第2章-菲涅耳圆孔衍射2N

1、1 （一）菲涅耳圆孔衍射 直接用菲涅耳衍射积分公式计算 E 的积分相当复杂，菲涅耳提出的一种简便的分析方法 半波带法。它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象又清晰。2 SRr0 PB0 B1 B3 B2 r1=r0+/2r2=r1+/2r3=r2+/2一、菲涅耳半波带以点光源为例将波面 S 分成许多以 B0 为圆心的环形波带，并使：00rPBPBPB01PBPB12PBPB23 21PBPBKK 这样分成的环形波带称为菲涅耳半波带，任何相邻两波带以相反的相位(相位相差)同时到达P 点(光程差/2 ）。3 二、合振幅的计算用 a1、a2、an分别表示各波带在 P 点的振幅，由于相邻波带相

2、位相差，有： 112345( 1)nnnAaaaaaa 比较 a1、a2、an各振幅的大小： 设波面 上的振幅均匀分布即A（Q） 为常量，任取第 k 个半波带：面积 Sk平均倾角k (1cos)kkkkSar可以证明 0kkSRrRr 由惠菲原理为常量。4 Bk Rk k rk hPOB0 取如图的球冠，其面积 )cos1 (22RsdRdssin22r0 在OPBk中有： )(2)(cos02202rRRrrRRk两边微分 )(sin0rRRdrrdkk)(202rRRdrRrdskk代入ds ,kr可将drk视为相邻两波带间r的差值/2，则ds=sk 0rRRrskk结论：sk/rk 与

3、K 无关，对 每个半波带都相同。 证明： 影响 an 的大小只剩下倾斜因子 K（n）=1+cos ：j，j， aj ，an 缓慢减少，即123aaa 一般 aj 与aj-1 相差很小，近似有：112jjjaaa1133524()()22222naaaaaAaa P0点合振幅：133524,22aaaaaa即：11(22(22nnnnaaAnaaAn为奇数）为偶数）6 用矢量来表示 P 点处振幅的叠加a1 a2 a3 a4 an An a1 a2 a3 a4 121a12naa1 a2 a3 a4 an An n 为奇数时11()2nnAaan为偶数时11()2nnAaa合成一式11()2nnA

4、aaP 点的振幅为第一个波带和最后一个波带所发出次波的振幅相加（减）的一半。7 三、菲涅耳圆孔衍射 实验装置 计算P点的光强首先考虑通过圆孔的K个完整菲涅耳半波带数：K个完整菲涅耳半波带数hrrrhhrrrhrrkkkk020220202202222)( RSOP0k B0 r0 rk BAhBB 00rh ,20krrkhrkrhrrkkrrk0000220202224422k忽略项在BAP0中： 8 在BAO中： RhhRhRRhRRk22)(222222比较两式： Rhhrkr2200)(200rRkrh0022rRRkrRhk2011nnrRR（平行光入射）20,nnr0nnr可见，n

5、 与P0在轴上的位置r0有关。 RSOP0k B0 r0 rk BA2002kkrrh在BAP0中： 令最大波带数为n9 讨论： 对 P0 点若 S 恰好分成 n 个半波带时： 11()2nnAaan 为偶数 11()2nnAaa11()2nnAaa最大n 为奇数 最小 对 P0 点若 S 中还含有不完整的半波带时： 1111()()22nnnaaAaa光强介于最大和最小之间实验证实：确定观察点P0，改变，P0点的光强发生变化(时亮时暗）；确定圆孔半径 ，P0点在对称轴上移动，光强发生变化（时亮时暗）。10 若 不用光阑（n）：ka0ka12npaA 无遮拦的整个波面对P0点的光强等于第一个波

6、带在该点的光强的一半，且在轴线上各点光强相等，不发生明暗交替变化，衍射不明显。 若 圆孔仅够分成少数个半波带 1naa1(0(nanAn为小奇数）为小偶数） 与无圆孔时相比： 1002,4nnAaA II 其中A0为自由传播（无圆孔）时的振幅。 要发生衍射，光源 O 的线度要足够小。 11 四、菲涅耳圆屏衍射 OB0 PP点的振幅：圆屏遮蔽了个K半波带从K+1个半波带到最后的半波带（a0）在 P 点叠加，合振幅为：21kaA不管圆屏的位置和大小怎样，圆屏几何影子的中心永远有光（泊松点）。圆屏的面积，ak+1，到达 P 点的光愈强。12 五、菲涅耳波带片1 1.波带片设计一种光阑，只让奇数半波带

7、或偶数半波带通过，于是在P0点得到的振动完全是加强的，而没有相消的作用，这样在P0点就能获得很大的光强，这种光阑就叫做波带片。例：某一波带片只让5个奇数带通过，则15150510,1002aAaII即：此时光强是无光阑时光强的100倍。2 2.相位波带片一般波带片只让奇数半波带或偶数半波带通过，于是摭挡了一半的光波，使光能量的利用率减半，若在欲挡去的半波带上镀上一层透明薄膜，使通过薄膜的光波比没有通过薄膜的光波增加相位差。这样，所有波带在P0点的振幅都同号，使P0点光强大大增强。3 3.圆环波带片例题：用的单色平面波垂直入射到圆孔上，孔半径，若圆孔外有一同心的环形缝，内外半径分别为。求：距屏（孔）80cm的轴线上观察点P的强度与没有圆孔时该点的强度之比。450nm0.6mm0.6 2,0.6 3mmmmr0r1r2r3P解：平行光入射：20nr3 2920(0.6 10 )1450 1080 10nr2圆孔露出的波带数：环形缝内外边缘(= )对应波带数分别为n=2和n=3环形缝露出n=3的波带，而n=2波带被挡住。0.6 2,0.6 3mmmmP点合振辐：若屏不存在：1312Aaaa102aA 004,16AIAI小结：菲涅耳圆孔衍射SRr0 PB0 B1 B3 B2 r1