 问题的求解. .1616设锐角ABC三个内

20、角AB、C所对的边分别为a、b、c, ,若 3( a cos B b cos A) 2csinC,b 1，则c的取值范围为 _取值范围为(3 J3)2故答案为 貞3)【点睛】所以ln 2，所以m是In 2. .故答案为:In2. .【解理求出c【详先利用余弦定bsin_C，再结合 B B 的范围求出 c c 的范围. .B 2sin Bsin由，3(acosBb cos A) 2csin C及余弦定理可得,2 , 2 2 2b , b c a、b)2bc2csin C，即、一3c2csin C，所以sinC3又VABC为锐角三角形,2所以由正弦定理可得bsin Csin B2sin BB可得3

21、2B2，所以-sin B1，所以2sin B.3，即三c .3故c的2【答第2020页共 2222 页(1)(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. .解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查 B B 的范围，否则会出错 三、解答题1717 已知数列an满足-2a3L * n2n222232n(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn【答案】(1 1)-nn 2n1(2)2) & & 笔卫log2!【解析】(1 1)将原式中的n变形为n 1，得到新等式后

22、两式作差， 然后即可求解出an的通项公式；(2)(2)求解出bn的通项公式，然后根据对数的运算性质并利用分组求和的方法求解S【详解】二当n2时,号爭L開(n 1)2n 1 得予2n(n 2), ann 2nn 2).又当n 1时，色1 1, a14, ann 2n 1.21 nn 1Q bnlog2n 2 n 1 log2n,【点睛】本题考查根据递推公式求解通项公式以及数列的分组求和法，主要考查学生的转化与运算能力，难度一般 根据递推公式求解通项公式时，若出现了下标为n 1的情况，要注意验证n 1是否满足条件1818 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的1212 个零件质量进行检测甲、乙两个车

23、间的零件质量( (单位：克) )分布的茎叶图如图所示零件质量不超过2020 克的为合格.解：虫2a222as2an2nlog21 log22log2nn(n 32logn!2第2121页共 2222 页111102a i13h(1) 从甲、乙两车间分别随机抽取 2 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至 少一个零件合格的概率；(2) 质检部门从甲车间 8 8 个零件中随机抽取 3 3 个零件进行检测，已知三件中有两件是 合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率.(3) 若从甲、乙两车间 1212 个零件中随机抽取 2 2 个零件，用X表示乙车间的零件个数, 求 X X 的分布列与数学期

24、望.【答案】(1 1)55(2 2)6( 3 3)见解析,847求解方法即可计算出目标事件的概率;个合格1个不合格的取法数，根据古典概型的概率计算公式计算出目标事件的概率;(3)(3) 先列出 X X 的可取值并计算出对应取值的概率，然后即可得到 出数学期望【详解】即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为(2)因为抽取的3个零件中至少有2个是合格的取法数有：C：C；C：28种,抽取的3个零件中2个合格1个不合格的取法数有：C：C4种,所以三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率:cjc4(3)(3)由题意可得X的所有可能取值为 0 0, 1 1 , 2 2.【解析

25、】(1 1)考虑甲、乙两车间抽取的2个零件都不合格的情况，利用对立事件的概率(2(2)先考虑抽取的 3 3 个零件中至少有2个是合格的取法数,再考虑抽取的3个零件中2X的分布列并计算(1(1)由题意得甲车间的合格零件数为4 4,乙车间的合格零件数为2 2,故所求概率为P1 C41 C2C255845584P(X 0)与14,P(XC；233C1c11)等C12丄11第2222页共 2222 页随机变量X的分布列为第2323页共 2222 页X0 01 12 2点睛】本题考查概率有关的计算、离散型随机变量的分布列与均值的综合运用，难度一般 其 中条件概率的计算注意两种方

26、法： （1 1）利用条件概率公式进行计算； （2 2）将目标事件的 概率转变为可用古典概型进行求解的形式1919 如图，四棱锥P ABCD中，底面是以0为中心的菱形,【答案】（1 1）P0（2 2）根据两个平面法向量夹角的余弦值，再结合几何体中二面角具体是钝角还是锐角,从而确定出二面角余弦值的大小【详解】解（1 1）如图，连接AC,BD，因ABCD为菱形，则ACI BD 0,且AC BDuuu uuu uuu以O为坐标原点，OA,OB,OP的方向分别为x轴、y轴、z z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyzE(X)o 14 1 16 2 1333311，且BMMP AP2PMP0底面【解析

27、】（1 1）建立空间直角坐标系，用坐标表示出uur uuuMP, AP,再根据垂直关系对应的向量数量积为零，即可计算出P的坐标，从而可求P0的长度;C的余弦值.（2 2）求二面角 A A第2424页共 2222 页uurn(0,i,0), BCsin 1,6(.3 1,0).uuuu uuu从而OM OBuuuuBM设P(0,0,a),auuu0， 贝U AP_uuurx3,0, a), MP因为MP AP,urnr故MPumAP所以a辽（舍去），即2(2(2)由(1)(1)知,uuuAPuuur,MP设平面APM的法向量为irniN,yi,w，平面PMC的法向量为uvn2%2,丫2以2,ir

28、由nuuuAPnr uuur0,n MP、3x-iZiuu由nmrMPuu uu0,n2CP0，得从而法向量uruuni,n2故可取irni3；yiZiJ 3x234y22Z20,0,ur故可取n2LT uu的夹角的余弦值为cos; ni,n2-trnin2irni、155，故所求二面角A PM C的余弦值为(1,3, 2),第2525页共 2222 页【点睛】本题考查空间向量的综合运用，难度一般 利用向量法求解二面角的余弦值时，要注意法向量夹角的余弦值不一定是二面角的余弦值，要注意结合图形判断二面角是钝角还是锐角 y -X与椭圆相交于A、B两点，F2关于直线li的对称点E在椭圆上斜率为1的c

29、直线12与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点.(2)求四边形ACBD面积的取值范围.【答案】(1 1)三1 i；(2 2)(，8493【解析】(1 1)由题意结合椭圆的离心率求解a,b,ca,b,c 的值，然后确定椭圆方程即可；(2 2)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合两点之间距离公式求得面积函数,利用二次函数的性质即可求得四边形ACBD面积的取值范围 【详解】2020.已知椭圆2x-2a0的左、右焦点分别为Fi、F2,焦距为4,直线li:2(1(1)求椭圆的标准方程;第2626页共 2222 页则tanbc又a2b22c,得sinbc,cos,aae2cIF1F2Isin9

30、0o1ac2aEF1I+IEF2sinsin 90o- cb c a，a a解得a2bc c2bc 2,a28, 所以椭圆方程为2 2互1;84(2)设直线12方程：y x+m,C为，、D X2,y?,(1)由椭圆焦距为4，设F12,0,F22,0，连结EF1，设EF第2727页共 2222 页【点睛】 (1)(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)(2)涉及到直线方程的设法时， 务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 0 或不存在等特殊情形.x22121 .已知函数f(x) ae x bx(a,b

31、 R)，其导函数为y f (x).(1(1)当b 2时，若函数y f(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围;(2(2)当a a 1 1 时，若f (x) (m3)x0,(mR)，求mb b的最大值. .【答案】(1)a或a 0,)(2 2)ee2【解析】(1 1)采用分离参数法得到a22x2 2x :亠,x,分析函数h(x)x的单调性以及ee取值情况，即可计算出f x有且仅有一个零点时a的取值范围;(2)化简不等式得到ex(m1)x b，对其中的m 1与 0 0 的关系作分类讨论，得到b2 2二乙1由84，得3x24mx 2m2y x+mXi4x2m32m283由(1 1)知直线li

32、:y x，代入椭圆得,B33用，得AB8,33由直线12与线段AB相交于点6：6，CD而ki2四边形XiX28x-|X216m2、9m2+1231与kh1，知12li,m2ACBD面积的取值范围SACBD32 亍032 329，32|ABCD16. 392m +12,，所以囂3希232 329，3，x(x(或 y)y)建立一元二次第2828页共 2222 页满足的不等关系，从而确定出mb b满足的关于m的不等关系，构造新函数利用导数分析并求解出最大值. .【详解】解：(1 1 )当b 2时，f (x)xaex22x,( aR), f (x) aex2x 2,(a R),由题意得aex2x 20

33、, 即a2 2xx，e2 2x令h(x)x，则h (x)e2xxe4-0,解得x 2,当x 2时，h(x) 0, h(x)单调递减；当x 2时，h (x)0, h(x)单调递增，2h(X)minh(2)2，e2 2xQ当x 1时，h( 1) 4e 0，当x 2时，h(x)x0e，2则a或a 0,)时，f (x)在R上有且只有一个零点.e(2 2)由已知条件得ex(m 1)x b1 b(i)(i)若m 1 0，则对任意常数b，当x 0，且x时，可得ex(m 1)x b,m 1因此式不成立.(ii)(ii)若m 10，则(m 1)b 0(iii)(iii)若m 10，设g(x) ex(m 1)x，

34、则g (x) ex(m 1)当x ( ,ln(m 1)时，g (x)0；当x (ln(m 1),)时，g (x)0.从而g(x)在(，ln(m 1)上单调递减，在(ln(m 1),)上单调递增.故g(x)有最小值g(ln(m 1) m 1 (m 1)ln(m 1).所以原不等式等价于b, m 1 (m 1)ln(m 1).因此(m 1)b, (m 1)2(m 1)21n( m 1).22设h(m) (m 1) (m 1) ln(m 1)，则h (m) (m 1)1 2ln(m 1).第2929页共 2222 页所以h(m)在(1,、e 1)上单调递增，在(虫1,)上单调递减，故h(m)在m J

35、e 1处取得最大值.从而h(m)he 1-，即(m21)b，2，当a1,b时，式成立，2故当a a 1 1 时，f (x) (m 3)x 0综上可知，(m1)b的最大值为一.2【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，其中涉及到根据零点个数求解参数范围以及根据不等式恒成立求解参数最值，对于转化与计算能力要求较高，难度较难 注意两种常见的求解参数范围的方法：(1 1)分类讨论法，(2 2)参变分离法. .1 -t_ _2 2( (t为参数) )，曲线 G G:三t2(1)设直线I与曲线G相交于A, B两点，求劣弧AB的弧长;1(2(2)若把曲线 C C1上各点的横坐标缩短为原来的一，纵坐标缩短为原来的2线C2,设点P是曲线C2上的一个动点