概率论与数理统计第3章ppt课件

1、随机变量按取值的不同可分为随机变量按取值的不同可分为离散型随机变量离散型随机变量取值割裂的；取值割裂的；连续型随机变量连续型随机变量取值连续变化的。取值连续变化的。3.1 3.1 一维连续型随机变量及其概率分布一维连续型随机变量及其概率分布一、分布函数概念一、分布函数概念 xPxFxF 简简记记 称称F(x)为为r.v. 的分布函数。的分布函数。 非降性：对非降性：对aba 0 f(x) 0； 。 1d xxf以标准正态分布为例，以标准正态分布为例， 称为高斯积分。称为高斯积分。 xxde22 yxtyxtdedede2222222 20022deddde222rryxryx 极极坐坐标标2e

2、2022 r2de22 xx 1de21d22 xxxx 密度函数密度函数f(x)f(x)的图像：的图像：-3-2-1012300.10.20.30.40.50.60.70.8xy 1 , 0N 4 , 0N 41, 0N图图1-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4xy图图2图图1中，中， 不变，随着不变，随着 变大，曲线波峰下降。变大，曲线波峰下降。图图2中，中， 不变，曲线随着不变，曲线随着 的变化沿的变化沿x轴平移，轴平移，曲线形状不变。曲线形状不变。 正态分布函数：正态分布函数： xtxtttfxFde21d)(222 此积分因被积函数不是初等函

3、数而无法积分。此积分因被积函数不是初等函数而无法积分。标准正态分布函数：标准正态分布函数： xttxPxde21)(22 书后附有标准正态分布表书后附有标准正态分布表(p.328)，通过查表，通过查表，可由可由 计算计算 的概率。的概率。 x 正态分布函数：正态分布函数： xtxtttfxFde21d)(222 此积分因被积函数不是初等函数而无法积分。此积分因被积函数不是初等函数而无法积分。标准正态分布函数：标准正态分布函数： xttxPxde21)(22 书后附有标准正态分布表书后附有标准正态分布表(p.328)，通过查表，通过查表，可由可由 计算计算 的概率。的概率。 x xy x x x

4、 ox 阴影部分为概率面积；阴影部分为概率面积； 由对称性，由对称性， 。 xx 1,210)1 , 0( N )35. 2( P)35. 2( P)35. 2( P)35. 2( P 假设假设 ，令，令 ，那么，那么 。 2, N 1 , 0 N 即即式中的式中的F(x)F(x)式中的式中的 ，因而，因而，先将正态分布的随机变量先将正态分布的随机变量 转化成标准正态分转化成标准正态分布的随机变量布的随机变量 ，再利用，再利用 计算概率。计算概率。 x )4 , 3 . 3( N )8( P)35( P 正态分布的应用十分广泛，在日常生活正态分布的应用十分广泛，在日常生活中，人的身高、体重、智

5、商；学习成绩以及中，人的身高、体重、智商；学习成绩以及产品质量等均服从正态分布。产品质量等均服从正态分布。 300 35 x x 3.2 3.2 二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布一、联合分布函数和边缘分布函数一、联合分布函数和边缘分布函数1、定义：设、定义：设 是二维是二维r.v.，x,y是任意实数，是任意实数，令令 yxPyxF ,则称则称F(x,y)是二维是二维r.v. 的联合分布函数，的联合分布函数，简称分布函数。简称分布函数。 , ,于是有于是有 111221222121,yxFyxFyxFyxFyyxxP xyox1x2y1y22、性质：、性质： F(x,

6、y) F(x,y)对对x x和和y y分别是单调非降的；分别是单调非降的；xx，y1y2y1y2，F(x,y1)F(x,y2)F(x,y1)F(x,y2)yy，x1x2x1x2，F(x1,y)F(x2,y)F(x1,y)F(x2,y) 0F(x,y)1 0F(x,y)1； 1, F 0, F F(x,y) F(x,y)对对x x和和y y分别右连续；分别右连续；x,yx,y，F(x+0,y)=F(x,y)F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)F(x,y+0)=F(x,y)4 0,11122122 yxFyxFyxFyxF3、定义：设二维、定义：设二维r.v. 的两个分量

7、的两个分量 与与 各各自的分布函数为自的分布函数为 与与 ，称为，称为 的边的边缘分布函数。缘分布函数。 , , xF yF yFyFxFxF, 可由联合分布求得边缘分布；可由联合分布求得边缘分布； 反之则不一定。反之则不一定。1212,xxyy有二、联合密度函数和边缘密度函数二、联合密度函数和边缘密度函数1、定义：设、定义：设F(x,y)为为 的联合分布函数，且的联合分布函数，且存在非负函数存在非负函数f(x,y)，使得对于，使得对于x,yR，有，有 , vuvufyxFxydd, 称称f(x,y)为二维为二维r.v. 的联合密度函数，简的联合密度函数，简称密度函数，称密度函数， 称为二维连

8、续型随机变量。称为二维连续型随机变量。 , ,2、性质：、性质： f(x,y)0 f(x,y)0； ； 1dd, yxyxf 若若G G为为XOYXOY平面内的一区域，则二维平面内的一区域，则二维r.v.r.v. 落入落入G G的概率的概率 yxyxfGPGdd, , 在在f(x,y)f(x,y)的连续点的连续点(x,y)(x,y)处有处有 yxfyxyxF,2 3、定义：设二维、定义：设二维r.v. 的两个分量的两个分量 与与 各各自的密度函数为自的密度函数为 与与 ，称为，称为 的的边缘密度函数。边缘密度函数。 , , xf yf xyyxfxFxFxdd, yxyxfyFyFydd, 于

9、是有于是有 xyxfyfyyxfxfd,d, 3、定义：设二维、定义：设二维r.v. 的两个分量的两个分量 与与 各各自的密度函数为自的密度函数为 与与 ，称为，称为 的的边缘密度函数。边缘密度函数。 , , xf yf xxfxyyxfxFxFxxddd, yyfyxyxfyFyFyyddd, 于是有于是有 xyxfyfyyxfxfd,d, 求求X和和Y的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)。 其其他他, 010, 10,4,yxxyyxf求求 A； 的分布函数；的分布函数； ； 。 , 其其它它，, 02121,),(32yxyxAyxf ,)1( P)(),(yfxf 3.2 3.2

10、二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布( (续续) )三、两个重要的二维连续型分布三、两个重要的二维连续型分布1 1、二维均匀分布、二维均匀分布 设设G G为为XOYXOY平面上的有界区域，面积为平面上的有界区域，面积为A A，假设假设 的密度函数为的密度函数为 GyxGyxAyxf, 0,1, ,称称 服从服从G上的均匀分布。上的均匀分布。 , 若若D D为为G G的子区域，那的子区域，那么么 AAyxADPDD dd1, p.106 p.106第第4 4题即是均匀分布，其概率只与题即是均匀分布，其概率只与D D的面积有关，而与的面积有关，而与D D的形状、位置无关。的

11、形状、位置无关。 , ,2 2、二维正态分布、二维正态分布 称具有联合密度函数称具有联合密度函数 yxyyxxyxf,2121exp121,22222112112221 (其中其中 为常数，且有为常数，且有 )的随机变量的随机变量 服从二维正态分布，记为服从二维正态分布，记为 。 ,21211, 0, 021 , ,222121N 二维正态分布的图形：二维正态分布的图形： 二维正态分布的两个边缘分布是一维正态二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。分布。 2222221121,e21,e2122222121 NyfNxfyx 由于由于 均不含均不含 ，故当，故当 相相同而同而 不同时，不同时

12、， 仍相同，因此不能仍相同，因此不能从边缘分布推得联合分布。从边缘分布推得联合分布。 yfxf , 2121, yfxf ,设参数设参数 ，写出它的联合密度函数和边缘密度函数。写出它的联合密度函数和边缘密度函数。53, 9,5, 1, 12222121 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为 , 0, 00,e1,2221xyxyyxfyx当当当当求证：求证： 和和 的边缘分布分别为的边缘分布分别为N(0,1)。 四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性1、定义：设、定义：设r.v. 的联合密度函数为的联合密度函数为f(x,y)， 和和 的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为 ，假如

13、，假如对任意实数对任意实数x和和y，有，有 yfxf , , yfxfyxf ,则称则称r.v. 和和 相互独立，反之称相互独立，反之称 和和 不独立。不独立。 2、当两个、当两个r.v. 和和 相互独立时，亦成立相互独立时，亦成立 yFxFyxF , 求求 联合概率分布和边缘分布；联合概率分布和边缘分布； 与与 是否独立？是否独立？ 第第一一次次摸摸出出黑黑球球第第一一次次摸摸出出白白球球01 第第二二次次摸摸出出黑黑球球第第二二次次摸摸出出白白球球01 , 求求 系数系数c； 与与 是否独立？是否独立？ 落在以落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形的为顶点的正方

14、形的概率。概率。 , 2211),(yxcyxf 3、定理：设、定理：设 ，那，那么么 ,222121N 与与 相互独立相互独立0 证明：必要性：证明：必要性： 与与 相互独立，那么相互独立，那么 222221121122212121exp121 yyxx 22222212112exp212exp21 yx令令 ，那么，那么21, yx2122121121 112 0 充分性：充分性： ，那么，那么 的密度函数的密度函数0 , 2222112121exp21, yxyxf 22222212112exp212exp21 yx yfxf yfxfyxf ,故故 与与 相互独立相互独立 3.3 3.

15、3 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数一、一维随机变量函数的密度函数一、一维随机变量函数的密度函数设设 为连续型为连续型r.v.，若有，若有y =g(x)，那么，那么 也也是连续型是连续型r.v.。现可利用。现可利用 的密度函数的密度函数 来求来求 的密度函数的密度函数 。 g yf xf 1 1、y =g(x)y =g(x)是严格单调且可导的函数是严格单调且可导的函数定理：设定理：设 的密度函数为的密度函数为 ，y =g(x)严格单严格单调且有一阶导数存在，设调且有一阶导数存在，设x=h(y)为为y =g(x)的的反反函数，那么函数，那么 的密度函数为的密度函数为 xf

16、 g gbgabyayhyhfyfmax,min, 0, 其中其中其它其它证明：证明： y =g(x)严格单调，那么严格单调，那么 x=h(y)也严格单也严格单调。调。 设设y =g(x)y =g(x)，那么，那么 的分布函的分布函数数 ygPyPyF yhxxfyhPd byayhyhfyFyf 当当 yxy=g(x)x=h(y)yh(y)o 设设y =g(x)y =g(x)，那么，那么 的分布函的分布函数数 ygPyPyF y=g(x)x=h(y)yoxh(y)y yhxxfyhPd byayhyhfyFyf 当当 由由、， byayhyhfyf )( E3 ),(2 N21kk )1 ,

17、 0( U ln2 2 2、y =g(x)y =g(x)是分段单调且可导的函数是分段单调且可导的函数定理：设随机变量定理：设随机变量 的密度函数为的密度函数为 ，函数，函数y=g(x)在不相重叠的区间在不相重叠的区间I1,I2,Ik上分段严格上分段严格单调且可导，它们的反函数分别为单调且可导，它们的反函数分别为h1(y),h2(y), ,hk(y)，那么，那么 的密度函的密度函数数 xf g 其它其它, 0,1byayhyhfyfkiii ), 0(2 N2 其他其他, 00,2)(2xxxf 求求 的密度函数的密度函数 。 yf yf sin二、多维随机变量函数的密度函数二、多维随机变量函数

18、的密度函数 已知随机变量已知随机变量 或随机向量或随机向量 的密度函数，若随机变量的密度函数，若随机变量 或或 ，与一维情，与一维情形相类似，我们形相类似，我们同样可以利用原来随机变量的密度函数求得同样可以利用原来随机变量的密度函数求得 的的密度函数。密度函数。 , n ,21 ,g ng ,21 常见的多维随机变量的函数有：常见的多维随机变量的函数有： 在求解过程中，多数是先求分布函数，再在求解过程中，多数是先求分布函数，再利用导数求得密度函数。利用导数求得密度函数。 22 22 n ,min211 nn ,max21 虽然虽然 ，此时，此时 为一维的为一维的随机变量。随机变量。 ,g 求求 的密度函数的密度函数 的通常步骤：的通常步骤： 求出求出 的概率密度函数：的概率密度函数： zf zgPzPzF , 求出求出 的取值范围；的取值范围； 求出求出 的分布函数：的分布函数： zDzyxyxfDyxPdd,其中其中 ； zyxgyxDz ,)(dd)(zFzzf 1 1、和的