20XX年广东省广州市天河区高考数学一模试卷试题(文科)

1、2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|x22x0，则AB（）A3B2，3C1，3D1，2，32（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的

2、中位数3（5分）若复数为纯虚数，则|3ai|（）AB13C10D4（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a815a5，则S9等于（）A18B36C45D605（5分）已知cos（+），则sin2的值等于（）ABCD6（5分）若实数x，y满足，则zy2x的最小值为（）A2B2C1D17（5分）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股勾）24×朱实+黄实弦实

3、，化简，得勾2+股2弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据1.732，1.414）A130B134C138D1428（5分）已知x11n，x2e，x3满足e1nx3，则正确的是（）Ax1x2x3Bx1x3x2Cx2x1x3Dx3x1x29（5分）如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（）AaBCD10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是

4、该图象上相邻的最高点和最低点，若BC4，则f（x）的单调递增区间是（）A（2k，2k+），kZB（2k，2k+），kZC（4k，4k+），kZD（4k，4k+），kZ11（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）Aa（1+r）17B（1+r）17（1+r）Ca（1+r）18D（1+r）18（1+r）12（5分）已知函数f（x）（k+）lnx+，k1，+），曲线yf（x）上总存在两点

5、M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线yf（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C）D（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知向量（3，2），（m，1）若向量（2），则m 14（5分）已知数列an满足a11，an1+a1+an1（nN*，n2），则当n1时，an 15（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为 16（5分）已

6、知直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为52，AB1，若ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r11，则直三棱柱ABCA1B1C1的体积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分。17（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145，如图是按上述分组方

7、法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率18（12分）在等比数列an中，公比q（0，1），且满足a32，a1a3+2a2a4+a3a525（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当取最大值时，求n的值19（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2C+2cosC+30（1）求角C的大

8、小；（2）若ba，ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB2，BC，PCE、H分别为PA、AB的中点（1）求证：PHAC；（2）求点P到平面DEH的距离21（12分）已知函数f（x）lnxmx2，g（x）+x，mR，F（x）f（x）+g（x）（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C

9、的参数方程为（为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（）2（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|PB|为定值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x1|+|2x+m|（mR）（1）若m2时，解不等式f（x）3；（2）若关于x的不等式f（x）|2x3|在x0，1上有解，求实数m的取值范围2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中

10、，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|x22x0，则AB（）A3B2，3C1，3D1，2，3【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即Bx|x0或x2，A1，0，1，2，3，AB1，3，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用

11、量的稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数Bx1，x2，xn的标准差Cx1，x2，xn的最大值Dx1，x2，xn的中位数【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度【解答】解：表示一组数据x1，x2，xn的稳定程度是方差或标准差故选：B【点评】本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题3（5分）若复数为纯虚数，则|3ai|（）AB13C10D【分析】把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模【解答】解：由因为复数为纯虚数，所以，解得a2所以|3ai|32i|故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件

12、，考查了复数模的求法，是基础题4（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a815a5，则S9等于（）A18B36C45D60【分析】由等差数列的通项公式知a2+a815a5a55，再由等差数列的前n项和公式知S9×2a5【解答】解：a2+a815a5，a55，S9×2a545故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用5（5分）已知cos（+），则sin2的值等于（）ABCD【分析】由已知利用诱导公式可求sin，根据同角三角函数基本关系式可求cos，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解【解答】解：cos（+）s

13、in，sin，cos，sin22sincos2×（）×（）故选：C【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题6（5分）若实数x，y满足，则zy2x的最小值为（）A2B2C1D1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得出结论【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图：由图可知，zy2x在x+y1与x轴的交点（1，0）处取得最小值，即z022故选：B【点评】本题考查了线性规划，求最值问题，属于基础题7（5分）三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证

14、明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股勾）24×朱实+黄实弦实，化简，得勾2+股2弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据1.732，1.414）A130B134C138D142【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案【解答】解：如图，设勾为a，则股为，

15、弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为落在黄色图形内的图钉数大约为1000134故选：B【点评】本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题8（5分）已知x11n，x2e，x3满足e1nx3，则正确的是（）Ax1x2x3Bx1x3x2Cx2x1x3Dx3x1x2【分析】可以看出lnx30，从而得出x31，又可看出，从而得出x1，x2，x3的大小关系【解答】解：ex0；lnx30；x31；又；x1x2x3故选：A【点评】考查指数函数的值域，对数函数和指数函数的单调性9（5分）如图所示，在棱长为a的正方体

16、ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（）AaBCD【分析】设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点，根据面面平行的判定定理，可得平面A1BGE平面B1HI，结合已知中B1F面A1BE，可得F落在线段HI上，则答案可求【解答】解：设G，H，I分别为CD、CC1、C1D1边上的中点则ABEG四点共面，且平面A1BGE平面B1HI又B1F面A1BE，F落在线段HI上，正方体ABCDA1B1C1D1中的棱长为a，HI即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是故选：D【点评】本题考查线面平行的判定，

17、其中分析出F落在线段HI上是解答本题的关键，是中档题10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，），A（，0）为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC4，则f（x）的单调递增区间是（）A（2k，2k+），kZB（2k，2k+），kZC（4k，4k+），kZD（4k，4k+），kZ【分析】由题意可得+42，求得的值，再根据对称中心求得的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）sin（x+）（0，），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC4，+42，即12+16，求得

18、再根据+k，kZ，可得，f（x）sin（x）令2kx2k+，求得4kx4k+，故f（x）的单调递增区间为（4k，4k+），kZ，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题11（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为（）Aa（1+r）17B（1+r）17（1+r）Ca（1+r）18D（1+r）18（1+r）【分析】根据题意，依次分析孩子在1周岁时、2周岁时

19、、17周岁时存入的a元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数Sa（1+r）17+a（1+r）17+a（1+r），由等比数列的前n项和公式分析可得答案【解答】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r）15，孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a（1+r），可以看成是以a（1+r）为首项，（1+r）为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数Sa（1+r）17+a（1+r）17+

20、a（1+r）（1+r）18（1+r）；故选：D【点评】本题考查数列的应用，涉及等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题12（5分）已知函数f（x）（k+）lnx+，k1，+），曲线yf（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线yf（x）在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C）D（）【分析】求得f（x）的导数f（x），由题意可得f（x1）f（x2）（x1，x20，且x1x2），化为4（x1+x2）（k+）x1x2，因此x1+x2对k1，+）都成立，令g（k）k+，k1，+），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：函数f（x）

21、（k+）lnx+，导数f（x）（k+）1由题意可得f（x1）f（x2）（x1，x20，且x1x2）即有11，化为4（x1+x2）（k+）x1x2，而x1x2（）2，4（x1+x2）（k+）（）2，化为x1+x2对k1，+）都成立，令g（k）k+，k1，+），由k+24，当且仅当k2取得等号，4，x1+x24，即x1+x2的取值范围是（4，+）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）已知向量（3，2），（m，1）若向量（2），则m【分析】根

22、据（2），可得方程4m32m，解方程可得m的值【解答】解：向量（3，2），（m，1），（2），4m32m，m故答案为：【点评】本题考查平面向量的坐标运算和向量平行，考查方程思想和计算能力，属基础题14（5分）已知数列an满足a11，an1+a1+an1（nN*，n2），则当n1时，an2n1【分析】根据已知条件写出数列的前几项，分析规律，并归纳出数列的通项公式即可【解答】解：数列an满足a11，an1+a1+an1 （nN*，n2），则a1120，a2221，a3422，由此可得当n1时，故答案为：2n1【点评】本题考查了用归纳法求数列的通项公式，关键是能够根据数列的前几项分析规律，并大胆猜想

23、，属于基础题15（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos的值为【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出ACB的余弦值，利用coscos（ACB+45°）展开求出cos的值【解答】解：如图所示，在ABC中，AB30，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2+AC22ABACcos135°3400，所以BC10由正弦定理得sinACBsinBAC由BAC135&#

24、176;知ACB为锐角，故cosACB故coscos（ACB+45°）cosACBcos45°sinACBsin45°故答案为：【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力16（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为52，AB1，若ABC外接圆的圆心O1在AC上，半径r11，则直三棱柱ABCA1B1C1的体积为6【分析】由题意可得，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案【解答】解：如图，ABC外接圆的圆心O1在AC上，O1 为A

25、C的中点，且ABC是以ABC为直角的直角三角形，由半径r11，得AC2，又AB1，BC把直三棱柱ABCA1B1C1补形为长方体，设BB1x，则其外接球的半径R又直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为52，4R252，即RR，解得x4直三棱柱ABCA1B1C1的体积为6故答案为：6【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题：共60分

26、。17（12分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组65，75），第二组75，85），第八组135，145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率【分析】（1）由频率分布直

27、方图能求出第七组的频率，由此能完成频率分布直方图（2）用样本数据能估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m4，由此能求出他们的分差的绝对值小于10分的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×100.08完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：70&

28、#215;0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10102（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×503人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×502人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n10，他们的分差的绝对值小

29、于10分包含的基本事件个数m4，他们的分差的绝对值小于10分的概率p【点评】本题考查频率、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）在等比数列an中，公比q（0，1），且满足a32，a1a3+2a2a4+a3a525（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当取最大值时，求n的值【分析】（1）由条件判断an0，再由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得bnlog2anlog224n4n，可得Sn，再由等差数列的求和公式和配方法，可得所求最大值时的n的值【解答】解

30、：（1）a1a3+2a2a4+a3a525，可得a22+2a2a4+a42（a2+a4）225，由a32，即a1q22，可得a10，由0q1，可得an0，可得a2+a45，即a1q+a1q35，由解得q（2舍去），a18，则an8（）n124n；（2）bnlog2anlog224n4n，可得Snn（3+4n），则3+n（3+）（n）2+，可得n6或7时，取最大值则n的值为6或7【点评】本题考查等比数列的通项公式和性质，同时考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及最值求法，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2C+2cosC+

31、30（1）求角C的大小；（2）若ba，ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值【分析】（1）利用正弦定理和已知等式，化简可求得cosC的值，进而求C（2）利用余弦定理可求得c与a的关系，进而求得sinC，然后利用三角形面积公式和已知等式求得c【解答】解：（1）2sin2C+2cosC+30，可得：2（1cos2C）+2cosC+30，2cos2C+2cosC+10，cosC，0C，C（2）c2a2+b22abcosC3a2+2a25a2，ca，sinCsinA，sinAsinC，SABCabsinCsinAsinB，absinCsinAsinB，sinC（）2sinC，c1【点评】本

32、题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形的问题中应灵活运用余弦和正弦定理实现边角的转化，属于中档题20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB2，BC，PCE、H分别为PA、AB的中点（1）求证：PHAC；（2）求点P到平面DEH的距离【分析】（1）推导出PBAB2，BCPB，BCAB，从而BC面PAB，进而面PAB面ABCD，PHAB，PH平面ABCD，由此能证明PHAC（） 取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面DEH的距离【解答】解：（1）证明：PAB为正三角形，AB2，P

33、BAB2，BC，PC，PC2BC2+PB2根据勾股定理得BCPB，ABCD为矩形，BCAB，PB，AB面PAB且交于点B，BC面PAB，BC面ABCD，面PAB面ABCD，H为AB的中点，PAB为正三角形，PHAB，PH平面ABCD，AC平面ABCD，PHAC（） 解：取CD中点E，以H为原点，HA为x轴，HB为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），D（1，0），A（1，0，0），E（），H（0，0，0），（1，0），（），（0，0，），设平面DEH的法向量（x，y，z），则，取y1，得（，1，），点P到平面DEH的距离d【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求

34、法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知函数f（x）lnxmx2，g（x）+x，mR，F（x）f（x）+g（x）（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；（2）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值【分析】（1）求导后，根据m取值的情况分类讨论；（2）利用分离参数法，利用函数的最大值进行求解【解答】解：（1）定义域为（0，+），f（x）2mx，当m0时f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上是增函数，无极值，当m0时令f（x）0，0x，令f（x）0，x，所以函数f（x）在（0，）上为增函数，在（，+）为减函数，所以当x时，有极大值，极大值为（ln2m+1），无极小值，（2）：由F（x）mx1恒成立知m恒成立，令h（x），则h（x），令（x）2lnx+x，因为（）ln40，（1）1