汽车振动测试技术第2章

1、第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 汽车振动分析与测试汽车振动分析与测试 第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2.3 2.3 单自由度系统的工程应用单自由度系统的工程应用 汽车振动分析与测试汽车振动分析与测试 第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 汽车振动分析与测试汽车振动分析与测试

2、 第2章 单自由度系统的振动2.1.1 单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 运动微分方程运动微分方程2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动0kxxcxm 其中：其中：圆频率，即固有频率圆频率，即固有频率 课本中符号为课本中符号为 p阻尼比，即相对阻尼系数阻尼比，即相对阻尼系数02200 xxx mk0022ccmkm第2章 单自由度系统的振动2.1.1 单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 运动微分方程运动微分方程2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动令：令：tex特征方程：特征方程：特征根：特征根：三种情况：三种情况：111欠阻尼欠阻尼（弱阻尼）

3、（弱阻尼）过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼20020 xxx02200212002, 1 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1.第一种情况：第一种情况：1欠阻尼欠阻尼动力学方程：动力学方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：di02, 1特征根：特征根：201d阻尼固阻尼固有频率有频率，其中，其中 012cossintddx tectct振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定02200 xxx 02200221,2001 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动设初始条件：设初始条件： 00 xx

4、00 xx 00000cossintdddxxx textt则：则： 0sintdx teAt或：或：220000dxxAx00001xxxtgd第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：201d阻尼固有频率阻尼固有频率阻尼自由振动周期：阻尼自由振动周期：ddT2T0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期可见：可见： 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 2012201T 000000cossinsinttddddxxx textteAtkmc2mk0第2章 单自由度系统的振动

5、2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动tAe0tAe0dTt)(txAA0欠阻尼欠阻尼响应图形响应图形振动解：振动解：)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddt可见：可见： 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动=0 1时间时间位置位置第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响1ii与与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为衰减振动的频率为 ，振幅衰减的快慢取决于，振幅衰减的快慢取决于 ，

6、这两个重要的特，这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 d0di02, 1减幅系数减幅系数定义为相邻两个振幅的比值：定义为相邻两个振幅的比值： )(00diiTttAeAedTe0)sin()sincos()(000000tAetxxtxetxdtdddttAe0tAe0dTt)(txAA0第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动ddiiTTttiieAeAe000 )(1减幅系数：减幅系数：含有指数项，不便于工程应用含有指数项，不便于工程应用实际中常采用实际中常采用对数衰减率对数衰减率 ：diiT01lnl

7、ntAe0tAe0dTt)(txAA0221第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第二种情况：第二种情况：1 过阻尼过阻尼动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 *02, 1 特征根：特征根：120* 为两个不等的负实根，其中为两个不等的负实根，其中 振动解：振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定*012( )()tttx tecec e第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动过阻尼过阻尼一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生一种按指

8、数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 响应图形：响应图形：)(tx0 xt0第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第三种情况：第三种情况：1 临界阻尼临界阻尼02, 1 特征根：特征根：为二重根为二重根此时振动解：此时振动解：c1、c2：初始条件决定：初始条件决定)()(210tccetxt动力学方程：动力学方程：02200 xxx 特征方程：特征方程：022002特征根：特征根：12002, 1 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动振动解：振动解：)()(210tccetxt临界阻尼临界阻尼0)0(xx0)0(

9、xx则：则：也是按指数规律衰减的也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻非周期运动，但比过阻尼衰减快些尼衰减快些 )()(00000txxxetxt kmc2临界阻尼系数临界阻尼系数crckmccr2设初始条件：设初始条件：响应图形响应图形)(tx0 xt0第2章 单自由度系统的振动2.1.1 单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动tx(t)2 . 014 . 1临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻

10、尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动小结：小结：0kxxcxm 动力学方程1欠阻尼欠阻尼1过阻尼过阻尼1临界阻尼临界阻尼201d120* 按指数规律衰减的非周期蠕动按指数规律衰减的非周期蠕动 kmccr2按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动振幅衰减振动)()(210tccetxt*012( )()tttx te

11、cec e 012cossintddx tectct第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 汽车振动分析与测试汽车振动分析与测试 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 汽车振动中一个很重要方面是分析系统对外部激汽车振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强强迫振动迫振动，这是本节要讨论的内容。，这是本节要讨论的内容。 对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于线性

12、系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 本节将主要讨论振动系统由外部持续激本节将主要讨论振动系统由外部持续激励所产生的振动，称为励所产生的振动，称为强迫振动强迫振动。 系统对外部激励的响应取决于激励的类系统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为: : 简谐激励；简谐激励； 叠加原理：叠加原理：对于线性系统，可以先分别求对

13、于线性系统，可以先分别求出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出总响应。出总响应。 非周期性激励。非周期性激励。 周期性激励；周期性激励；第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 如图如图1-1所示的二阶线性有阻尼的弹簧所示的二阶线性有阻尼的弹簧- -质量系统。质量系统。这一系统的运动微分方程为这一系统的运动微分方程为 这个单自由度强迫振动微分方程的全部解这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分。包括两部分。一是通解一是通解 x1 ，二是特解，二是特解 x2 ，即即21xxx在小阻尼情况下，通解在小阻尼情

14、况下，通解 x1为为衰减振动衰减振动，称为，称为瞬态振动瞬态振动；特解；特解 x2表表示系统在简谐激励下产生的示系统在简谐激励下产生的强迫振动强迫振动，它是一种持续等幅振动，它是一种持续等幅振动，称为称为稳态振动稳态振动。 微分方程及解的形式微分方程及解的形式tFtFkxxcxmsin)(0 (1-1)第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 微分方程的求解微分方程的求解式中式中X为强迫振动的振幅，为强迫振动的振幅，为相位差，是两个为相位差，是两个待定常数待定常数。 将式将式(1-2)代入式代入式(1-1)，得得为了便于比较，把上式右端的为了便于比较，把上

15、式右端的 F0sint 改写如下改写如下 设特解为设特解为)sin(2tXx(1-2)tFtXctXmksin)cos()sin()(02(1-3)sin(sin00tFtF)cos(sinsincos00tFtF(1-4)第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 微分方程的求解微分方程的求解将式将式(1-4)代回式代回式(1-3)，整理后得，整理后得)sin(cos)(02tFXmk0)cos()sin(0tFXccos)(02FXmksin0FXc 该方程对于任意时间该方程对于任意时间t都应恒等于零，有都应恒等于零，有由此可得由此可得2220cmkFX

16、(1-5)2tgmkc(1-6)第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 微分方程的求解微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式为了便于进一步讨论，把式(1-5)与式与式(1-6)的的分子分母同除以分子分母同除以k，得如下变化形式，得如下变化形式 222021nnkFX( 1-7)式中式中 。nccnmcccmk2,2212tgnn( 1-8)得特解为得特解为这就是在简谐激励作用下系统的这就是在简谐激励作用下系统的位移响应位移响应。 02222sin12nnF kxt ( 1-9)第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振

17、动 可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的频率与激励频率与激励频率频率相同相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。但稳态响应的相位滞后于激励相位。(2) 强迫振动的强迫振动的振幅振幅X和相位差和相位差都只决定于系统本身的物理性质都只决定于系统本身的物理性质和激励的大小与频率和激励的大小与频率，与初始条件无关。与初始条件无关。初始条件只影响系统的初始条件只影响系统的瞬态振动。瞬态振动。(3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有重要意义。如果强迫振动振幅的

18、大小在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 关于解的讨论关于解的讨论可以将式可以将式(1-7)写成无量纲的形式写成无量纲的形式2222220)2()1 (1)/(2)/(1 1nnXX(1-10)212tan(1-11)引入符号：引入符号：nkFX000XX频率比；频率比； 振动系统零频率挠度；振动系统零频率挠度；放大因子。放大因子。 第2章

19、单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 关于解的讨论关于解的讨论幅频特性曲线幅频特性曲线放大因子放大因子与频率比与频率比的关系：的关系：当频率比当频率比1时，时，趋于零，振幅趋于零，振幅可能非常小。可能非常小。当激励频率与振动系统频率很接当激励频率与振动系统频率很接近时，即近时，即1时，定义为时，定义为共振共振，强迫，强迫振动的振幅可能很大，比振动的振幅可能很大，比X0大很多倍，大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。唯一的限制因素是阻尼。图 1-2第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 关于解的讨论关于解的讨论相频频特性曲线相频

20、频特性曲线 相位差相位差与频率比与频率比的关系：的关系：在在1时，相位差时，相位差，即在高频，即在高频范围内，响应与激励接近于反相位。范围内，响应与激励接近于反相位。在在=1，即共振时，相位差，即共振时，相位差/2，这时这时与阻尼大小无关，这是共振时与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。的一个重要特征。图 1-3第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例2-2） 例例2-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图作为承受简谐激励的一个例子，考虑图1-6所示的不平所示的不平衡转子激发的振动。

21、两个偏心质量衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角速度以角速度按相反方向转动，按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消，铅垂分量则这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的偏心矩为相加起来。设转子的偏心矩为e，机器总质量为，机器总质量为M，求系统的响应。，求系统的响应。 解：解：系统的振动微分方程为系统的振动微分方程为图 3.1-6 tmekxxcxMsin2 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例2-2） 设响应为设响应为)sin

22、(tXx 根据方程根据方程（1-7）的稳态响应的的稳态响应的幅值幅值为为2222211kmeX 式中式中 ，而，而 。根据方程。根据方程（1-8）的稳态的稳态响应的响应的相位角相位角nMkn22112tg 同样响应的幅值也可以变换为同样响应的幅值也可以变换为22222222)2()1 ()2()1 (1MmeMmeXn第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例2-2） 因而，在这种情况下，无量纲比为因而，在这种情况下，无量纲比为22222222)2()1 ()2()1 (1nmeMX 用幅

23、频响应曲线表示如图用幅频响应曲线表示如图1-7所示所示 图 3.1-7 在低频在低频1时，则时，则MX/me趋 近 于趋 近 于 1 ， 即， 即Xme/M，而不趋向，而不趋向于零。于零。 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例2-3） 解：解：取铅垂坐标轴取铅垂坐标轴x与与y，分别以物体，分别以物体与支承静止时的平衡位置为原点，向与支承静止时的平衡位置为原点，向上为正。其运动微分方程为上为正。其运动微分方程为0)()(yxkyxcxm 或者改写成为或者改写成为例例2-3 作为承受简谐激励

24、的另一个例子，是当支承产生作为承受简谐激励的另一个例子，是当支承产生简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动是简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动是由于支承的运动。如图由于支承的运动。如图1-8所示的系统，假定物体所示的系统，假定物体m只能只能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为，沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为， 求系统的响应。求系统的响应。tYysinyyxxxnnnn2222 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例2-3） 设支承的位移设支承的位移y与

25、振动系统中的质量与振动系统中的质量m的强迫振动响应的强迫振动响应x表示为表示为 tYysintYycostXxsintXxcostXxsin2 把上面的式子代入振动微分方程得把上面的式子代入振动微分方程得tYtYtXtXtYtYtXtXnnnsincos2cos2sin1sincos2cos2sin122为了便于比较，把上式右端项改写为为了便于比较，把上式右端项改写为)cos(sinsincos)sin(sinsin)sin(2coscos2)cos(2cos2tYtYtYtYtYtYtYtY第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：支承激励引起的强

26、迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例2-3） 代回整理得代回整理得)cos(cos2sin)sin(sin2coscos2sin12tYtYtXtX这个方程对于任意时间这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以都应恒等于零，所以sin（t-）和和cos（t-）前面括号内的量都必须分别等于零，有前面括号内的量都必须分别等于零，有YXYXcos2sin2sin2cos122232222)2()1 (2tg)2()1 ()2(1YX因此因此第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例2-3） 图

27、3.1-9 以以为横坐标，为横坐标，X/Y为纵坐标，可以作出不同阻尼系数为纵坐标，可以作出不同阻尼系数情情况下的幅频响应曲线，如图况下的幅频响应曲线，如图1-9所示。它与简谐激振力所示。它与简谐激振力F0sint作用下的响应曲线基本相同。作用下的响应曲线基本相同。只是在频率比只是在频率比= 处，处，不论相对阻尼系数不论相对阻尼系数等等于多少，振幅于多少，振幅X都等于都等于支承运动振幅支承运动振幅Y。而当。而当 时，振幅时，振幅X就小于就小于支承运动振幅支承运动振幅Y，而且，而且阻尼大的系统比阻尼阻尼大的系统比阻尼小的振幅反而要稍大小的振幅反而要稍大些。些。22第2章 单自由度系统的振动2.2

28、单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 任意激励任意激励列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力；列车在起动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反座力；火炮在发射时作用于支承结构的反座力；地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用；地震波或爆炸形成的冲击波等对建筑物的作用； 在许多实际问题中，在许多实际问题中，激励并非是周期性函数，而是任意的时激励并非是周期性函数，而是任意的时间函数，间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。或者是在极短时间间隔内的冲击作用。精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。精密仪表在运输过程中包装箱速度的突变。 系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作

29、用停止后的自系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为由振动，称为任意激励的响应任意激励的响应。 简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任意激励的一种简谐激励是周期激励的一种特例；周期激励是任意激励的一种特例。特例。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 求解系统任意激励响应的方法求解系统任意激励响应的方法 把任意激励分解为把任意激励分解为一系列微冲量一系列微冲量的连续作用，分别求系统对的连续作用，分别求系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统叠加原理进行叠加求和，每个微冲量的响应，然后根据线性系统叠加原理进行叠加求和，即得系统

30、任意激励下的响应。并且得到的响应除代表强迫振动外，即得系统任意激励下的响应。并且得到的响应除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。还包括伴随发生的自由振动。傅里叶积分法傅里叶积分法卷积积分法卷积积分法拉斯变换法拉斯变换法第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的脉冲响应脉冲响应。 宽度宽度T0，高度，高度1/T0的矩形脉冲，如图的矩形脉冲，如图3-1(a)所示。这个矩形脉所示。这个矩形脉冲的面积为冲的面积为1。

31、为了得到单位脉冲，使脉冲宽度为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为接近于零，而保持面积为1。图 3-1第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲在极限情况下，单位脉冲的数学定义为在极限情况下，单位脉冲的数学定义为 这个脉冲发生在这个脉冲发生在t=0处，如图处，如图3-1(b)所示。所示。如果单位脉冲发生在如果单位脉冲发生在t=a处，则它可由下式处，则它可由下式定义定义 1d)()00)(tttt（(3-1) 1d)()0)(tatatat（(3-2)注意，注意，(t-a)是一个沿着时间轴的正向移动了是一个

32、沿着时间轴的正向移动了a时间的单位脉冲。时间的单位脉冲。 图 3-1第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 数学上，单位脉冲必须数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现。 在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期周期(T=1/f )相比时非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。相比时非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。 函数

33、的单位为函数的单位为s-1，在其它方面的情况，在其它方面的情况，函数将有不同的量函数将有不同的量纲。纲。 具有上述特性的任何函数具有上述特性的任何函数( (并不一定是矩形脉冲并不一定是矩形脉冲) )，都可用来，都可用来作为一个脉冲，而且称为作为一个脉冲，而且称为函数。函数。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 如果在如果在t=0与与t=a处分别作用有瞬时冲量处分别作用有瞬时冲量 ，则对应，则对应的的脉冲力脉冲力可方便地写成可方便地写成F式中式中 的单位为的单位为Ns。F 单自由度阻尼系统对脉冲力单自由度阻尼系统对脉

34、冲力 的响应，的响应，系统振动微分方程为系统振动微分方程为 )()(tFtF假定系统在作用脉冲力假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即之前处于静止，即 )() 0()(atatFttFtF(3-3)(tFkxxcxm (3-4)0)0()0(xx(3-5)由于由于F(t)作用在作用在t=0处，对于处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。用，但其影响依然存在。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应考虑到考虑到x(0-)=0，则有，则有也就是说，在脉冲力也就是说，在脉冲力 作用

35、的极短时间内，质量作用的极短时间内，质量m还还来不及发生位移来不及发生位移。)(tFx(0+)= 0 对方程对方程(3-4)在区间在区间0-t 0+上积分，有上积分，有ttFtkxxxcxxmd)(d)0()0()0()0(0000_(3-6)得得mFx)0(3-7)若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，可以认为在变化，可以认为在 t=0 时作用的脉冲力等效于时作用的脉冲力等效于初始速度初始速度 mFv0第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 方程方程(

36、3-4)等价于初始速度引起的自由振动，即等价于初始速度引起的自由振动，即mFxxkxxcxm)0(, 0)0(0 (3-8)其解为其解为)0( 0)0( 1 , sine)(2tttmFtxnddtdn令令 ，则系统受单位脉冲力，则系统受单位脉冲力 F(t)=(t) 的的作用，其作用，其响应称为响应称为脉冲响应脉冲响应。1F第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应为脉冲响应为)0( 0)0(sin1)(tttemthdtdn(3-9)第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动

37、 2 卷积积分卷积积分 利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数F(t)的响的响应，把应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励似地代替激励F(t )。 如图如图3-2所示，在任意时刻所示，在任意时刻t= 处，时间增量为处，时间增量为，对应的，对应的脉冲为脉冲为F()，相应的力可以用，相应的力可以用数学表示为（数学表示为（任意脉冲任意脉冲） tF因为在因为在 t= 处对脉冲响应为处对脉冲响应为h(t-)，所以此脉冲的响应为所以此脉冲的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积

38、，即 thF图 3-2第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2 卷积积分卷积积分)()()(thFtx(3-10) 通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为为令令0，并取极限，上式表示为积分形式，并取极限，上式表示为积分形式tthFtx 0 d)()()(3-11)上式称为上式称为卷积积分卷积积分，又称为，又称为杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分，它，它将响应表示成脉冲响应的叠加。将响应表示成脉冲响应的叠加。 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽然虽

39、然Duhamel积分积分不便于笔算，但是用电子计算机就可容易地进行计不便于笔算，但是用电子计算机就可容易地进行计算。算。 第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 汽车振动分析与测试汽车振动分析与测试 第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 一隔振原理一隔振原理 隔振分为隔振分为主动隔振主动隔振（积极隔振）和（积极隔振）和被动隔振被动隔振（消极隔振）。（消极隔振）。 主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。如下图主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。如下图a.a. 被动隔振是将需要防振的物体与振

40、源隔开。如在精密仪器被动隔振是将需要防振的物体与振源隔开。如在精密仪器的底下垫上橡皮垫或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量仪的底下垫上橡皮垫或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量仪器用橡皮绳吊起来等。被动隔振的力学模型如下图器用橡皮绳吊起来等。被动隔振的力学模型如下图b bba第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 主动隔振的振源是机械设备本身的源振力主动隔振的振源是机械设备本身的源振力 ，设未，设未隔振时（即与基础刚性联接，隔振时（即与基础刚性联接，k趋于无穷）传给基础的动趋于无穷）传给基础的动载荷为载荷为F。当有弹性元件的隔振时，传给基础的动载荷为。当有弹性元件的隔振时，传给基

41、础的动载荷为Ft，则，则Ft与与F。的比值。的比值a表示隔振效果，称为力传递率（表示隔振效果，称为力传递率（隔隔振系数振系数 ）。有时也用）。有时也用隔振效率隔振效率表示。表示。sinjFt22220ta)2()1 ()2(1FFa%100 )1 (a第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 2022-4-2550被动隔振被动隔振 对于消极隔振的振源是基础的振动。隔振效果用设备隔振对于消极隔振的振源是基础的振动。隔振效果用设备隔振后的振幅（或振动速度、加速度）与振源的振幅（或振动后的振幅（或振动速度、加速度）与振源的振幅（或振动速度、加速度）的比值速度、加速度）的比值 表示

42、，也称隔振系数。若振源为表示，也称隔振系数。若振源为基础的垂直简谐振动基础的垂直简谐振动 ，则消极隔振系统的，则消极隔振系统的隔振系数隔振系数 的计算与积极隔振的计算相同。的计算与积极隔振的计算相同。sinjjxatp2222p)2()1 ()2(1Xa第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 2222)2()1 ()2(1jnnkm2ncm 由上式计算可得隔振系数的关系曲线。由图可知由上式计算可得隔振系数的关系曲线。由图可知 主要与主要与设备激振频率设备激振频率 ，隔振系统固有频率，隔振系统固有频率 及系统的阻尼有及系统的阻尼有关关jn隔振系数变化曲线第2章 单自由度系统

43、的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 无论阻尼大小，只有当频率比无论阻尼大小，只有当频率比 时，时， 1，才有，才有隔振效率，而且随着隔振效率，而且随着 的增加，意味着的增加，意味着 （ ）减小。）减小。可采取加大设备质量可采取加大设备质量m或减小隔振器刚度或减小隔振器刚度k来达到。若来达到。若刚度太小隔振系统稳定性差，实际中取刚度太小隔振系统稳定性差，实际中取 2.55已足已足够。够。2nfn隔振系数变化曲线第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 增大阻尼可减小在起动和停车过程中经过共振区间的最增大阻尼可减小在起动和停车过程中经过共振区间的最大振幅，但在大振幅，但在

44、 时，时， 却增大，隔振效果变差。故却增大，隔振效果变差。故阻尼选取应考虑这两方面的要求。阻尼选取应考虑这两方面的要求。2隔振系数变化曲线第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 由于一般隔振材料的阻尼系数不大，钢弹簧为由于一般隔振材料的阻尼系数不大，钢弹簧为0.01-0.050.01-0.05；空气弹簧为空气弹簧为0.1-0.40.1-0.4。橡胶为。橡胶为0.15-0.30.15-0.3。故在。故在 2.5-52.5-5的的范围内计算隔振系数时，工程设计中常不考虑阻尼的影响。范围内计算隔振系数时，工程设计中常不考虑阻尼的影响。即令即令 0 0，有，有2211Tjn222

45、2)2()1 ()2(1jnnkm22ncm第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 2211Tjn 由上式可一目了然，在忽略阻尼时，当由上式可一目了然，在忽略阻尼时，当 时，时，产生共振；当产生共振；当 时，时， 1 1，此两种情况时，此两种情况时，隔振器均无作用；当隔振器均无作用；当 时，时， 1 1，隔振器产，隔振器产生作用，即固体声传播减小。生作用，即固体声传播减小。隔振系数隔振系数 与固体声衰减量与固体声衰减量 的关系为的关系为jnjn2jn2L120lgTL由上式可知，采取隔振措施后，当设备振动减小到原来的由上式可知，采取隔振措施后，当设备振动减小到原来的1/2

46、1/2时时( =0.5 )( =0.5 )，设备振动能量的传播降低多少，设备振动能量的传播降低多少? ? 6dB第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 二、二、 隔振设计与隔振器隔振设计与隔振器 在隔振设计中，通常把在隔振设计中，通常把 100Hz 100Hz 以上的干扰振动称作高以上的干扰振动称作高频振动，频振动， 6-100Hz 6-100Hz 的振动定义为中频振动，的振动定义为中频振动， 6Hz 6Hz 以下的以下的振动为低频振动。振动为低频振动。 常用的绝大多数工业机械设备所产生的基频振动都属常用的绝大多数工业机械设备所产生的基频振动都属于中频振动，部分工业机械设

47、备所产生的基频振动的谐频于中频振动，部分工业机械设备所产生的基频振动的谐频和个别的机械设备（如高速转动设备）产生的振动属于高和个别的机械设备（如高速转动设备）产生的振动属于高频振动，而地壳的振动和地震等产生的振动都属于低频振频振动，而地壳的振动和地震等产生的振动都属于低频振动。动。 第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 （一）隔振设计步骤（一）隔振设计步骤 1 1 测试分析，确定被隔振设备的原始数据，包括设备测试分析，确定被隔振设备的原始数据，包括设备及安装台座的尺寸、质量、重心和中心主惯性轴的位置，及安装台座的尺寸、质量、重心和中心主惯性轴的位置，机器质量和转动惯量，以及激励振动源的大小、方向、频机器质量和转动惯量，以及激励振动源的大小、方向、频率、位置等。率、位置等。 2 2 由以上数据，按频率比由以上数据，按频率比 的要求计算隔振系统的要求计算隔振系统的固有频率的固有频率 ，也可以根据隔振设计的具体要求，例，也可以根据隔振设计的具体要求，例如设备所允许的振幅，来计算隔振系统的固有频率。如设备所允许的振幅，来计算隔振系统的固有频率。 jnn第2章 单自由度系统的振动 2.3 2.3 振动隔离振动隔离 3 3根据隔