控制工程基础第4章控制系统的频率特性ppt课件

1、控制工程根底控制工程根底 第四章第四章 清华大学清华大学第四章第四章 控制系统的频率特性控制系统的频率特性4.1 机电系统频率特性的概念及其根本实验机电系统频率特性的概念及其根本实验方法方法4.2 极坐标图极坐标图Nyquist图图4.3 对数坐标图对数坐标图Bode图图4.4 由频率特性曲线求系统传送函数由频率特性曲线求系统传送函数4.5 由单位脉冲呼应求系统的频率特性由单位脉冲呼应求系统的频率特性 * 4.6 对数幅相图对数幅相图Nichols图图4.7 控制系统的闭环频响控制系统的闭环频响4.8 机械系统动刚度的概念机械系统动刚度的概念 频域法是一种工程上广为采用的分析和综频域法是一种工

2、程上广为采用的分析和综合系统间接方法。另外，除了电路与频率特合系统间接方法。另外，除了电路与频率特性有着亲密关系外，在机械工程中机械振动性有着亲密关系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着亲密的关系。机械遭到一与频率特性也有着亲密的关系。机械遭到一定频率作用力时产生强迫振动，由于内反响定频率作用力时产生强迫振动，由于内反响还会引起自激振动。机械振动学中的共振频还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概念率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。都可归结为机械系统在频率域中表现的特性。频域法能简便而明晰地建立这些概念。频域法能

3、简便而明晰地建立这些概念。 频率特性的物理背景频率特性的物理背景 对于普通线性系统均有类似的性质。系对于普通线性系统均有类似的性质。系统对正弦输入的稳态呼应称为频率呼应。统对正弦输入的稳态呼应称为频率呼应。当输入正弦信号时，线性系统输出稳定后当输入正弦信号时，线性系统输出稳定后也是正弦信号，其输出正弦信号的频率与也是正弦信号，其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率一样；输出幅值和输输入正弦信号的频率一样；输出幅值和输出相位按照系统传送函数的不同随着输入出相位按照系统传送函数的不同随着输入正弦信号频率的变化而有规律的变化，如正弦信号频率的变化而有规律的变化，如以下图所示。以下图所示。 傅立叶正

4、变换式傅立叶正变换式傅立叶反变换式傅立叶反变换式 见光盘课件第四章第一节见光盘课件第四章第一节 dtetfFtj)()( deFtftj21例：如以下图所示系统，其传送函数为例：如以下图所示系统，其传送函数为 将将s s代之以代之以jj，即得到系统的频率特性函数，即得到系统的频率特性函数为为 1111RCsCsRCssG11RCjjGRC tui tuo例：试求例：试求 的幅频特的幅频特性和相频特性。性和相频特性。解：解：1121jTjTjKjG 212221arctanarctan22221arctan22arctan21221arctanarctan2111111111111112121T

5、TTTKAeTTKeTeTeKjTjTjKjGTTjTjTjj所以 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 乃奎斯特图，或乃氏图乃奎斯特图，或乃氏图 乃奎斯特乃奎斯特H.Nyquist)，18891976，美国，美国Bell实实验室著名科学家验室著名科学家 见光盘课件第四章第二节见光盘课件第四章第二节各型乃氏图的低频段各型乃氏图的低频段 通常，机电系统频率特通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分子的阶次，性分母的阶次大于分子的阶次，故当故当时，乃氏图曲线终时，乃氏图曲线终止于坐标原点处；而当频率特止于坐标原点处；而当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，性分母的阶次等于分子的阶次，当当时，乃氏图曲线

6、终止时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。于坐标实轴上的有限值。 普通在系统频率特性分普通在系统频率特性分母上加极点，使系统相角滞后；母上加极点，使系统相角滞后；而在系统频率特性分子上加零而在系统频率特性分子上加零点，使系统相角超前。点，使系统相角超前。 令令从从-增长到增长到0 0，相应得出的乃氏图是，相应得出的乃氏图是与与从从0 0增长到十增长到十得出的乃氏图以实轴对得出的乃氏图以实轴对称的，例如图称的，例如图4-244-24所示的乃氏图。所示的乃氏图。 逆逆NyquistNyquist图图 有时为了将无穷远处的部分表示在原点附有时为了将无穷远处的部分表示在原点附近，可画逆极坐标图，它是

7、在极坐标上画近，可画逆极坐标图，它是在极坐标上画 图，而不是图，而不是 图。图。F Fjj的倒数，称为逆频率特性函数，记作的倒数，称为逆频率特性函数，记作 显然，逆幅频和逆相频特性函数与幅频和相显然，逆幅频和逆相频特性函数与幅频和相频特性函数之间有如下的关系：频特性函数之间有如下的关系： 图象称为逆图象称为逆NyquistNyquist图。图。 jHjG1 jHjGjFjF11jFjFjFjF111 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图伯德图伯德图 伯德伯德H.W.Bode)，19051982，美国，美国Bell实实验室著名科学家验室著名科学家 图图4-25 4-25 幅频特性坐标幅频特性

8、坐标 伯德图幅值所用的单位分贝伯德图幅值所用的单位分贝dBdB定义为定义为 n ndBdB=201gN=201gN 假设假设2=1012=101，那么称从，那么称从11到到22为十倍频程，以为十倍频程，以“dec.“dec.decadedecade表示。表示。 图图4-26 4-26 相频特性坐标相频特性坐标 见光盘课件第四章第三、四、见光盘课件第四章第三、四、五节五节最小相位系统最小相位系统I I型系统伯德图低频段高度确实定型系统伯德图低频段高度确实定型系统伯德图低频段高度确实定型系统伯德图低频段高度确实定频率特性函数求取方法频率特性函数求取方法(1) (1) 假设知系统的微分方程，可将输入

9、变假设知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求系统的输出变量的量以正弦函数代入，求系统的输出变量的稳态解，输出变量的稳态解与输入正弦函稳态解，输出变量的稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统的频率特性函数。数的复数比即为系统的频率特性函数。(2) (2) 假设知系统的传送函数，可将系统传假设知系统的传送函数，可将系统传送函数中的送函数中的s s代之以代之以jj，即得到系统的频，即得到系统的频率特性函数。率特性函数。(3) (3) 可以经过实验的手段求出。可以经过实验的手段求出。频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验

10、求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法频率特性函数实验求取方法 由 单 位 脉 冲 呼 应 求 系 统 的 频 率 特 性由 单 位 脉 冲 呼 应 求 系 统 的 频 率 特 性 知单位脉冲函数的拉氏变换象函数等于知单位脉冲函数的拉氏变换象函数等于1 1，显然，单位脉冲函数的傅氏变换象函数也等显然，单位脉冲函数的傅氏变换象函数也等于于1 1，上式阐明，上式阐明t t隐含着幅值相等的各隐含着幅值相等的各种频率。假设对某系统输入一个单位脉冲，种频率。假设对某系统输入一个单位脉冲，那么

11、相当于用等单位强度的一切频率去激发那么相当于用等单位强度的一切频率去激发系统，系统单位脉冲呼应的傅氏变换即为系系统，系统单位脉冲呼应的傅氏变换即为系统的频率特性。单位脉冲呼应简称为脉冲呼统的频率特性。单位脉冲呼应简称为脉冲呼应，脉冲呼应函数又称为权函数。应，脉冲呼应函数又称为权函数。 为了识别系统的传送函数，我们可以产生一为了识别系统的传送函数，我们可以产生一个近似的单位脉冲信号个近似的单位脉冲信号t t作为系统的输作为系统的输入，记录系统呼应的曲线入，记录系统呼应的曲线g(t),g(t),那么系统的频那么系统的频率特性为率特性为 4.164.16 对于渐近稳定的系统，系统的单位脉冲对于渐近稳

12、定的系统，系统的单位脉冲呼应随时间增长逐渐趋于零。因此，可以对呼应随时间增长逐渐趋于零。因此，可以对照式照式4.164.16对呼应对呼应g(t)g(t)采样足够的点，借采样足够的点，借助计算机，用多点求和的方法即可近似求出助计算机，用多点求和的方法即可近似求出系统频率特性，即系统频率特性，即 0dtetgjGtj ImResincos1010jtnjtntngtetngtjGNntnjNn 22ImRejG ReImtanArcjG 对数幅相图对数幅相图 Nichols ChartNichols ChartN.B.Nichols，美国，美国Taylor仪器公司工程仪器公司工程师，二战期间参与师

13、，二战期间参与MIT雷达及火炮控制雷达及火炮控制研讨。研讨。 对数幅相特性图对数幅相特性图(Nichols(Nichols图图) )是描画系统频率特性的第三种图是描画系统频率特性的第三种图示方法。该图纵坐标表示频率特示方法。该图纵坐标表示频率特性的对数幅值，以分贝为单位；性的对数幅值，以分贝为单位；横坐标表示频率特性的相位角。横坐标表示频率特性的相位角。对数幅相特性图以频率对数幅相特性图以频率作为参作为参变量，用一条曲线完好地表示了变量，用一条曲线完好地表示了系统的频率特性，一些根本环节系统的频率特性，一些根本环节的对数幅相特性特性图如以下图的对数幅相特性特性图如以下图所示。所示。 对数幅相特

14、性图很容易将伯德图上的幅对数幅相特性图很容易将伯德图上的幅频曲线和相频曲线合并成一条来绘制。对数频曲线和相频曲线合并成一条来绘制。对数幅相特性图有以下特点：幅相特性图有以下特点： 由于系统增益的改动不影响相频特性，故由于系统增益的改动不影响相频特性，故系统增益改动时，对数幅相特性图只需简单系统增益改动时，对数幅相特性图只需简单地向上平移增益增大或向下平移增益地向上平移增益增大或向下平移增益减小，而曲线外形坚持不变；减小，而曲线外形坚持不变； G G和和1 1G Gjj的对数幅相特性图的对数幅相特性图相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一相对原点中心对称，即幅值和相位均相差一个符号；个符号； 利

15、用对数相幅特性图，很容易由开环频率利用对数相幅特性图，很容易由开环频率特性求闭环频率特性，可尽快确定闭环系统特性求闭环频率特性，可尽快确定闭环系统的稳定性及方便地处理系统的校正问题。的稳定性及方便地处理系统的校正问题。由开环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性估计闭环频率特性)(1)()()(jGjGjXjXio1)(jG1)(1)()()(jGjGjXjXio低频时低频时高频时高频时1)(jG)()(1)()()(jGjGjGjXjXio由开环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性估计闭环频率特性另外，我们可以利用等另外，我们可以利用等M M圆和等圆和等N N圆由开环频圆由开环频率特性求出

16、闭环频率特性。对于单位反响系率特性求出闭环频率特性。对于单位反响系统，设前向通道传送函数为统，设前向通道传送函数为G(s), G(s), 那么其闭那么其闭环传送函数为环传送函数为 (4.22) (4.22) 在以下图所示的乃奎斯特图上，向量在以下图所示的乃奎斯特图上，向量OAOA表示表示 ，其中，其中 为为A A点频率。向量点频率。向量OAOA的幅值的幅值为为 ，向量，向量OAOA的相角为的相角为 。由点。由点P P-1-1，j0j0到到A A点的向量点的向量PAPA可表示为可表示为11十十 。 sGsGsXsXio1AjGAAjGAjGAjG由开环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性估计闭

17、环频率特性由开环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性估计闭环频率特性向量向量OAOA与与PAPA之比正好表示了闭环频率特性，之比正好表示了闭环频率特性，即即 (4.23) (4.23) 在在 处，闭环频率特性的幅值就是向量处，闭环频率特性的幅值就是向量OAOA与与PAPA的幅值之比，相位角就是两向量的相的幅值之比，相位角就是两向量的相角之差，即夹角角之差，即夹角 ，如上图所示。当系，如上图所示。当系统的开环频率特性确定后，根据上图就可求统的开环频率特性确定后，根据上图就可求出闭环频率特性。出闭环频率特性。AoAiAAjXjXjGjGPAOA1A由开环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性估计

18、闭环频率特性设闭环频率特性的幅值为设闭环频率特性的幅值为M M，相位角为，相位角为, , 闭环频率呼应可表示为闭环频率呼应可表示为 类似于地图上等高线的思绪，我们可求出闭类似于地图上等高线的思绪，我们可求出闭环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹，在由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正时，这将带来方便。时，这将带来方便。 joieMjXjX 等幅值轨迹等幅值轨迹M M圆圆设设 ，式中，式中X X和和Y Y均为实数，均为实数，那么那么 4.254.25式式4.254.25两边平方，可得两边平方，可得 222211YXYXj

19、YXjYXMjYXjG 4.264.26假设假设M=1M=1，由式，由式4.264.26可求得可求得X=-1/2X=-1/2，即，即为经过点为经过点-1/2-1/2，0 0且平行虚轴的直线。且平行虚轴的直线。假设假设M1M1，式，式4.264.26可化成可化成 (4.27) (4.27) 该式就是一个圆的方程，其圆心为该式就是一个圆的方程，其圆心为 ，半径为，半径为 。如以下图。如以下图。222221YXYXM222222211MMYMMX0,122jMM12MM在复平面上，等在复平面上，等M M轨迹是一族圆，对于给定轨迹是一族圆，对于给定的的M M值，可计算出它的圆心坐标和半径。以值，可计算

20、出它的圆心坐标和半径。以下图表示的一族等下图表示的一族等M M圆。由图上可以看出，圆。由图上可以看出，当当M1M1时，随着时，随着M M的增大的增大M M圆的半径减小，最圆的半径减小，最后收敛于点后收敛于点-1,j0-1,j0。当。当M M1 1时，随着时，随着M M的减小的减小M M圆的半径亦减小，最后收敛于点圆的半径亦减小，最后收敛于点0,j00,j0。M=1M=1时，其轨迹是过点时，其轨迹是过点- -1/2,j01/2,j0且平行于虚轴的直线。且平行于虚轴的直线。 等相角轨迹等相角轨迹N N圆圆 相角为相角为 即即 设设tan=Ntan=N，那么，那么jXjXoijYXjYX1XYXY1

21、arctanarctan221111arctanarctantanYXXYXYXYXYXYXYXYN那么那么 配方整理，可得配方整理，可得 4.284.28由式由式4.284.28可看出，等相角轨迹是一个圆可看出，等相角轨迹是一个圆心为心为 ，半径为，半径为 的圆。的圆。以下图表示的是一族等以下图表示的是一族等N N圆。对于给定圆。对于给定值的值的N N圆，实践上并不是一个完好的圆，而只是一圆，实践上并不是一个完好的圆，而只是一段圆弧。同时，由于段圆弧。同时，由于与与180180的正切值是的正切值是一样的一样的, N, N圆对应的圆对应的具有多值性，例如具有多值性，例如=-=-3535与与=1

22、45=145对应圆弧是一样的。对应圆弧是一样的。022NYYXX22221412121NNYXNj21,2122141N 运用乃奎斯特图求闭环频率特性运用乃奎斯特图求闭环频率特性 运用一样的比例尺，将等运用一样的比例尺，将等M M圆和等圆和等N N圆绘圆绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以一样制在透明片上，然后再把它覆盖在以一样比例尺绘制的系统开环传送函数乃奎斯特比例尺绘制的系统开环传送函数乃奎斯特图上，乃奎斯特图与等图上，乃奎斯特图与等M M圆和等圆和等N N圆的交点圆的交点所对应的幅值与相角由所对应的幅值与相角由M M圆和圆和N N圆的参数决圆的参数决议，对应的频率由开环乃奎斯特图决议，议，

23、对应的频率由开环乃奎斯特图决议，这样即可求出闭环频率特性。找出这样即可求出闭环频率特性。找出G Gjj与与M M圆和圆和N N圆的交点，就可绘出闭环频率特圆的交点，就可绘出闭环频率特性曲线。性曲线。 运用运用NicholsNichols图线求闭环频率特性图线求闭环频率特性仿照上述等仿照上述等M M圆和等圆和等N N圆的思绪，在对圆的思绪，在对数幅相特性图上作出等数幅相特性图上作出等M M圆和等圆和等N N圆，圆，由它们轨迹构成的曲线称为尼柯尔斯由它们轨迹构成的曲线称为尼柯尔斯图线。尼柯尔斯图线对称于图线。尼柯尔斯图线对称于-180-180轴线，轴线，每隔每隔360360, M, M轨线和轨线和

24、N N轨线反复一次，轨线反复一次，且在每个且在每个180180的间隔上都是对称的。的间隔上都是对称的。在由开环频率特性确定闭环频率特性在由开环频率特性确定闭环频率特性时，运用一样的比例尺，将尼柯尔斯时，运用一样的比例尺，将尼柯尔斯图线绘制在透明片上，然后再把它覆图线绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以一样比例尺绘制的系统开环传盖在以一样比例尺绘制的系统开环传送函数对数幅相图上，那么开环频率送函数对数幅相图上，那么开环频率特性曲线特性曲线G Gjj与与M M轨线和轨线和N N轨线的轨线的交点，就给出了每一频率上闭环频率交点，就给出了每一频率上闭环频率特性的幅值特性的幅值M M和相角和相角。假设。假

25、设G Gjj轨迹与轨迹与M M轨线相切，切点处频率就是谐轨线相切，切点处频率就是谐振频率，谐振峰值由振频率，谐振峰值由M M轨线对应的幅值轨线对应的幅值确定。确定。例例: :一单位反响系统的开环传送函数为一单位反响系统的开环传送函数为G Gjj轨迹与轨迹与M M轨线和轨线和N N轨线，如以下图所轨线，如以下图所示。闭环频率特性曲线如图示。闭环频率特性曲线如图b b所示。由于所示。由于G Gjj轨迹是与轨迹是与M=5dBM=5dB的轨迹相切，所以闭的轨迹相切，所以闭环频率特性的谐振峰值为环频率特性的谐振峰值为 =5dB =5dB，而谐振，而谐振频率频率 。此外。此外G Gjj与与M=-3dBM=

26、-3dB轨迹交点的频率在轨迹交点的频率在1.21.4rad/s1.21.4rad/s之间，采用之间，采用插值计算可大致确定闭环截止频率为插值计算可大致确定闭环截止频率为 =1.3rad=1.3rads s。 15 . 011ssssGrMsradr/8 . 0b 非单位反响系统的闭环频率特性非单位反响系统的闭环频率特性 对于非单位反响系统，其闭环频率特对于非单位反响系统，其闭环频率特性可写为性可写为 在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图在求取闭环频率特性时，在尼柯尔斯图上画出上画出 的轨迹，由轨迹与的轨迹，由轨迹与M M轨轨线和线和N N轨线的交点，就可得到轨线的交点，就可得到的某一频率下的幅值和相角，用的某一频率下的幅值和相角，用 乘以乘以就可得到系统闭环频率特性。就可得到系统闭环频率特性。 jHjGjHjGjHjHjGjGjXjXio111 jHjG jHj