第六章正交试验

1、正交试验设计正交试验设计第六章第六章 正交试验设计正交试验设计第六章第六章引引 言言 一类是用样本对所关心的问题作出可靠的结论即统计推一类是用样本对所关心的问题作出可靠的结论即统计推断。前面几章解决的是这类问题断。前面几章解决的是这类问题。数理统计研究的问题大致可分为二大类数理统计研究的问题大致可分为二大类： 在生产实践中在生产实践中，试制新产品试制新产品、改革工艺改革工艺、寻求好的生寻求好的生产条件等产条件等，这些都需要做试验。这些都需要做试验。 人们总是希望做试验的次数尽量少，而得到的结果尽可人们总是希望做试验的次数尽量少，而得到的结果尽可能好。要达到这个目的，就必须对实验作合理的安排，也

2、能好。要达到这个目的，就必须对实验作合理的安排，也就是要进行试验设计。就是要进行试验设计。 还有一类问题是用数据资料进行试验的设计和研究。还有一类问题是用数据资料进行试验的设计和研究。 正交设计就是解决这个问题的有效方法正交设计就是解决这个问题的有效方法。 正交试验设计主要是利用现成的规格化的表正交试验设计主要是利用现成的规格化的表正交正交表来科学地挑选试验条件表来科学地挑选试验条件，合理地安排试验合理地安排试验。 正交试验的优点是正交试验的优点是：从多种试验条件中选具有代表性从多种试验条件中选具有代表性的少数几次试验的少数几次试验，获得最好的或较好的试验条件或生产获得最好的或较好的试验条件或

3、生产工艺配方工艺配方。该方法在实践中已得到广泛的应用。该方法在实践中已得到广泛的应用。 正交试验主要解决以下三个方面问题正交试验主要解决以下三个方面问题：（1 1）分出各因素对指标影响的主次顺序）分出各因素对指标影响的主次顺序，找出主要影找出主要影响因素响因素；（2 2）选出最佳生产条件）选出最佳生产条件； （3 3）指出进一步改进试验的方向）指出进一步改进试验的方向。 第一节第一节 因素与水平因素与水平一、试验指标一、试验指标 我们称衡量试验结果的量为我们称衡量试验结果的量为试验指标试验指标，简称简称指标指标，指标也称之为反应变量指标也称之为反应变量，它是可以观察的随机变量它是可以观察的随机

4、变量。 一般作试验用来考察各种因素对产品的产量或收率一般作试验用来考察各种因素对产品的产量或收率，性能性能，成本等的影响成本等的影响，将它们统称为试验指标将它们统称为试验指标。指标中有指标中有一类是可以用一个数来表示的一类是可以用一个数来表示的，称为称为数量指标数量指标。 还有一类指标不是用数来表示的还有一类指标不是用数来表示的，是按是按“质质”划分划分，如产品质量的好坏如产品质量的好坏，产品的正品产品的正品、次品次品、颜色深浅颜色深浅、气味气味等等，称它们为称它们为定性指标定性指标。为了进行统计分析为了进行统计分析，常常要将定常常要将定性指标也转化为定量指标性指标也转化为定量指标 如如：工农

5、业试验中的产量工农业试验中的产量，成本或工业试验中某种物成本或工业试验中某种物理性能理性能：收率收率、强度强度、硬度等硬度等。 二、因素二、因素 在实用中在实用中，因素可以是定量因素也可以是定性因素因素可以是定量因素也可以是定性因素。 影响一个试验指标的因素很多影响一个试验指标的因素很多，但是但是，在试验设计在试验设计中所研究的因素中所研究的因素，必须是人为可以在试验中加以调节和必须是人为可以在试验中加以调节和控制的因素控制的因素。并且试验中挑选的因素要少而精并且试验中挑选的因素要少而精。 在试验中影响试验指标或反应变量分布的量称为试在试验中影响试验指标或反应变量分布的量称为试验因素（因子）或

6、自变量验因素（因子）或自变量。用大写字母用大写字母A，B，C 表表示示。三、水平三、水平 因素水平分为可控制和不可控制的两种因素水平分为可控制和不可控制的两种。比如比如：在工在工业的化学中业的化学中，反应在实验室内温度是人为可以控制的反应在实验室内温度是人为可以控制的。而在农业试验中而在农业试验中，大自然中日平均温度人就不能控制了大自然中日平均温度人就不能控制了。试验设计只是对可控制的因素水平在试验中作出设计试验设计只是对可控制的因素水平在试验中作出设计。 只考虑一个试验因素只考虑一个试验因素，称为称为单因素试验设计单因素试验设计，考虑两考虑两个试验因素个试验因素，称之为称之为双因素试验设计双

7、因素试验设计，考虑多于两个试考虑多于两个试验因素验因素，称为称为多因素试验设计多因素试验设计。 因素对试验指标的影响主要是表现在因素所处的状态因素对试验指标的影响主要是表现在因素所处的状态发生了变化时发生了变化时，试验指标也随之有变化试验指标也随之有变化。称试验中因素称试验中因素所处的状态（或位级）为所处的状态（或位级）为因素水平因素水平。 用表示因素的大写字母用表示因素的大写字母下加足标表示该字母所表示的因素的不同水平下加足标表示该字母所表示的因素的不同水平。比如比如：因素因素A，有有4 4个水平个水平，记为记为 。4321,AAAA 数字数字4 4表示试验次数表示试验次数，表共有表共有4

8、4行行，说明用这张表来安说明用这张表来安排试验要做排试验要做4 4次试验次试验； 正交表正交表第二节第二节 正交表及其用法正交表及其用法 一、正交表及符号一、正交表及符号 正交表是一种特制的表正交表是一种特制的表, , 以以 为例说明为例说明：)2(34L)2(34L3211111221221231224列号列号水平水平试验号试验号)2(34L 其中字母其中字母 表示正交表表示正交表， L 数字数字2 2表示在表中主体部分只出现表示在表中主体部分只出现1 1，2 2二个数字二个数字，它们它们分别代表因素的分别代表因素的2 2个水平个水平，说明各因素都是说明各因素都是2 2个水平个水平。 数字数

9、字3 3表示表有表示表有3 3列列，说明该表最多可安排三个因素说明该表最多可安排三个因素； 一般的正交表记为一般的正交表记为 。)(mpnL 表示行数表示行数，也就是要安排的试验次数也就是要安排的试验次数；p 是表中列数是表中列数，表示最多可安排的因素数表示最多可安排的因素数；m)(mpnL 是各因素的水平数是各因素的水平数。n纵列数纵列数每列字码数每列字码数，即各因素水平数即各因素水平数试验次数试验次数（行数行数）可以证明可以证明 满足关系满足关系：nmp,1)1( pnm二二、正交表分类正交表分类正交表按其水平数分类正交表按其水平数分类,正交表正交表 称其为称其为 水平表。水平表。 )(m

10、pnLn 如如： 二水平正交表二水平正交表： 等等；)2(),2(),2(),2(111215167834LLLL 三水平正交表三水平正交表： 等等；)3(),3(),3(718132749LLL 四水平正交表四水平正交表： 等等；)4(516L 五水平正交表五水平正交表： 等等；)5(625L 混合水平正交表混合水平正交表： ：此时各因素的水平数不此时各因素的水平数不完全相等完全相等。)32(718 L常用的正交表也可以按常用的正交表也可以按 之间的关系分为两大类之间的关系分为两大类：nmp,nmp, 完全正交表完全正交表： 之间关系为之间关系为：11, 3 , 2, npmknpk)2()

11、,3(7849LL 如如： 不完全正交表不完全正交表：上述至少有一个关系不成立的正交表上述至少有一个关系不成立的正交表。三、正交表的特性三、正交表的特性 正交表具有均衡搭配的特点正交表具有均衡搭配的特点，也即具有正交性也即具有正交性， 这是指它有如下两个特征这是指它有如下两个特征：（1 1）表中任何一列中不同数字出现的次数相等）表中任何一列中不同数字出现的次数相等， 如如： ，每列中不同数字每列中不同数字1,21,2, , 它们各出现它们各出现2 2次。次。)2(34L（2 2）表中任意两列的横行组成有序数对，每种数对）表中任意两列的横行组成有序数对，每种数对出现的次数是相等的出现的次数是相等

12、的，如如： ，任两列横行序数任两列横行序数对对)2(34L)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1(),1 , 1(都出现一次。都出现一次。 由于正交表具有这两条性质，用它来安排试验时，由于正交表具有这两条性质，用它来安排试验时，各因素各种水平的搭配是均衡的，各因素各种水平的搭配是均衡的， 正交表由于有均衡搭配的特点，就决定了试验方案的正交表由于有均衡搭配的特点，就决定了试验方案的二个特点是二个特点是： 1 1。每个因子的各个不同水平在试验中出现了相同的次每个因子的各个不同水平在试验中出现了相同的次数数； 2 2。任何两个因子的各种不同水平的搭配在试验中都出任何两个因子的各种不同水平的搭配

13、在试验中都出现了且出现了相同的次数现了且出现了相同的次数。 所以正交表安排的试验的方案是有代表性的所以正交表安排的试验的方案是有代表性的， 且能全面地反映各因素各水平对指标影响的大致情况且能全面地反映各因素各水平对指标影响的大致情况，从而可大大减少试验次数从而可大大减少试验次数。 如果要全面做试验如果要全面做试验，需要做需要做 33=27 次试验次试验，这这27个试验个试验点的分布情况如图点的分布情况如图6.3（b）所示的红点所示的红点例如例如：设某个问题所考察的指标设某个问题所考察的指标，预计受三个因素预计受三个因素A，B，C的影响的影响，每个因素各取三个水平每个因素各取三个水平。分别记为分

14、别记为 ：321,:AAAA：321,:BBBB321,:CCCC：试安排进行试验试安排进行试验。做试验做试验，只需做只需做9次次，这这9个试验点个试验点 493L如果用正交表如果用正交表如图如图6.3（a）所示的所示的9个红点个红点。图图6.36.3 )(a图图6.36.3 )(b四、正交表的一般性质四、正交表的一般性质正交表中任意两行互换位置正交表中任意两行互换位置， 正交表均衡性不变正交表均衡性不变； 正交表中任意两列互换位置正交表中任意两列互换位置， 正交表均衡性不变正交表均衡性不变；正交表中任意一列里两字码作对换正交表中任意一列里两字码作对换， 正交表均衡性不变。正交表均衡性不变。因

15、此因此，同一正交表可能有几种不同形式同一正交表可能有几种不同形式。 由于正交表有以上优点，所以用正交表安排试验，是由于正交表有以上优点，所以用正交表安排试验，是把有代表性的搭配保留下来，能做到既减少了试验次数，把有代表性的搭配保留下来，能做到既减少了试验次数，又不能影响试验效果的目的。又不能影响试验效果的目的。第三节第三节 正交试验设计正交试验设计例例6.16.1某厂为提高苯酚产率，需要通过试验选择最好的生产某厂为提高苯酚产率，需要通过试验选择最好的生产方案。经初步分析，主要有方案。经初步分析，主要有5 5个因素影响苯酚产率，每个因个因素影响苯酚产率，每个因素都考虑了二个水平。具体情况如表素都

16、考虑了二个水平。具体情况如表6767，问对这，问对这5 5个因素个因素的二个水平如何安排才能获得苯酚的最高产率？的二个水平如何安排才能获得苯酚的最高产率？表表67 67 影响苯酚产率的因素与水平影响苯酚产率的因素与水平 320 30 250 乙乙 100水平水平12 300 20 200 甲甲 80因素因素)(0CA反反映映温温度度)(小小时时反反映映时时间间B)(大大气气压压压压力力C催催化化剂剂D碱碱液液用用量量（升升）F（二）挑因子（素）（二）挑因子（素） 试验指标用来判断水平组合的好坏，例试验指标用来判断水平组合的好坏，例6.16.1是苯酚的是苯酚的产率作为考察指标，称它为试验指标。产

17、率作为考察指标，称它为试验指标。一、安排试验一、安排试验 （一）明确试验目的，确定试验指标（一）明确试验目的，确定试验指标 例例6.16.1中，目的是找出提高苯酚产率的工艺条件，即确中，目的是找出提高苯酚产率的工艺条件，即确定最优条件，使苯酚产率最高。定最优条件，使苯酚产率最高。用正交表安排试验，我们遵循以下几个步骤安排试验。用正交表安排试验，我们遵循以下几个步骤安排试验。 根据试验目的，确定要考察的因素和各因素的水平。根据试验目的，确定要考察的因素和各因素的水平。 如果对问题不太了解，因素个数可适当多取一些，如果对问题不太了解，因素个数可适当多取一些， 有的因子一时看不清它对试验指标的作用，

18、也可以先有的因子一时看不清它对试验指标的作用，也可以先把它选上，经过对试验结果的初步分析再选出主要因子。把它选上，经过对试验结果的初步分析再选出主要因子。这样，比后来发现因子少而再补上为好。这样，比后来发现因子少而再补上为好。 要通过对实际问题的具体分析选出主要因素，略去次要通过对实际问题的具体分析选出主要因素，略去次要因素。这要从众多的因素中挑选人为可调节或控制的要因素。这要从众多的因素中挑选人为可调节或控制的因素。因素。 如如：例例6.1.6.1.选出五个因子选出五个因子：)(0CA反反映映温温度度)(小小时时反反映映时时间间B)(大大气气压压压压力力C催催化化剂剂D碱碱液液用用量量（升升

19、）F 影响试验指标的重要因子要多定影响试验指标的重要因子要多定几个水平。几个水平。（三）定水平（三）定水平 因素所处的状态称为水平（或位级），结合试验目地和因素所处的状态称为水平（或位级），结合试验目地和经验，对每个因素选择几个水平。经验，对每个因素选择几个水平。 定出的水平数可以是相定出的水平数可以是相等的，也可以是不等的。等的，也可以是不等的。总之，在试验前，要分析影响指标的因子是什么？总之，在试验前，要分析影响指标的因子是什么？每个因子在试验中取得哪些水平。每个因子在试验中取得哪些水平。如如：例例6.1.6.1.每个因素都定二个水平每个因素都定二个水平 320 30 250 乙乙 100

20、水平水平12 300 20 200 甲甲 80因素因素)(0CA反反映映温温度度)(小小时时反反映映时时间间B)(大大气气压压压压力力C催催化化剂剂D碱碱液液用用量量（升升）F 每次试验各个因子处于某一水平构成的这种组合，称为每次试验各个因子处于某一水平构成的这种组合，称为一个试验一个试验或或一个条件一个条件，如，如21111FDCBA正交实验的目的就是选最佳方案。正交实验的目的就是选最佳方案。以上两条主要靠实践来决定。以上两条主要靠实践来决定。（3）允许的试验次数少为好）允许的试验次数少为好 （四）在正交表上安排试验方案（四）在正交表上安排试验方案1 1、选正交表、选正交表在不考虑交互作用的

21、场合，可以把因子放在任意的列上，在不考虑交互作用的场合，可以把因子放在任意的列上，一个因子占一列。多余的列称为一个因子占一列。多余的列称为空列空列，在安排试验条件时在安排试验条件时不起作用不起作用，可保留待以后可做误差列或交互作用列。可保留待以后可做误差列或交互作用列。2 2、进行表头设计、进行表头设计 把各个因素分别放到选定的正交表的列上头，并在此列把各个因素分别放到选定的正交表的列上头，并在此列上方分别写明因素的字母，称为上方分别写明因素的字母，称为表头设计表头设计。（1）先看水平数）先看水平数n （2）列数）列数 因素个数因素个数 m 各个因素在正交表的表头上安排好以后各个因素在正交表的

22、表头上安排好以后，再把相应的因再把相应的因素水平对号入座，写明表中首先出现字码表示的水平。素水平对号入座，写明表中首先出现字码表示的水平。3 3、水平对号入座、水平对号入座4 4、列出试验计划、列出试验计划 根据实际工作情况，某号试验进行的次序可以有变更，根据实际工作情况，某号试验进行的次序可以有变更，但做每一号试验，必须要按表中排定的试验条件进行。但做每一号试验，必须要按表中排定的试验条件进行。 有了表头设计便可以写出试验计划。将放置因子的列中有了表头设计便可以写出试验计划。将放置因子的列中的数字换成因子的相应水平即可，不放因子的列，不予考的数字换成因子的相应水平即可，不放因子的列，不予考虑

23、。虑。 5 5、进行试验和记录试验结果、进行试验和记录试验结果)p, 2 , 1( iyi将每次试验结果写在正交表最后一列。记为将每次试验结果写在正交表最后一列。记为如例如例6.1. 6.1. 见下表见下表例例6.1 6.1 表表61611 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2123456781 2 3 4 5 6 7实验号实验号水平水平列号列号因子因子A B C D F(300) (20) (200) ( (甲甲) ) (80

24、)（250) ( (乙乙) ) (100)(30)(320)iy83.484.087.384.887.388.092.390.4 通过计算将各因素水平对试验结果指标的影响的大通过计算将各因素水平对试验结果指标的影响的大小，用图形表示出来，通过极差分析，综合比较，以小，用图形表示出来，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法，也称确定最优化试验方案的方法，也称极差分析极差分析。二、试验结果的直观（初步）分析二、试验结果的直观（初步）分析极差分析极差分析极差计算极差计算将包含有将包含有 水平的四次试验作为第一组，将其试验结果水平的四次试验作为第一组，将其试验结果相加记为相加记为先分析第一

25、列（先分析第一列（A因素）因素）1A5 .339432111 yyyyT2A将包含有将包含有 水平的四次试验作为第二组，水平的四次试验作为第二组，0 .358876521 yyyyT 6 6、对试验结果进行计算分析，得出合理的结论、对试验结果进行计算分析，得出合理的结论 一般地定义一般地定义： 为表中第为表中第 列中与水平列中与水平 对应的各次对应的各次试验结果之和。试验结果之和。ijTji这二组数值的差别说明什么问题呢？这二组数值的差别说明什么问题呢？11T1A 是第一组中是第一组中 水平在每次试验中都出现水平在每次试验中都出现，共出现四共出现四次次，而其他因素的二个水平仅各出现二次而其他因

26、素的二个水平仅各出现二次， 可将可将 视为视为是反映了是反映了 水平的四次影响水平的四次影响,而不取决而不取决 哪个水平哪个水平，这也是由正交表的均衡性决定的这也是由正交表的均衡性决定的。 11T1AFDCB、2A21T同理，同理， 大致反映了大致反映了 的影响，的影响， 与与 数据有差异，可看作是数据有差异，可看作是 二个水平有二个水平有差异。差异。21T11T21, AATTniij 1mj2 , 1 显然，显然， 注意注意：若水平重复数不同若水平重复数不同，要用要用 （每水平组（每水平组试验值均值）反映因素试验值均值）反映因素 水平情况。水平情况。ijijtrT irijTijt 若各水

27、平若各水平 相同相同，用用 ， 都可以。都可以。 各列各列极差极差 各列第各列第 列列 （或（或 ）最大值减最小）最大值减最小值值， 反映了第反映了第 因素对指标影响的大小因素对指标影响的大小， jRijTijtjjjR越大说明该因素对指标影响大越大说明该因素对指标影响大。jR1 2 3 4 5 6 7实验号实验号水平水平列号列号因子因子A B C D Fiyj2tjR18.5 12.1 2.7 3.1 0.7 5.7 0.5 j1tjT1jT2339.5 342.7 350.1 350.3 348.4 351.6 348.5358.0 354.8 347.4 347.2 349.1 345.

28、9 349.0T=697.5计算结果写入表计算结果写入表61极差分析极差分析1 1因子（素）重要性的比较因子（素）重要性的比较（1 1）由）由 大小看各列中代表因子的重要性大小看各列中代表因子的重要性jR由由 大大 小排出因子主小排出因子主 次次，jRDCFBA; 、说明说明： 未排因子的列一般应比较小未排因子的列一般应比较小，其大小反映试验的随机误差的大小其大小反映试验的随机误差的大小，如如：2.7（三列），（三列），0.5（七列）（七列）；jR 若有因素所在列若有因素所在列 比空列小比空列小，则说明该则说明该因子不重要因子不重要，可去掉如可去掉如： 列列 。D7 . 0 R（2 2）因素各

29、水平的比较）因素各水平的比较 如本例指标大者为好如本例指标大者为好，则应选取使指标大的水平则应选取使指标大的水平，ijTijtji （或（或 ）是反映）是反映 列第列第 个水平的量个水平的量，根据试验根据试验所要求的指标决定所选取的水平。所要求的指标决定所选取的水平。如例如例6.1.6.1.所选最佳工艺条件是所选最佳工艺条件是 。21122DFCBAA1A 如如 中选中选 为好。为好。 说明说明：直观地从试验结果易看出第直观地从试验结果易看出第7 7号试验结果指标值号试验结果指标值最大最大，其试验条件是其试验条件是 。称它为。称它为“看一看看一看”的好条件。的好条件。22122DFCBA 经极

30、差分析，选取的最佳工艺条件是经极差分析，选取的最佳工艺条件是 ，它它称之为称之为“算一算算一算”的好条件。二者不全相同。的好条件。二者不全相同。21122DFCBA 因为因为“看一看看一看”的好条件是从的好条件是从8 8个试验中得知的个试验中得知的，虽然虽然这八个试验是由代表性的这八个试验是由代表性的，但毕竟是全面试验个数但毕竟是全面试验个数 中的一部分中的一部分。3225 出现上面情况出现上面情况，说明我们的理论分析与实践有些差距说明我们的理论分析与实践有些差距，最终还是要接受实践的检验最终还是要接受实践的检验。 在工作中可以按上面所说的二个试验条件再做试验比较在工作中可以按上面所说的二个试

31、验条件再做试验比较哪个方案好哪个方案好，可根据实际工作要求灵活选取方案可根据实际工作要求灵活选取方案，称之为称之为“试验验证试验验证”。结论结论2.2.确定最佳工艺条件确定最佳工艺条件 21122DFCBA由试验目的确定由试验目的确定，本例大者为好本例大者为好；3.3.进一步指明试验方向进一步指明试验方向1.1.因子主次排序因子主次排序 主主DCFBA; 、小决定）小决定）jR次次（由（由大大例例6.16.1 1 1水平水平 FCBA2 2水平水平例例6.2 6.2 提高某种农药收率的试验提高某种农药收率的试验A反映温度反映温度 B反映时间反映时间( (小时小时) ) C某种原料配比某种原料配

32、比 D真空度真空度( (毫米汞柱毫米汞柱) )1 60 2.5 1.1:1 5002 80 3.5 1.2:1 600水平水平：试验指标是某种农药收率试验指标是某种农药收率试验目的是提高某种农药的收率试验目的是提高某种农药的收率根据经验根据经验，选取的因子和水平如下选取的因子和水平如下：因素因素：试验结果及计算见下表试验结果及计算见下表例例6.3 6.3 书书P.226P.226分析分析：空列的空列的 一般应小一般应小，此例此例 大大，说明说明因素还有交互作用因素还有交互作用，待考虑研究。待考虑研究。R6,2063 RR1(60) 1(2.5) 1 1(1.1：1) 1 1 1（500）1 1

33、 1 2(1.2：1) 2 2 2（600）1 2(3.5) 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12(80) 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2实验号实验号123456781 2 3 4 5 6 7水平水平A B C D 列号列号jT1jT2366 368 352 351 361 359 359358 356 372 373 363 365 365T=724iy8695919491968388jR8 12 20 22 2 6 6例例6.26.2例例6.3 人造再生木材提高抗弯强度试验。即该试验指人造再生木材提高抗弯强度试

34、验。即该试验指标是人造再生木材抗弯强度（简叙为抗弯强度）试验标是人造再生木材抗弯强度（简叙为抗弯强度）试验目的是提高抗弯强度，故最优条件是强度值大者为优。目的是提高抗弯强度，故最优条件是强度值大者为优。该试验挑选了三个因素，每个因素定三个水平。该试验挑选了三个因素，每个因素定三个水平。因素水平表因素水平表 因素因素水平水平配比配比A 加温温度加温温度B (C0) 保温时间保温时间C/min1231:1 140 302:3 155 353:8 170 40选取正交表选取正交表L9(37)，进行了表头设计，按试验方案的，进行了表头设计，按试验方案的各号试验条件进行了试验。测定结果纪录见表各号试验条

35、件进行了试验。测定结果纪录见表6.5。表表6.5 试验结果表试验结果表 因素因素试验号试验号配比配比A A1 1加温温度加温温度B B ( (C C0 0) )2 23 3保温时间保温时间C/minC/min4 4指标指标y yj j5 51 11 1（1 1：1 1）1 1（140140）1 11 1（3030）35352 21 12 2（155155）2 22 2（3535）30303 31 13 3（170170）3 33 3（4040）29294 42 2（2 2：3 3）1 12 23 326.426.45 52 22 23 31 126266 62 23 31 12 215157

36、73 3（3 3：8 8）1 13 32 220208 83 32 21 13 320209 93 33 32 21 12323试对该试验结果进行极差分析：给出因素的主次顺序，选出最试对该试验结果进行极差分析：给出因素的主次顺序，选出最优工艺条件，讨论各因素的水平变化时对指标变化的影响，并优工艺条件，讨论各因素的水平变化时对指标变化的影响，并给出今后改进方向。给出今后改进方向。 A B C 1 2 3 4 T1j T2jT2j94 81.4 70 8467.4 76 79.4 65 63 67 75 75.4T=224.4Rj 14.4 9.4 19解：按公式计算出各个解：按公式计算出各个Ti

37、j值和极差值和极差Rj。i=1,2,3,j=1,2,4值，写值，写出表出表6.6。表表6.6极差数据分析表极差数据分析表 (1) 由极差由极差Rj值的大小值的大小, 可知因素的主次排序为主可知因素的主次排序为主 A; C, B 次次, 这这是由于是由于R1最大，故最大，故A排在最先，而排在最先，而R4，R2之值排序在后，又因之值排序在后，又因为为R1与与R4，R2差大。故差大。故A与与B用分号用分号“；”区别，而区别，而R4与与R2相近，相近，B与与C就用顿号就用顿号“、”区分。区分。(2) 由于试验目的是抗弯强度大者为优，所以每个因素是选由于试验目的是抗弯强度大者为优，所以每个因素是选Tij

38、中中值大的水平值大的水平i。因素。因素A的的T11=94最大，故选一水平最大，故选一水平A1。因素。因素B的的T12=81.4最大，故选一水平最大，故选一水平B1，同理因素，同理因素C选选C1。所以最优工艺。所以最优工艺条件为条件为A1 B1 C1。(3) 画出因素画出因素 指标图（指标图（6.2）(4) 改进方向改进方向从图从图6.2可以看出可以看出, 因素配比因素配比A是从是从1:1变到变到3:8抗断强度是呈下抗断强度是呈下降趋势降趋势, 且下降幅度比较大且下降幅度比较大;加温温度加温温度B是从是从140变到变到170，抗弯强度呈下降趋势；，抗弯强度呈下降趋势；保温时间从保温时间从30变到

39、变到35，抗弯强度呈下降趋势，而从，抗弯强度呈下降趋势，而从35变到变到40时又上升。这说明保温时间定在时又上升。这说明保温时间定在30较好。较好。因此，如果还希望进一步提高抗弯强度的话，则可取因素因此，如果还希望进一步提高抗弯强度的话，则可取因素A即即配比再小于配比再小于1:1的水平，因素的水平，因素B的加温时间小于的加温时间小于140的水平，因素的水平，因素C就还是在就还是在30。再作进一步的探索性试验，看是否可能再提高。再作进一步的探索性试验，看是否可能再提高抗弯强度。这就是今后改进的方向。抗弯强度。这就是今后改进的方向。对试验结果的若干假定对试验结果的若干假定：1.假定在同一水平组合下

40、试验结果的全体构成一个总体，假定在同一水平组合下试验结果的全体构成一个总体，服从正态分布。服从正态分布。 极差分析法直观简单易行极差分析法直观简单易行，计算量小计算量小，但也有不足之处但也有不足之处判断因素的作用时缺乏一个定量的标准判断因素的作用时缺乏一个定量的标准，也不能回答哪些也不能回答哪些因子对试验指标有显著影响因子对试验指标有显著影响。为回答这一问题可以采用方为回答这一问题可以采用方差分析法。差分析法。 三、数据的方差分析法三、数据的方差分析法 为了对数据做方差分析，需要对数据作若干假定，建立为了对数据做方差分析，需要对数据作若干假定，建立统计模型。统计模型。统计模型统计模型 如如：按

41、正交表按正交表 安排试验安排试验，第第j列有列有 个总体个总体记为记为 。)2(78L2 n21,XX 2.各正态总体的方差是相同的，即假定每一总体的各正态总体的方差是相同的，即假定每一总体的方差均为方差均为 。2 3.各正态总体的均值与水平组合有关各正态总体的均值与水平组合有关 。 如如：例例6.1. 水平组合下水平组合下，试验结试验结果的均值为果的均值为 。fdkjiFDCBAijkdf 如同方差分析中所建数学模型如同方差分析中所建数学模型，我们也将我们也将 表示为表示为：ijkdf fdkjiijkdf 其中其中 是总的均值是总的均值 )(YE因子因子A 在水平在水平 的效应分别为的效应

42、分别为21,AA21, FDCB21212121,DDCCBBBB21212121, 效应表示一个因子在某种水平与总体的均值的偏差效应表示一个因子在某种水平与总体的均值的偏差，应满足应满足：0,0,0,0,02121212121 fdkjiijkdf 其中其中 是总的均值是总的均值 )(YE 4.不同水平组合下的试验是互相独立进行的不同水平组合下的试验是互相独立进行的 ， 上述假定可用一个模型表示上述假定可用一个模型表示，它包含三个部分它包含三个部分： 即试验结果即试验结果 相互独立相互独立。pyyy,21 一是数据结构式一是数据结构式， 二是关于效应的约束条件二是关于效应的约束条件， 三是关

43、于误差的假定。三是关于误差的假定。 以例以例6.1.为例写出对应的数据结构如下为例写出对应的数据结构如下：4 .831111111 rY0 .842222112 rY4 .873211213 rY4 .908112228 rY821, ), 0(2 N其中其中 是独立同分布是独立同分布数学模型数学模型： )2(78L作假设作假设： ,0:2101 H0:2102 H,0:2103 H0:2104 H0:2105 H 在上述假定下，方差分析的任务例在上述假定下，方差分析的任务例6.1.6.1.是是对如下五对假设分别作出检验对如下五对假设分别作出检验： 总平方和分解，构造检验统计量。总平方和分解，

44、构造检验统计量。用用 表示数据的总平方和表示数据的总平方和：TS考察引起考察引起 波动的原因。波动的原因。pyyy,21总变差总变差 piiTyyS12)(其中其中 是试验次数是试验次数， 是试验结果的总平均是试验结果的总平均py若记若记 则则pTy piiTy1对正交表对正交表 来讲来讲，第第 列的列动平方和为列的列动平方和为：j)(mpnL) 1 . 6()(12 niijjpTrTrS可以证明可以证明)2 . 6(1 mjjTSS其中其中 是是 列第列第 水平的均值水平的均值， 是水平是水平重复数重复数irTypTij, jr回忆单因素等重试验方差分析回忆单因素等重试验方差分析： 由上述

45、所建统计模型和假设条件可知正交试验的数由上述所建统计模型和假设条件可知正交试验的数据满足方差分析条件，可用方差分析方法讨论问题。据满足方差分析条件，可用方差分析方法讨论问题。EAnikikTSSXXS 112)( 只需将方差分析中的计算公式，按其实际含义，移只需将方差分析中的计算公式，按其实际含义，移置过来即可得到公式（置过来即可得到公式（6.16.1）。）。总变差总变差 niiAXXrS12)( niiAXXrS12)( 是数据总的平均值是数据总的平均值X 是水平是水平 试验重复试验重复次数次数riAjr 1in 1n是水平总个数是水平总个数 ， 是试验重复数是试验重复数 ， 是水平数是水平

46、数 222212kiXXXX 试验试验 2njijjjXXXX21jnrirrrXXXX21 kiXXXX 21数量指标数量指标niXXXX21112111niXXXX1重复重复r公式中公式中 是水平是水平 的样本均值的样本均值, ,它是能反映它是能反映 均值均值 的量的量, , iXiAiAi iiX 即即 niijjpTrTrS12)( 正交表正交表 试验数据有试验数据有 个结果个结果)(mpnLpyyy,21p数据的平均值数据的平均值pTypypi 11 数据之和数据之和 piiyT1rTij 是反映了第是反映了第 个因素第个因素第 个水平均值的代表量个水平均值的代表量ji), 2 ,

47、1(nirTij 其实际内含同其实际内含同 中中 AS iX 将以上各量代入相应的方差分析将以上各量代入相应的方差分析 niiAXXrS12)( 可得到第可得到第 列上的变动平方和公式（列上的变动平方和公式（6.16.1）j表中对应第表中对应第 列的水平列的水平“ ”“ ”的试验结果有的试验结果有 个。这个。这 个试验结果之和即是个试验结果之和即是 ，其平均值为其平均值为rijijTr niijijjpTpTrTrTrS122222221122pTnrpTTrTniijniij pTTrniij2121 是第是第 列上的变动平方和列上的变动平方和，反映第反映第 列上列上安排因子的安排因子的变差

48、平方和变差平方和 niijjpTrTrS12)(jj注意注意：,pnr TTniij 1即即 第第 列列 之和之和 jSjr水水平平重重复复平平（同同水水平平数数据据和和平平方方）pT数数据据个个数数）（数数据据和和2 pTtrSrTtniijjijij212 又又特别是二水平表特别是二水平表 )2(mpL,21jjjRTT ,21TTTjj rp2 2122iijjrTrTrS2212121 ijjijTTTr221121 jjjTTTr22122 jjjTTT 22121jjTTr 2212jjTT212jRr pRj2 遍历正交表中各列号遍历正交表中各列号，不论列中表头是否有因素不论列中

49、表头是否有因素，未未排因子的空列是误差平方和排因子的空列是误差平方和，可归入可归入 jES TS的自由度的自由度 ， 1 pfT的自由度的自由度 jS1 nfj由分解定理知由分解定理知 11 pfmjj mjjTSS1即总变差等于各列变动平方和之和即总变差等于各列变动平方和之和； 见书见书p.218p.218例例可以证明可以证明：EEjjjfSfSF* ),(*EjffF则构造检验统计量为则构造检验统计量为： 服从服从 分布分布。*jS其中其中 表示安排因子的列的列动平方和表示安排因子的列的列动平方和， *)1(jjTEfpfff 是有因子列的自由度且是有因子列的自由度且 （n表示第表示第j

50、列列中水平个数中水平个数）*jf1* nfj1 pfT 由上面的讨论可知由上面的讨论可知, ,对于给定的显著水平对于给定的显著水平 查查F 分布表分布表 也就是检验的拒绝域为也就是检验的拒绝域为 。 ),(:*0EjjffFFW 得得 ),(*EjffF ),(*EjjffFFP使使 比如因素比如因素A，计算计算 值值。AF 若若 ，认为在显著水平认为在显著水平 下下，因素因素 有显著影响有显著影响，),(EAAffFF A 若若 ，则认为因素则认为因素 有显著影响有显著影响，在在 上标上标*记为记为 ；),(),(05. 001. 0EAAEAffFFffF AA*A 若若 ，认为因素认为因

51、素 有高度显著影响有高度显著影响, ,记为记为 EAAffFF,01. 0 A*A 若若 ，认为因素认为因素 影响不显著影响不显著。 EAAffFF,05. 0 A 若若 ，认为在显著水平认为在显著水平 下下，因素因素 无显著影响无显著影响。 A),(EAAffFF ),(:*0EjjffFFW 讨论讨论： 相应的自由度也要合并记为相应的自由度也要合并记为 。 jjjSfS记记 在实际应用中在实际应用中, ,一般是先计算出各列的平均变差平方和一般是先计算出各列的平均变差平方和 , ,当当 比比 还要小时还要小时，这个这个 就可以就可以当作误差平方和归并到当作误差平方和归并到 中去中去，并记为新

52、的误差平方和并记为新的误差平方和为为 ，jSEEEfSS jSES eS ef 然后然后，再对其再对其他的有因子占的列的列动平方和计算他的有因子占的列的列动平方和计算 值，用值，用F 检验检验。jF 若若 时时，判断在显著水平判断在显著水平 下下该因素作用该因素作用显著显著；),(. ejeEjjjffFfSfSF 为了方便为了方便，在应用时在应用时，有的就用有的就用 作合并为作合并为 。这样做的目的都是为了提高其检验的灵敏度这样做的目的都是为了提高其检验的灵敏度。EjSS eS 若若 认为该因素作用认为该因素作用不显著不显著。),( ejjffFF 13.10)3 , 1(05. 0 F12

53、.34)3 , 1(01. 0 F举例举例例例6.4 对例对例6.1进行方差分析进行方差分析。* 显著性显著性 * * * * 比比F128.0938.823.6 12.16 eS1.003A方差来源方差来源BCES DFjS42.78118.3011.201 0.0614.0610.942jf111112jS42.78118.3011.2010.0614.06130.33411112DCFBA最佳工艺条件最佳工艺条件2改进方向同极差分析结果改进方向同极差分析结果3DCFBA;、因素主次排序因素主次排序1主主 次次 结论结论： 在方在方差分析表中将差分析表中将 归入归入 中使其增大中使其增大，

54、记记5SES,003. 15 SSSEe )(35ffE 且自由度是且自由度是 。 如果没有空列时如果没有空列时，一般不宜做方差分析一般不宜做方差分析，也可以将也可以将jf明显偏小的一列作为明显偏小的一列作为 处理处理。ES说明说明： 由于由于 比比 小小, 它表示它表示 D 因素改变对结果因素改变对结果影响小影响小，它的数据偏差主要是由于随机误差干扰引起它的数据偏差主要是由于随机误差干扰引起。为了提高检验的灵敏度为了提高检验的灵敏度，可增加估计误差的精度可增加估计误差的精度，061. 05 SEEfS第四节第四节 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计 在多因子试验中在多因子试验中

55、，有时两个因子间还存在交互作用有时两个因子间还存在交互作用。 例如例如：有有4块试验田块试验田，土质情况基本一样土质情况基本一样，种植同样的种植同样的作物作物。现将氮肥现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别施在磷肥采用不同的方式分别施在4 块地里块地里，收获后算出平均亩产量收获后算出平均亩产量。记在下表中记在下表中。 从表看出从表看出：磷肥磷肥P氮肥氮肥N)0(1kgN)3(2kgN)2()0(21kgPkgP225200280215只加只加2kg磷肥时磷肥时,平均亩产平均亩产225kg,每亩增产每亩增产25kg；只加只加3kg氮肥时氮肥时,平均亩产平均亩产215kg,每亩增产每亩增产15kg； 不

56、加化肥时不加化肥时，平均亩产只有平均亩产只有200kg；同时加同时加2kg磷肥磷肥, 3kg氮肥施氮肥施,平均每亩增产平均每亩增产280kg；每亩增产每亩增产80kg, 比前两种情况的总增产量又增加比前两种情况的总增产量又增加40kg 。以上两种情况下的总增产值合计为以上两种情况下的总增产值合计为40kg。磷肥磷肥P氮肥氮肥N)0(1kgN)3(2kgN)2()0(21kgPkgP225200280215 显然显然，后一个后一个40 kg就是就是2kg磷肥磷肥，3kg氮肥联合起来所氮肥联合起来所起的作用起的作用，叫做磷肥叫做磷肥、氮肥这氮肥这两个因素的交互作用两个因素的交互作用。 由上表的情况

57、可知由上表的情况可知，应有下面的公式应有下面的公式： 氮肥磷肥交互作用的效果氮肥磷肥交互作用的效果 同时加同时加2kg磷肥磷肥， 3kg氮肥时氮肥时，平均亩产平均亩产280kg，每亩每亩增产增产80kg，比前两种情况的总增产量又增加比前两种情况的总增产量又增加40kg 。 = 氮肥氮肥、磷肥的总效果磷肥的总效果 （只加氮肥的效果（只加氮肥的效果+只加磷只加磷肥的效果）肥的效果） 交互作用是多因子试验中经常遇到的问题交互作用是多因子试验中经常遇到的问题，是客观存在是客观存在的现象。的现象。 前面我们没有提到它是出于两方面考虑前面我们没有提到它是出于两方面考虑： 一是使问题单纯一是使问题单纯、简化

58、简化，让大家尽快掌握正交设计的最让大家尽快掌握正交设计的最基本的方法基本的方法； 二是在许多试验中二是在许多试验中，交互作用的影响有时确实很小交互作用的影响有时确实很小，可可以忽略不计以忽略不计，这样对问题的影响也不大这样对问题的影响也不大。 下面讨论多因素的交互作用下面讨论多因素的交互作用。在多因子的试验中在多因子的试验中，交互交互作用的大小主要参照实际经验作用的大小主要参照实际经验。 如果确有把握认定交互作用的影响很小如果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不就可以忽略不计计； 如果不能确认交互作用的影响很小如果不能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分就应该通过试验分析交互作用的

59、大小析交互作用的大小。CBA 表示高阶交互作用表示高阶交互作用，我们不研究我们不研究。 交互作用可以理解为一个因素对试验指标的影响效应交互作用可以理解为一个因素对试验指标的影响效应，被看作一个单独因素而安排在所谓被看作一个单独因素而安排在所谓“交互作用列交互作用列”上上。（不能理解为二个因素联合起来对试验指标的影响不能理解为二个因素联合起来对试验指标的影响。）。） 一般，设有因素一般，设有因素 等等，若若A的水平对试验结果指的水平对试验结果指标的影响同另一因素标的影响同另一因素B水平的选取有关水平的选取有关，这种联合搭配作这种联合搭配作用称为交互作用用称为交互作用，记为记为 。CBA,BA 有

60、交互作用的正交试验设计与无交互作用时的正交试验有交互作用的正交试验设计与无交互作用时的正交试验设计不同设计不同，主要差别在表头设计上。主要差别在表头设计上。列列1 2 3 4 5 6 7 1 3 2 5 4 7 6列列2 1 6 7 4 5 3 7 6 5 4 4 1 2 3 5 3 2 6 1二列间交互作用表的特点是二列间交互作用表的特点是：1.1.表上所有数字都是列号表上所有数字都是列号；2.2.查表方法查表方法。 如查第如查第1列和第列和第4列交互作用列列交互作用列，就是表中第一列中就是表中第一列中1行行横看与横看与4纵列列看交叉点的纵列列看交叉点的5即是即是。 （一）交互作用列表（一）