离散模型-差分方程模型(12.7)

1、一一 差分方程简介差分方程简介二二 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型三三 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型四四 微分方程的数值解微分方程的数值解差分方程模型差分方程模型以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。表示第二周期初等。 记记yt 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则时的取值，则称称 为为yt 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。类似地，可以定义。类似地，可以定义yt的的n阶差分。阶差分。由由t、yt及及yt的差分给出的方程称的差分给出的方程称 为为yt

2、差分方程，其中含的最差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的高阶差分的阶数称为该差分方程的阶阶。差分方程也可以写成。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成也可改写成 tttyyy 1tttttttyyyyyyy 12122)(02 tttyyy012 tttyyy一一 差分方程简介差分方程简介满足一差分方程的序满足一差分方程的序 列列yt称为此差分方程的解。类似于微分称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的任意常数的个数等于差分方程的阶方程情况，若解中含有的任意常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方

3、程数时，称此解为该差分方程 的的通解通解。若解中不含任意常数，。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的则称此解为满足某些初值条件的 特解特解，例如，考察两阶差，例如，考察两阶差分方程分方程 02 ttyy易见易见2sintyt 与与2costyt 均是它的特解，而均是它的特解，而 tctcyt2sin2sin21 则为它的通解，其则为它的通解，其 中中c1，c2为两个任为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程意常数。类似于微分方程，称差分方程 )()()()(110tbytaytaytatnntnt 为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程， 当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差

4、阶非齐次线性差分方程，而分方程，而 )(tb0)()()(110 tnntntytaytayta则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成)(110tbyayayatntntn （1.1） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0110 tntntnyayaya（1.2） )2(2)1(1tttycycy )1(ty)2(ty容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方

5、程（1.2）的解，则）的解，则也是方程（也是方程（1.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。 此规律对于（此规律对于（1.1）也成立。）也成立。 方程（方程（1.1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 1010nnnaaa （1.3） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(1.2)的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（1.3）有）有n个互不相

6、同的实根个互不相同的实根1 , n ，则齐次方程（，则齐次方程（1.2）的通解为）的通解为tnntCC 11 (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（1.3）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为tkktCC )(11 为任意常数，为任意常数，i=1,k。ty .若若yt为方程为方程(1.2)的的通解通解,则非齐次方程则非齐次方程 (1.1)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (1.1)的一个特解的一个特解ttyy 二二 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振

7、荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量 价格上涨价格上涨 供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡数量与价格在振荡蛛蛛 网网 模模 型型 gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函减函 数数增函数增函数 供应函数供应函数 需求函数需求函数f与与g的交点的

8、交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg( )kkyf x，)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用

9、直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增加供应的增加考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小

10、小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前

11、一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定

12、，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk三三 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳

13、定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性

14、方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不稳定不

15、稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 23)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/ 1/ 11*bx*xxk（振荡地）y0 xxy )(xfy 0 x1x2x*x2/114/b*xxk（不）)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性)1 (1kkkxbxx初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果bx11*b 3, xb=3.3, x两个两个极限点极限点b=3.45, x4个个极限点极限点b=3.55, x8个个极限点极限点0.41181000.4118990.4118980.4118970.41

16、18960.4118950.4118940.4118930.4118920.4118910.379630.336620.272010.20000b=1.7k0.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.61540.60490.63170.41600.2000b=2.60.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.82360.47940.48200.82240.52800.2000b=3.30.84690.43270.85300.44740.84690.43270.85300.

17、44740.84690.43270.43220.85320.55200.2000b=3.450.81270.35480.88740.50600.82780.37030.88170.54050.81270.35480.39870.87110.56800.2000b=3.55 四四 微分方程的数值解微分方程的数值解在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程可以求出其解析解在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解1638年莱布尼茨向全世界提出如下的求解问题. 该问题1886年才被数学家刘维尔证明没有解析解。只能借助于数值解法。22dyxydx。

18、的相应近似值求出准确值，值处，即对的若干离散的开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy,y )(,),(),y(x x )y(xy)f(x,y 2121210000 数值解法是一种重要的近似解法，它给出方程在数值解法是一种重要的近似解法，它给出方程在一些离散点上的近似解一些离散点上的近似解n建立数值解法的一些途径建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数、用差商代替导数 若h较小，则有hxyhxyxy)()()( 等距剖分：等距剖分：0121nnaxxxxxb 步长：步长：1()/, 0,1,2,1kkkhxxbann 1()()kkky xy xdydxhx 1

19、()()()kkky xy xh yx 得迭代格式：得迭代格式：0011() (,) kkkkkkyy xyyh f xyxxh k = 0, 1, 2, ., n-1yk 是是 y (xk) 的近似的近似x0 x1欧拉折线法欧拉折线法显式欧拉法显式欧拉法:向前差商近似导数向前差商近似导数欧拉公式的改进：欧拉公式的改进：隐式欧拉法隐式欧拉法；向后差商近似导数向后差商近似导数x0 x1一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。11()()kkky xy xdydxhx 11 ()()()kkky xy xh yx 001111() (,) kkkkkkyy xy

20、yh fxyxxh 2、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：111112()()( , ( ) (, ()(, ()kkxkkxkkkkkky xy xf x y x dxxxf xy xf xy x 显、隐式两种算法的平均显、隐式两种算法的平均001111()(,)(,) 2kkkkkkkkyy xhyyfxyfxyxxh 梯形格式：梯形格式：梯形格式梯形格式：改进欧拉法改进欧拉法Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出先用显式欧拉公式作预测，算出Step 2: 再将再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到代入隐式梯形公式的右

21、边作校正，得到 11012( ,),( ,)(,.,)kkkkkkkkhyyf x yf xyhf x ykn 1 (,)kkkkyyh f xy 1ky 111 (,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy 11()( )( , ( )( )( , ( )( )iixiixiiy xy xf x y x dxy xhfyy xhK( , ( )KfyRungeKutta方法基本思想基本思想其中其中 称为称为y(x)在在 上的平均斜上的平均斜率率1 ,iix x121()2KKK11(, ()kkKf xy x猜想：若能多预测几个点的斜率，再取其加权平均作为K，可望得到较高精度的数值解，从

22、而避免求f 的高阶导数。若取(, ()kkKf xy x显式Euler公式若取隐式Euler公式若取梯形公式考察改进的欧拉法考察改进的欧拉法1121211122(,)(,)kkkkkkyyhKKKf xyKf xh yhK可以将其改写为可以将其改写为：斜率斜率一定取一定取K1 K2 的平均值吗？的平均值吗？步长一定是一个步长一定是一个h 吗？吗？11(,),(,)2kkkkkkkkhyyf xyf xyh f xy其中其中 i ( i = 1, , m )， i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i 1 ) 均为待定系数均为待定系数).,(

23、.),(),(),(.1122112321313312122122111 mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy 推广得推广得R-K公式公式),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hKyhxfKKhyhxfKKhyhxfKyxfKKKKKhyyiiiiiiiiii最常用的最常用的R-K公式公式 标准标准4阶阶R-K公式公式例例 分别用欧拉法、改进的欧拉法和标准龙格分别用欧拉法、改进的欧拉法和标准龙格- -库塔方法求解库塔方法求解如下初值问题：如下初值问题：以比较三种方法的计算精度。以比较三种方法的计算精度。 解