2018常微分方程考研复试题库及答案

1、1,及2y-劭+_y=Q,2-求通解9H2y=0.w.yryQy-0;4.求通舞炉T-2a十功二5%,兀一次+2不=f3n$6.y-y+（4x2-1）=o；7,化工W+工产+工2一教口）刀二Q为甯系数方程 6=士1”s.求方程他!尸一y口通斛。匚9.将我/二兀y十（十一砂）了三。化为自其方程小10 .将（1-如）为二工电十gy=（j化为常系数方程。133138自潸越L设振动银小，试求下列单项的周期，若其长为（1）色=lOws（2）国=40第11小提博的单项若周期为1秒2秒弑求期项长中12一质点徐恨地沉入液体，省沉入时，液体的反作用力与下沉的速度成正比例，求C1）初值密件三盘）通解三（3）运动规

2、律.13一物体在大气中降落，初速度为零，变餐阻力与速度的平方成正比例，求物体的运动规律14如果不计阻力，某一浮筒的垂直运动服从2+40。E。象此运动的周期。6.一重9=4千克之物挂在押簧的下端，它使弹簧的长度增长了1厘米中儡定弹簧的上端有一转动机产生钳直调和振动y=2sm50厘米.并且在起嫡上=口日九重物处干静止状杰*试求口）运动方程；（2）数学解；（3）初始条件:（4）运动规律此重物运动的规律。139143123自泅题自泅题 m m1321 1 . .说明二阶续性齐次方程的一切解集构成一个二维级性空间.d【xdn2 2.将二阶线性振动方程丁叶仃二十戾Y=Y=。，化为方程组口由2出J J2 2

3、T T3 3 . .将vanderPolvanderPol方程+出*-1)+Ji=0 0化为方程组口出之威d3JTa3a34 4 . .将LietiardLietiard+ +/(j)/(j)+ +g(A)=。方程化为方程组#HPHPal5 5 . .试诲人造卫星运动方程组d*Kkxkxdi2+尸草d换x?+产户门化为一阶方程组.144145自测置自测置1.1.耨下列方程组写成向量方程的形式。小十产工0)dx+4y+ddx-dz2(2(天十p p十二)尸一工才一工3+2曲+ +2 2+ +6)6)办+G G十用法=0 0(x+M)d汇+y出+支检=0 0151156-乐-曲亦一曲,X=3芯十4

4、十5%=2兀+y+1,=T+y-A+y+smA,今-3齐+7y十cos/.1.叙速向量撒分方程殂初值问题解的存在惟一性定理证明的五个步骤.146150.出sin2xtcosy/,1.1.解方程蛆生二立二士祗xixi工+熊y十 w2+x求解二生二一生.升my解以下之联立微分方程式解 w1.1.线性微分方程的初值问题存在唯一性定理与非线性方程组存在惟一性定理的主要区别。2,2,叙述线性微分方程能存在惟一性定理证明的五大步彝。3-3-试用逐次逼近法求方程组詈士|J J】jxjx 满足初始条件X（卬=|:的第三次近似解.%求始值问题半1 1= =/ /十KQKQ= =0808）三1 1的第三次近似解。

5、5 5 . .设工是上的连城函数，目为希3,3,与力时，|x|x（i i）| |,口r r此处M人都是非负常数。试用叠代法方逐步逼近法）证明|式用工诙*f）当无，才1 1时中6 6 . .设4 4方,川*&互不相同,求刘三洛”2三酒匚，“JLJL小,构成的胡斯基行列式。157162不包含原点的区间 sM 上上的解矩阵彳匕）基解矩阵。6.6.若线性齐次方程组=4343又与一1=41=40 0互有相同的基本解组，试证矩阵函数di或4 4 二3 3式f）其中/=4?=4?是摩的矩阵函数，且在b b门60）axxaxx4.4.求（驼）的通解口自礴fx1 1. .脸证向量函数组,1）=序式x）=”线性无

6、关口。v2 2. .证向量函数的（工）=.冷（。=在任何区间上线性无美。L-sinrJcosr3 3. .已给方程组学=工一切兽=与+（X.0X.0）. .axT TdGx2x4,4,解走阵与基本解矩阵的异同。01一22设雷引=投2，验证典）是线It齐次方程组程 3=VX在任何*照证1=I35KJ35KJexcasr.（学人工）=-sinrcoszk kC05IC05I MJMJ(3(58)168-173I,依据线性算子广的性质，列出并证明一系列关干高阶线性齐次方程解的定理62.叙逑函数组的线性相关与线性无关的概念.3.证明函数组1,明元，一在任何区间口M4与上上线性无关#人证明函数组)乙/承

7、其中当3/热寸&/在任意区间口与木玉&上线性无关口5.弑逑并证明在区间 g,匕)内函数组线性相关，线性无关的判定理6.瘠出定理4与定理5的主要区别三174177自IMS2.将下列电阵分解为对角矩阵与幕零矩阵之和,、22n(21、(DA=M04-03243).U,口口J3,对上题的矩阵求44.A=T(l)分解一陶求/178180自1.求下列推阵的特征方程；覆型特征粮。.，100 0、(-f11214=,4=o1-1,4=012.设幺二,，求口)(2)/,仃1-10)11、f3.U)已如/二，求(2)曾二rl11仅2笛4 45 5- -051；- -C C135001J1口Q%10、)10)02)

8、破4=如ReQ*)与(比5)5)产的差别占110、0 01 1,求 0 00 01.举例说明,新矩阵一股地说6#方1.，（1）求恃征根；门）求必。2.-（10求特征根？C2）求“堂3.CD先束幺特征根：C2J求解初值问题求解下列方程组dx-z-y必（2）求变dx102将它分解，并求解空二ax185自测题1891-4二200000。(21200120013.J4=4.A-001.0勺10200-1005.10t0dy法 fXO)-1)，N=-z-r-rN的基解矩阵。口）设A=01200120012I：I0001-22100、01多0、002/00,00特力分解（2）展开，（1）将A分解为对角矩阵

9、与嘉春矩阵之和i（2）展开后CDH 分解！12）将电展开“1,计典-1-1-rii1001,（1）求的特征方程，特征根。（?）海/分解为用矩阵与反事矩阵之和二计篁中的早零短尾（4释电击展开一1901921）求将征根；办求特征向量1（3）求号=4V通解；国）试解初值问题。19319410、1。荥（1）A的特征值 M特征向量彳（3）统性无关的解，02,110、求解方程组；也二010Jo由1002；213）乙=02111）求出特征根求恃征向量43）求线性无关解;）求之=3,002.1951981.给矩阵/2.设立二3.给矩阵V36-472，求CD求特征根二（2求特征向量:求学=启产的解口dx金的特征

10、根：（2）的特征向量,（3）求解?=且，。11.给矩阵，=0通解：求2（）didi的切性曲线力2 .给系蛇华2x（1+工-力力=p（x,y=-j（l-4x2+到）三。（工y）口）用必dt定理2码究团物不存在性；（.2）用定理3轿兜角轨有存在性口3 .验系统与=/三P（用四,孚=一差一8+施X，片尸三Q（苞/），周定理3讲atai究闭轨有存性1门用定理3斫究用轨不存在性&Y飞tdv4 .给系统1尸+科守十足/三p（x,产=R（1+I）三Q（小丁,1用定理2讨论dt出用轨：2用定理？讨论闭轨；3指出闭轨存在条件，234235自测题1.给出三个极限环的例子，并尽可能作出根根环所在环域。2 .判定以上

11、三个例子中奇点类型口236241自测题1 .试判别下冽画曩的定号性.口）叭风望/.C2）/（%了）=-2到（3），（小7）=/一2对+/升/.（4）网工y）=铲2”y+（5）1r（也”）=XCCE/+psm充16）气工田=齐十尸尸，（7）V（兀乂）=2工,一4B十3十2A+9w*.242将(2x-4y+6)dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。243求解dy=f(x+y+1)244说明当p(x连续时，线性齐次方程的0解唯一。245证明线性齐次方程任意两个解的与与差仍就是它的解。246常数变易法用变换y=C(x)exp(-p(x)dx)与线性齐次方程通解有什么不同248dy/dxy=0、.1

12、x2dyycosxdxy(0)1250求解dy2xy=4x、251求解方程y2y=x2 2exp(2x),y(0)=0、一dy1252解万程-=dxxy253设y1 1(x),y2 2(x)就是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。254、用变量替换或微分方法将下面方程化为线性(1)xdx=(x2 22y+1)dy(2)(x+1)(yy-1)=y2 2x(3)y(x)=0y(t)dtx+1255化下列方程为线性方程(1)y-y=xyy(2)y=y-x2 2-1256将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。257试证明：凡具有通解为y=C(x)+(x)式的一阶方程都就是线性

13、方程。其中(x)为可微函数。常微分方程2答案132249求初值问题的解123答案，1 .方程是欧拉方程，其恃征方程为r（r-l）-r+l=0或（广一1尸二Q它有一个二重实根r=l，故通解为y=小（G+C/=g 了+C/lnx.2 .令尤=0,求导数有J；=J、rJ：2-尸；）-2，代入方程得，修阁煞+2或也-无+2”0,必di它的特征方程r2-3r+2=0,特征根巧=1,巧=2通解为丁二勺/+仁2?处，换回原变量得y=C/+JQ 3 .证明：作自变量的替换i，dydydi-rdydxdidxdid：产d2yxdydx2力2次所以U_22+aexy=电一gf+aexy从而原方程形为ddid”dt

14、出当OBj当aV0时当a。时当。时它的通解为原方程的通解是4 .令工=eh原方程化为察-哼+”特征方程r2-4r+5=0.得勺=2+1,=2-3,因而y=2“(qcos2+Qsint)换回原变量得/=xtjcoslnx+c2sinInJ).5 .作自变量的替换$，则s=ln上dxdxdsdx,dx=r_=j-ididsdidscb一2一十=se小2小-2z+2=0,r=1z,1二c，(qcoss+白sin.x)，因1不是特征根，可设非齐方程一特解为。/*=(乩+为/代人变换后的非齐次方程，比较系数，得月=1,3=0,从而该变换后的非齐次方程的通解C0S5+。2s1n必。+*”，因此，原方程的通

15、解为升=以外eosin+公smlnJ+ln6 .作未知函数的替换y=dyx22 2du-=2m0+er.dxdxd2y代P.2/户Ad2u=2射。十+4xe”+erz-dx2公dx2所以/,2N4/血x2d?”=2ue+4JCue+4xe4eT加靖一4加天J十e/四十(4”一le也(2J原方程变形为0从而方程变成此方程的特征方程对应齐次方程通解它的通解为u=cxcos+2sinx.从而原方程的通解为；7=。,Sicos+勺sin幻113一一盟但=一/(1)=1一El而是变量/(0=1十生丁8M=土，时，令JN郎2才=2Q原方程化为z*z=0.,两边素以广；得自共椀方程尿,血=xdx,从而方程变

16、为-y-0,通解为=+”一，原方程通解为y卡+门产干.9.0三巳不。冬)=-工=XX所求自共辗方程为(,+&-)7=0dxx1(1=OS-ydx出。,1k作自变量变化工二g物，则空=空.也以dtpdx1dydy1d,-=(-H 短sm型&甲代人原方程得到包一班沙=0.金吟出i甲d用1&刀gsgdy)=sinpH甲gin，炉目0口eifJ伊Hp133138作变换法-；町答案：1.周期为7=2芯F3T=2Jp32=等(2)T=2.(1)1=2乃旧初二,cm2=2K原故当竺切3,由题意加/=mg-以，从而有始值问题工十七/-gmx(0)=0Fr*(0)=0占(2)解得方程通解K=CI十。2加十等八k

17、规律2小邂”学(17万).次r4.由题意芳”=g-上得始值问题/+x,2=g,#0)：m令方程变形为,左2Z+Z=gm5.解为券=qsm20t+c2cos20由万(0)=0/(0)=0,得质点的运动=0/(0)=0QI6.11）取工轴凿直向下，上=。时重物所处的较置为原点，重物的位移工=封）o则物体的运动方程为桁色一二洲g一七（工十一尸），其中y=2m30；，而为弹簧的弹性系歉。由题意，龌&左=0，放方程成为雁二=一小一量）。dr4又因F=瞪g=4（千克重,故梅=；当x=l（厘米）时，F丈1-4（千克重5g故上=4.将制止的值代入上式，得4，工三Y（2血？的，S成+gx=2加3Of0di其梏征

18、方程拈，+g=（B它的根为F二土Jg,核对应的先次方程的通解为义;点4%COSc因了二2g加30M30I不是特征方程的根，故该特解x=cicos3Qt4-i)giii30J.fm=-30sin3014cos3Ot.ftr*=-900cos30f-900sin30r.代入方程并比较方程两边同类项的率戮.得部一9。0+g)=6bf-9004-g)=2g.故值三U,b=空一j则/=年一疝30ro通解为g900g9皿r三,4工*=0匚。招+6sin标+-sin3Of0g-900（4）因此重物运动的规律为，二空吧上二里叵143答案：1-当。金口时,平面平行工坐标面；当时，平面是沙。工坐标面。2.当。事。

19、时，平面平行了轴；当口=口时，平面过 x 轴。，卮尹g-90060五1393 .设通过，轴的平面方程为珈十Cs=O又因该平囿与已知平面垂直，所以宓们的法矢量互相垂直，于是5-笺=U=氏。=2因此方程2y+2=0是所求的方程。4,因所求平面与已知平面平行，所以它们共法矢量，又因该平面过原点，故平面方程的常数项为零，因此所求的平面方程为露_3十攵=5母-1曾一&C=5,口一一3dM所以7_1_1十一十（7“护十2尸+3而于是平面的法式方程为M253n=-y+-了0病闻而闻3由法式方程如，原点到平面的距著为高VJU1441452.tn向量方程组的初值问题ci2）o 解稹分方程：尸匚*小出,（2）作逐

20、步逼近向量序列卜式可卜J0二尸口，*=为+以9打“心（冏二1,2），用数学归纳法证明加.到在卜一所区内上有定义，连物且满足不等式I底 3r 口II工册1r，（卜-工口归崎证明向量序列九（切在I”町上一致收领即场1为出=次工）是一个连旗的算Too向量逾数之在九=/口暗二力1冲两边取极限即得式工）金氏川）*喉f（n*。淞再用反证法证明惟一性*150146则U(1)证Z三,乳名）(2)证Z则各1010X4-4-GQGQ各yfyf2sin3Jt+4cos2X向 id八jx十尸仙nf&_.z.则1卜H17J*侬J或3=9十皿答案：4d(x+y)dt/gi21由:=，得、+y=十匕；(+y)x+y2又由2

21、=二，得、2一二=。以上两个首次积分是独立的，dty2从而通解为卜+y-?=5,”一而=勺.2.，iln(x+y+z)-ln(y-z)+na-ln(z-x)+nb.力p+y=O.dy设1=源，则77T+尸=0。a，所以y=Hsin(8十6=力sin(lnx十J).类似地，z=rcos(ln7c+D).代入原方程，得dx_4cos(lnx+R)dx_Ccos(lnx+Z)dxxCcos(lux+Z?)xJ4cos(ltix+%)x所以力二C.B=D.因此通解是.y=Asin.(lnx+z=Acos(ln7+B).4.两者均为可税将各项重新排列之，伊1/4犬力）+（必+必?）+（x曲+z公）=0,

22、xdxydy+（zdx+xdz）=0积分之，则得;+，242xz=j此2式联立后即为通解。dxdy52-(A+2y)一(x+2y)11x-yx-y2由此得”=应=丝,於是可积的方程式为-xx+y1dx=-X总之9得z+logx=c19其他可积的方程式为=色-.-x十y解之，得+2寸=匕故2+108万=位，/2+2X=勺为通解dzF-21dzT由这三式消去z、z，得156答案品1,线性方程组的系数，非齐次项(或称自由项)都在某个区间上连续，初值问题解也在整个区间上存在版一.这是一个大范围的存在惬一性定理3而一般非统性方程组的存在It一性定理国保证在卜一工JM也上成立，这里人一般“很小。所以又称为

23、扃部性的定理这里线性微分方程组与非线性微分方程的显著差别之一。2.见正文。3,取第。次近似解工口工rLb则第一次近似解为第三次近似解为1却出二2)4.令则上始值问题把为等价的一阶方程组的始值问题vr=zy(CI)-0以0)=1,仲取零次,近似解QS=,则J第一汝近似解为c/1)(Rti)二+fdx=1。+旬F第二次近似解为151第二次近似解为X二I,0r1di-JRdt-从而所给二阶方程始值问题的第三次近似胡为丁工+J$第三次近似解为其证因入是鸟力上连续函数，从而存在忻0,使得|取）|工展，又由|哂|朋+陶卜（0曲WaQ31n-刘尸172一厂也犯T1J2,，力人讨72只1/4叫）x印后!V t

24、!上面为著名的范谯蜜行列式。157162答案:G十匚口五三0I10+c2-0推得仅当 G=凸=O0t,上面方程里才成立。故乃在任何区间内线性无关。2.证反证法，如果入，2线性相关，解存在不全为。的使人+勺尸2三。，用对应分量相等，推得:Qcos筮十盯sin工=0、一qsmx+qcosr-0由干军教行冽式=1w0.sinxGS用所以 jW=0,矛盾，故乂5）了式乃在任何区间内线性无美。（1）求特解；（2）求线性无关的解。dzj!J2必、2,、3（1令?=用+律，则=二+）=一（4|期。=积分得特解=短？从而为=箱-短括 H.仙璃工地）X怕口 （ 知-8 ）重.ISjSiin1,由于力71（力+巧

25、尸式劝三。,即.；4.由若干个解的分量构成的矩阵为解矩阵， 这里没有矍求这些解线性无关;加果由不个线性无关的解，它构成一个斛矩阵，称为基斛矩阵，这是与一般的解矩阵的不同的地方.（2）计篁印81，乃）三2x-21nx-xInx+1安。5H0）.仙A兀证因为我匕一以。*不以所以在任何不包含3V，原点的区闾aM&b上是线性无关的所以C32尸是方程组的解。3 门当上二时，x&）二i1也7M所以（口）丁是方程更的解口5A，。n从而文后）-1是x,S三?，的基解矩阵.3Vo1JY6,设眦是方程组=出口）与=4团区相同的基本解组所组成的基.解短阵.刚中田=4Q）虫电心）=4则得(盒1-4乂切中W-0，因6e

26、t*(/)q0,从而有*1-(4-儿2e】二Q,=。,即4=40163两式帮碱，答案：1.令dy力”d*-iyJi=乂为，居居=TV7办dxidx建-1可将（359）化为等价的方程组0力=0-%（X）而其相应的齐次方程为写成向量方程为:其中97心乃=些小组办答等=居，一%（X）力一味为一7月（无）十/（1）一八+/W.(3510)o、(o0100,/二0010一%.G)一GL(35.11)I力利用方程C358）.匕59与方程组C35.10）.纪11）的等价美至，根据三十四、两单元中关于线性方程组的基本理论，我的容易得到下面一系列的结果口（i1定理1方程（359）的找个解/1（疝刈,以（冷线性相

27、关的充要条件是它们的朗斯基行列式用=0.”3汾方程1抬gj的网个解卅/a%（工）,/式工）裁性无关的充要等件是它货的朗斯基行冽式尔砌，其中立式琰，/方的朗斯基行冽式为为乃皿“泗伏）火力XW二产币:婢飞天）/T讨 7（ii）定理2齐次线性微分环呈（充戈）一定存在两个续性无关的解西）定理3设F】。平式松4式工）是方程（3”）的再个蜷性无关解？划方程（31箝的任一解均可由具线性表示口（*）推诧1齐次转性微分方程（3工中的解的全体构成一个我维缆性空间口设为,7式项n 八（X）是方悭箝的他个线性无美解,则方程丹）的通解为y-+式0+十/几（力（三）定理4著式4生0）,/式工）是方程口3.口的阳个解，则用

28、（用在工点的值与寿点的值之间有下列关系！用=犷（卬）/呷检,12）164167答案:1.口）-=（-sincos51-I-cos-sinJtcos恐-cos及十沏COS32C+COSA-sinxcos2耳三煲-（-sm欢1+sinxcos-cosxsin5A心=-sinsmx十sm二不cosxcoszsm口了三口.,、d（ecos）,八、（2Je1cosJFCose1sinXI-sinxcosk）dx=白*cos，-总?sm/1cosxcos3/4白酎inx-sinxcoJJ:=0;d（ssinx）.、穹 xsin工LH-sinAco5smsnaJTdx二电*cos左+您#sinJCsinxe

29、rsin2zcossinsmxcosx-0;3在UkCZ）的基础上，即如y是0后7）的解矩阵*，L1Jdet（F（z）=1 1=-*（沏1X十Q5力二一上羊0.士Q5犬自片sinr所以FC）是基解矩阵。C2）（36.7）的通解为jVi=-CisinJL+G”cosJT,jL=qsm了+与s#cosx.其中q,q是任意常数。X,1*1*、r 工3X XJT门、r43Ifl.x(IfiX)-4(一(Iti工)二牛-In工-十2244、2、24所以*是（36/）的通解.4.因为detPO）牡。，3题中丫5）是基解矩阵，身中是门的一个特解由所以通解为其中可,与是任意常效,1733.验证M二为二天金一建

30、Li公,xlnx,兀2一汇之In升应齐次方程组的解，（4）尸*二箱总一工？、lax出五户H2244x.nx.3短3r是兆玄）的精解.(3)dg)+汇)-2x-2JT=0;dxxd(一#)娟2人._.-1H=-1-l+2s0.dx短 kd(xa-左昌LnK)上金一In芫-H-rmx=2A-ixlnx-一一工*zln五十xln五三0,公元加五)汇*一川h工2(不InI)1,.,.-=fljr+l-l+hA-21n=D.粗短由口），C2）即得。dy.X3rlfir+-r(hir)-r比r+r史武十工+工-至23十-1(Inr)2+/伽工f31nx?r25+一344；Inx(Inj)aJ2一“+一:+

31、Qi工)=+2Inz6xa6r-4一熄24431nx9三十1-244168答案：1 .定理1如果乃是某个高阶线性齐次方程的解，则也是这个方程的解，其中是侬球证已知三0,要证三Q。利用这算干的性质（1）,我们得到：广1三*巧三0.定理2线性齐次方程人力=。的解为与32之和M+为也是同一方程的解。证已知和021三必要证二|14,2】三，利用这算子的性质（2）,我们得到；r伊1十力三*uj+r%三，定理1和定理2的推论。高阶线性齐次方程*，=0的解K，,K的任意线性组合mzq%也是这个高阶线性齐次方程的解，其中。是任意常数。J=I定理3如果带有实系数n5）的高阶线性齐次方程z*|=o有复数解M=（x

32、）+z（X）,则此解的实数部分Q）和虚数部分口。）也都是同一齐次方程的斛。证已知Vu（A）+MM胃0,要证14-。和%-0O利用算子的性质和,我们得到：*L+iuzLw+tLu=0,因而，/也三。和二同三0,因为实变量的复函数只在其实数言所和虚数部分都恒等干零时，才恒等千零。注意，我们把算子金的性康（1）和（2）应用干支变量的复函数（为+?u（x）显然是可以的，因为在证明性质（1）和（2）时仅利用了导致的性质：（其中c是常数和01+乃）=乂+%，这些性质对实变量的复函数仍是成立贸。2,函数以（力,乃0）,为5）称为在左的某变化区间*M 入工方上是线性相关的，如果在此区间存在常量夕I，的，心使生

33、J1+0必+-+=0（37.7）且至少有一个生于。反之，如果恒等式（37.7）仅当%=%=%=勺=0时成立，则函数小乃，,外称为在区间aMxMS上是线性无关的。3.证因为恒等式苗十。2了+。3*+2!4咨”sO（37.8）仅当所有%=0时才成立。如果至少有一个心,。则恒等式（37.8）之左端是一不高干将次的多项式，它最多可有况个不同的根，因此，它不能在所考虑的区间上多干库个点处变为零。4.证假若所考虑的函数组线性相关，则的6瓦1十十劭e勺,三0（37.9）且其中至少有一个生。0，例如外 h。将恒等式379）除以e总且微分之，我的得到；4式的_%2您“1”+,+%（3_网）。（&-电三0,（37

34、.10）这是具有不同指数的况1个指数函数之间的线性关系。将恒等式（3710）除以。 （与一卬”且微分之，得到具有不同指教的幻-2上指数函数间的线性关系。这样维琪作加-I次，我们得到;。的-1X右-与）%0，但这不可能，因为依假定%0，且当F*中,用H0。注意当月C=L逮）是复数时，证明仍然是正确的。5 .定理4如果函数为，乃，,”在区间oSxSB上线性相关，则在此区间上朗斯基行列式涉（工）=即UlJ2，八=疔/2=0 俨,铲）7”证已给在区间a4x45上自为不全为。将恒等式37.11）微知?-1次，我的得到:2y2-M=，为乂十劭心十十以）；=0,十出尸+。J尸m0这个关于全体的含个方程的线性

35、齐次方程组对区间ax1W=（耳一1下,当口x1,和.#）=S 当1，矛5E,丁式笨）=。，当IV,和内（M=5一炉，当01口y,y3显然，.f=c50 x2,因为在区间口巴克 W1,第二冽由零组成,而在区间力为0 x2上线性无关，因为先在区间口 W 齐M1上，研究恒等式口/十出”。父王 M，我们得出结论 ma1=0,然后再在区间1x2上讲究此恒等式，我们又得到的=0。177174勺/ /Cr。、01+一214-r00【。1a.3。 ，,注意如下妮律;r r3 312!12100nc c210”011-&口Q、勺b炉0坟E,不二b，从而如5次方之后,循环的用到工工片乙？”,如此得Z-r+r+lr

36、+-213!4!-bi1+QF牙十了十。+B-+351CL凌靖0-8+-十31%1十。一，+0+*2!4!)COS一3111公sinbGOG/178酸电同=电RE180cos2?sinfe-sinbCOS?J001-2-1=(l-2+(l-Z)=0-l)(-l3-2/4-2)=0,01-200fNf三。001,1-Z=-7)(工+5)=0石=1,工=1+打当=1一工(3)，川二阂一花|=1幻2Q=0,4=1；当=1,4=2.rcosl铀-sinl匚口$11-2(2),p(尢)=00(3)也以工讲=胪=叱但(义)A0，例如七2时.000、收三000布L它为3x3矩阵情形,1.次1故基解矩阵必二e

37、co?V3x京,fing工一善*sin龙x虐*通解产=直式纭185189-sin1Y03535工人以-2xCOST-2xCOSTa6L门）丸二白+瓦，所以)-Im(4)、)REM干是（2）月二以E+3,3=-；曰总与刃可交换干是d e.产口膻/-|gBgB= =g g+ + （1=方+B.B.k 包艮（E+E+Bkg g豆21loJ02000020炉0040000一%开=白飞十N十破十211000费3)30100Q、012.Cl)H=2后十000)2#=/(F+网+2.A-2E+000Njf所以它X 矗4.4C邱Msinx000、000,三2E十Ni0001)=+4=0,4=2W,%=一2?.

38、-2如+2办=0,取r”=1,则Ri=.答案:%=-1对应特征向量，4一.6-3人第解彳早产?-1、(3)/,det0(0)=1-1-1孕;所以J1,用线性无关。的解，51=/cR,满足统性代数方程(/一或r r!2!2厂22/22/yt=.e2ir2ir.(cos2j+sin2x)=尸；=Re=V7cos2A,、1sin2A;，=1m月=从而J=CIM+C?乃.的dx412131.cos2x+3sin2K、sin2兀+了cos2)sin2升、0s2K),尸：J；线性无关。双0)=9、J3. C1）的恃征多项式是因此，4的特征值是4=7和4=一5C2）&=7：莪们求非零向蚩生使寿(A-ir)r

39、-由此得到。i工巧1，因此-每 T 向量都是上的对应于特征值7的特征向量口所以阳打二小是微分方程的一个斛匕4. ）A=-5；载们求非零向重人使得,、何12）（心I（A+5E=13b&JU2J由此得到巧口=-2-也%因此一2是A的对应干特征值、的持征向量，而产式用=产是微分方程的第二个解。这些罪是线性无关的，因为胃具有不同的痔征值因此，尸0）=勾当（兑）小巧/式工C4）甯数勺和%由初始条件来确定：J枇口=二&所以22飞-5tI;detrl-Z12),31-Z=Q-4*-36=（上一7）（工十一门力（。）+立水。）=k/1_加工,口、因11匕一2心二。和5十七二1&这荫个方程的解是 GeQ17f1

40、-St1941932.C1）特征多项式7（2）=（2-A）入=2是4的三重特征根o（2）特征向量满足方程组fO(A-=o10由此得到1=09而尸11是任意的6因此,的所有的解。由此得到勾=0尸和都是任意的。现在,满足方程（/一2）2尸=0,但是（/一2后=0。此外,913,(A-2E)ir=00-1000,的所有的解.显然,每一个向量璃是这个方程的解,得向量9）=00/V31J10)向量90001001.（3）由尸=0得了=e*0P、1何、1是第二个线性无关解，又4=川的一个解；现在求第二个线性无关解。e(E+x(A一E)12是单根，因此,3=2A由此得到，2=G=。，而八是任意的因此，的所有

41、的解。由此得到=0/11和%都是任意的。现在，弓二满足方程（4一2靖。工0,但是（同一2下f0。此外,尸3=3=不满足（力_2r=0,(M-2。/=003-10roro1013、(A2E)3r=00-1000,f0010的所有的解。显然，每一个向量广都是这个方程的解6000向量0100,向量与Ji线性无关；还需求第三个解:仅士/，（上幻，0二”J14）所以通解！3=口用十位的十0月-二二和匚3=1e因此尸l：（J=r=Ay一个解事第一个展Zi-Zi-1 1I IJVT* *五十式（-2+二（4一班0）在通解常勤与，勺河心由沏始条件来确定:d前却）*0.1981951a-11.(1)det(j4

42、-XE)=11Z2)当2=l+i,J取特征向量),对应齐次方程组通斛为：(-sin=C】4(3)用常数变易法求原方程组通解，由产一2昆+2,特征根为又=1?1T)一10；in.(cost./+i/KIsin.J/，1,cost1,或十6.,p)ksmt答案:得C；G)=E干是q(0=-(sin/-cc2c72(t)=一(sint+从而原方程组的通斛为：y)-d0)sint+匕；cost=2Tcos/c(t)cost+c；(1)sint=07丁cus(l-is*,c?G)=/(sin才十cos2/)-)st)+(sin2i+2cos)+a，15cost)A(sin21-cosZ一)+/5.522

43、1.31血一,fcosA,-n/-cos#-成十用.建+；52口。“Jksm/JLcos/-isin；-L(3)用常数变易法求非,次方程组通解rL(2)cosZ+72&)sult=1由-c；()sint+c；Q)cos=.sinZ得c；Q)=cost-L6G)=匕咨+sir.t于是C)=sin-+a,c?(f)=Insin-cc”+0.从而原方程组的通斛为：卜inCJsintlnsm/-tcozt(coaJ(COMInsin.十sm-1,2.Cl)det(-4-ZS)=T+1,特征根为兀=力,(2)当一-，时,取特征向量(Li)。对应齐次方程组通斛为:=%(:卜+勺（3）用常数变易法求非齐次方

44、程蛆的解。；（。）2-+6（。S=COS/.S2T+3勺一次=4cosJ-sin2c；口)=岂(sint_cost),2c2(z)=(3cosi-sint),Cg)=-e:cosj+or,2C2(，)=LjCOS/+0.2从而原方程组的通斛为:ct3.det(j4-IB)=-Z-13-4-=（A3+1），十3）,特征粮为4=T,尢二=-3.当入-1时,p-n取特征向量（l）r当；I=-3时,J取特征向量。3产对应有次方程组通解沏干是-31T口当4 2时，取特征向量（L到一U-V当；L=2时，I1I取特征向置&7）丁，1、33）对应齐汝方程组的通解为：（2）用甯数变易法求非齐次方程蛆的薜4（7；

45、（3婚一二 H1簧瀚守-34.-j?y 特征根兑=2.于是从而原方程组的通解为:199202苒案二1Cl）A2-b1=OSXL=tXs=-i对应齐次方程通解？=Cl85彳十585及o（3）因/（对二只+g3,t不是特征方程的根，1是特征方程的根曲设待解y*=ax1+z+c+x）就而/付=勿汽+启+08器+上SIH式一人工证M+杷产=2a-2sin兀+2上cos彳一施工匚。$1一上xsin大，代人方程并比较方程两边同类项系数。得2口+c=0,b=0,u=12上二12h=0故0k13=口,白=2,内=口k=一.2了常 h 升口2+-3输K.2通解为V=F+俨=qcos了+jsinK*2+sin。2

46、i门J郃一2启4工十3=0*它有一个手根%=2,i个一重才弧=28齐次方程的解为y=/名-翻+（附+e/）纣因/比）=16（小”+小工.2是特征方程的单根，2是精征方程的二重根，战设特解潸二口融融白匕婷卓？工.而尸物二郎与才-2营为+2&工后加+口炉,产二一4必。+4厘工塞4-2b+助工时+4版口点三=1=x-&K/工十1各户+24如回+防川峭：代人方程并比较两边同关项的系款，得16a-16劭=16,故也=1加=2,沙“二xg谕+2工切标通解为=y+y*=+（q+x）+1白-31+21卢急3.用+2*+儿=。，单根=。二重根&=1。时应齐次方程通解为F=勺+0+%）白.（3因17cX）二-幼不

47、是特征方程的根，故谩特解为,二霞 F而=一取百一,代入方程共比较方程两边同类项的系数，得-2a=2ta1.4序（r3+t：3x）+营比yf=-c2-向力-2第 7 事y二点-*g-2C5-c5x)+4/T由初始条件，得勺=4,=工0=。，初值问题的特解为尸=4一%-*斗白加205j*f=-2ae-2J=Aae2y203苒案二1Cl）A2-b1=OSXL=tXs=-i对应齐次方程通解？=Cl85彳十5匚。5兀o（3）因/（对二只+g3,。不是特征方程的根，1是特征方程的根曲设待解y*=ax1+z+c+x）就而/付=勿汽+启+08器+上SIH式一人工证M+杷产=2a-2sin兀+2上cos彳一施工

48、匚。$1一上xsin大，代人方程并比较方程两边同类项系数。得2口+c=0,b=0,u=12上二12h=0故0k13=口,白=2,内=口k=一.2了常 h 升口2+-3输K.2通解为V=F+俨=qcos了+jsinK*2+sin。2i门J郃一2启4工十3=0*它有一个手根%=2,i个一重才弧=28齐次方程的解为y=/名-翻+（附+e/）纣因/比）=16（小”+小工.2是特征方程的单根，2是精征方程的二重根，战设特解潸二口融融白匕婷卓？工.而尸物二郎与才-2营为+2&工后加+口炉,产二一4必。+4厘工塞4-2b+助工时+4版口点三=1=x-&K/工十1各户+24如回+防川峭：代人方程并比较两边同关

49、项的系款，得16a-16劭=16,故也=1加=2,沙“二xg谕+2工切标通解为=y+y*=+（q+x）+1白-31+21卢急3.用+2*+儿=。，单根=。二重根&=1。时应齐次方程通解为F=勺+0+%）白.（3因17cX）二-幼不是特征方程的根，故谩特解为,二霞 F而=一取百一,代入方程共比较方程两边同类项的系数，得-2a=2ta1.4序（r3+t：3x）+营比yf=-c2-向力-2第 7 事y二点-*g-2C5-c5x)+4/T由初始条件，得勺=4,=工0=。，初值问题的特解为尸=4一%-*斗白加j*f=-2ae-2J=Aae2y210答奔记y犷=d+h则Aj,=3注尸邪=（z5+1）-十3

50、/十3元十1-元,-3储+31+1.（2）人与才=3片+1尸+3O+D+13;?3笈一1=3铲4内土/3+3+3-3/-3星=6工+6;也可以用公式工二A4*3一2a科1十尸才得&%=（左十2尸+12（6+1；?+1）4/+1=#48;?+12犬+8+12x-6工-4+z3+1=EK+62.（1）月一R-幻二曲曲这差分方程为股心S）特征方程为#=【尢-!-*-+ajj.工用迭代法设为为初始值代人方程得刈三力加用1y再代入方程北=砂广出力口；一般地/=为.（1=。工2）由此看出方程有形式M=必升的解，二为任意常皴将必=8代入方程r+i-=ca-caa=0*故少 H 二忆的为所求方程通解（含有一个

51、任意常数）。4.U）特征方程下-3A+2=口，特征根为&=1也=2;对应齐次方程恃解其=勺+82:（3）因）=4,而4=1是单根,设特解：寸立，代入原方程有上包+2）-3削T+1）十2日二4电解之得龙-4?从而得一情解=4KoC4）所求通解为齐次方程通解和恭齐次方程一个特解，即了*=门十门尹一4工，门，口是任意常数中j,尢+4五+1=0&=-2+4,石二一24.齐次方程通解定二匚禺十口用设火垃+曰/+bx+c代入方程并麴星6加+ti（2（J+2（4t7+-3白）二工一十工4口,1:渝同；欠薪号1.11=a=-fi=一，匚=1从而6618通解为K-句大+中+（3a-双一1）211206216答案

52、：KCl）一个有眼维 m 可微分发展过程它的过去与未来由运动的初始位置和初始速度惟一确定，这样的过程可以用常微分方程来描逑。m建立方程时用局部性质（导数、微分，菠解时用积分）蹲大范围性质，2.方程组U7.2）右端明显含有自变量称为非自治系然方程组（472）右端不明显含有自变量不称为自治索统。三.口）自治系统573）中工=（不,）取值的空间用足称相空间，又称状态空同口U）而色工）=出勺鹏犷工仆）取值空间尺父尺品称为增广相交间.即斛的积分曲线所处的空间4.W系统8铀确定增广相空阊的积分曲线，系统在（苒+1）维增广相空向内确定 T 线素原）对（473）,把上看成时点，点无我。那么楣定速度场斤（工），

53、它的解代表R兄中的一个运动，原点运动轨域就是相空闾RR中的轨线.5 .在十九世纪四十年代*即1时f年刘维尔证明黎卡堤方程一股不能用初等函裁有限个积分表示， 这是常薇分方程好竟转折点口&在十九世纪末,由毕卡乐与季雅普诺夫共同打推了常微分方程定性理论中（挟义来看将窣雅普诺夫理论称为运动稳定性理论217221答案：L.（1）自治系统的盛出动点运动所羟过的路径称为轨线；（2）自治系统虱劫态系蛇动点的运动，空间（/,心，,1%）称为相空间谷3）（叩+1）维空间（&和,/）称为增广相空间+（4）系统的解在增广相交阍定义和分曲线.2 .因为轨兼是代表运动，当督加1或减少）时，轨蛙是有方向的工而积分曲域表是系境的解在增广空间的几何形态（不计方向卜积分曲线沿着上轴在相空间的愦影得轨建。3 .一般地说轨线是有确定方向，但有特殊情形，即平南点（或奇点），里然它在几何上仅表示一个点.但在力学上，代表相对的静止，仍然称一条航线。它的方向不确定（见第四十九单元，4 .11）积分曲线的平移不变性：系统始.1）的积分曲线在增广相空闿:句知任意平移后仍是（48.1）的积分曲线.6）轨线的惟一性系统481过相空间中任一点仅有一条轨线通过m