第8章期权及其二叉树模型

1、第八章第八章 期权及其二叉树模型期权及其二叉树模型 金融期权（金融期权（financial optionfinancial option）简称为期权是主要的金）简称为期权是主要的金融衍生产品，它是金融工程的主要工具融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程也是构成金融工程其它金融衍生产品的基础。其它金融衍生产品的基础。 期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期赋予期权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售）或出售）某一资产的权利某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可。但是，那时

2、他可以行使他的权利也可以不行使这个权利。以不行使这个权利。 如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权利就失效了。利就失效了。 在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看跌期权。跌期权。 这一章，首先这一章，首先讨论讨论欧式期权及其组合的损益欧式期权及其组合的损益，并，并以简明的图象表示出来。以简明

3、的图象表示出来。 第二，介绍第二，介绍期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型。 第三，介绍第三，介绍以债券为标的资产的期权以债券为标的资产的期权。 第四，讨论第四，讨论n n期二叉树模型期二叉树模型。 最后，讨论最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型存在交易费用条件下的二叉树模型。 第一节第一节 ( (欧式欧式) )期权及其组合的损益期权及其组合的损益 一、（欧式）期权交易到期的损益分析一、（欧式）期权交易到期的损益分析 设执行价为设执行价为X，在期权到期时刻，在期权到期时刻T, ,股票价格为股票价格为ST（一）看涨期权到期日的损益分析（一）看涨期权到期日的损益分析2. 2. 看涨期权空头

4、（卖），（承担义务）看涨期权空头（卖），（承担义务）1. 1. 看跌期权多头看跌期权多头( (买买), (), (赋予权力赋予权力) )2. 2. 看跌期权空头看跌期权空头( (卖卖), (), (承担义务承担义务) )1. 1. 看涨期权多头（买），（看涨期权多头（买），（赋予权力赋予权力）（二）看跌期权到期日损益分析（二）看跌期权到期日损益分析 设股票初始价格为设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格，期权的执行价格为股票初始价格， 二、二、 在在( ( S, W) )平面上欧式看涨期权和看跌期权的平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示损益表示TSSS W为期权的收益为期权的收

5、益 三、在三、在( ( S, W) )平面上平面上, , 股票和债券的收益股票和债券的收益:(:(为了说为了说明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）令令 (一一) 在在( ( S, W) )平面上看涨期权多头和看涨期权空头平面上看涨期权多头和看涨期权空头的收益的收益 (二二) 在在( ( S, W) )平面上看跌期权多头和看跌期权空头平面上看跌期权多头和看跌期权空头的收益的收益 ( (二二) ) 债券买卖的收益债券买卖的收益1. 1. 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。 2. 2

6、. 卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益4. S+P-C4. S+P-C损益的数学表达式：损益的数学表达式：5. 5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险 证券组合证券组合( (三三) ) 无风险证券组合的构造无风险证券组合的构造: :( (一一) ) 股票买卖的收益股票买卖的收益 购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权份看涨期权3. 购入一份股票的收益购入一份股票的收益( (四四) ) 其他期权组合的收益其他期权组合的收益 1

7、. 1. 牛市价差买卖牛市价差买卖( (bullish vertical spread) ) ： 购买一份执行价格为购买一份执行价格为X X1 1的看涨期权，卖出一份执行价格的看涨期权，卖出一份执行价格 是是X X2 2的看涨期权，其中的看涨期权，其中X X2 2 X X1 12. 2. 熊市价差买卖熊市价差买卖（bearish vertical spread）：）： 卖出执行价格为卖出执行价格为X X1 1的看涨期权，买入一份执行价格是的看涨期权，买入一份执行价格是 X X2 2 的看涨期权，其中的看涨期权，其中X X2 2 X X1 1。3. 3. 蝶式价差买卖蝶式价差买卖( (butte

8、rfly spread）：）： 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 份执行价格为份执行价格为 X X1 1和一份执行价格为和一份执行价格为X X2 2的看涨期权，再卖的看涨期权，再卖 出两份执行价格为出两份执行价格为X X3 3的看涨期权。其中，的看涨期权。其中，X X2 2 X X3 3 X X1 1 ， 且且 1232XXX 4. 4. 底部马鞍式组合底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）：或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为X 5. 5.

9、 顶部马鞍组合顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式或卖马鞍式) )： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为X 6. 6. 底部梯形组合底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买或买 入梯形组合入梯形组合) )： 买入一份看涨期权和一份看跌期权买入一份看涨期权和一份看跌期权, ,执行价格分别是执行价格分别是 X X1 1和和X X2 2，其中，其中X X2 2 XX1 1。 7. 7. 顶部梯形组合顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯或卖出梯 形组合形组合) )：

10、 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X X1 1和和X X2 2，其中，其中X X2 2 X X1 1 。8. 8. 叠做期权叠做期权（Straps）：）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。到期日都相同。 9. 9. 逆叠做期权逆叠做期权（Strip）：）： 购买两份看跌期权购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行和一份看涨期权，具有相同的执行 价和到期日。价和到期日。 10. 10. 三明治买卖三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为）

11、期权：买两份执行价格为 中间的中间的Xm看涨期权看涨期权, ,卖一份执行价为卖一份执行价为X XL L的较低价格的看的较低价格的看 涨期权涨期权, ,卖一份执行价高卖一份执行价高Xu的看涨期权，即的看涨期权，即 lmuXXX11. W型型以例子说明该证券组合：以例子说明该证券组合：第二节第二节 期权定价的二叉树模型期权定价的二叉树模型一、期权定价的一期模型一、期权定价的一期模型 Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型：二叉树期权定价模型：设设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的无

12、风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的。下一期的股票价格只取两种可能的值。股票价格只取两种可能的值。先讨论一期模型先讨论一期模型 ： 注注: 条件条件 u 1 + r d 必须成立必须成立,否则可能出现套利否则可能出现套利机会。机会。（一）股票价格的一期变化规律（一）股票价格的一期变化规律（二）以股票为标的期权价格（二）以股票为标的期权价格 设以该股票为标的看涨期权的价格为设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格执行价格为为22,则则 对此期权如何定价是合理的对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题为了解决此问题,构造一个无风险套期保值的证券组合：构造一个无风险套期保值的证券组合

13、：购买一份股票，卖掉购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：份期权，这个证券组合的价值：max(0,)7.4uCuSXmax(0,)1.1dCdSS q q1-q1-qC 由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期末时它在各状态的收益是一样的。末时它在各状态的收益是一样的。 由无风险的证券组合条件，我们有：由无风险的证券组合条件，我们有：uduSmCdSC由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：（1+r)(S-mC）=uS-mCU1C=1SrumCumr将将m的值代入时的值代入时,有有 (m称

14、为套期保值率称为套期保值率hedge ratio) 令令1(1)1udrdurCCududCr1p=rdud11-p=urud11pCup CdCrp称为套期保值概率。称为套期保值概率。 事实上事实上,若投资者是风险中性，则有若投资者是风险中性，则有(1)(1)r SquSq dS由此得由此得 1=rdqudp=q所以通常也称所以通常也称p为风险中性概率为风险中性概率 例如例如:设设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求求C。注注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资由此可知套期保值证券组合所需要的投资 21-1 1.869596=19.13 在期末所得到的无风

15、险收益为在期末所得到的无风险收益为22.S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22注注2. 2. 此套期保值的证券组合为此套期保值的证券组合为, ,买一份股票买一份股票, ,卖一份卖一份 看涨期权看涨期权. .注注3. 3. 投资的回报率投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.22/19.13=1.15=1+r.注注4. 4. 由上面推导期权定价的过程可知由上面推导期权定价的过程可知, ,期权的价值依赖期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合于存在一个套期保值的证券组合, ,以及期权的定价以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得

16、无风险回报率是要使此套期保值组合获得无风险回报率, ,即债券即债券 的回报率的回报率. . 如果期权价格高了如果期权价格高了( (或者低了或者低了),),则套期保值证券组合则套期保值证券组合的收益率比无风险收益率高的收益率比无风险收益率高( (或低或低) )的回报的回报, ,无风险套利机无风险套利机会就存在会就存在. .期权定价公式三个有趣的性质：期权定价公式三个有趣的性质： 期权的价格不依赖于股票价格上升的概率期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资。尽管投资 者对股票上升的概率有不同的判断者对股票上升的概率有不同的判断, ,但他仍然只能接但他仍然只能接受受 与与u， d，X，S，r相

17、关联的期权价值，而股票本身是相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对引起投资者对q q的不同判断的根源。的不同判断的根源。2. 2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关投资者对风险的态度与期权定价公式无关, ,所得的结所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。果只假设人们偏好更多的财富。3. 3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。 二、期权定价的二期模型二、期权定价的二期模型为了得到多期期权价格公式为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型首先讨论二期模型 设二期无风险利率为设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投，每期复利一次，则一元钱的

18、投资到二期后有资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为元，设股票的初始价格为S， 与一期模型一样与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期为了得到期权的价格，构造无风险套期保值证券组合保值证券组合,从而得到：从而得到：rCdppCuC11由一期模型得到的由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有代入上式有:222111C= 1p Cuupp Cudpp CdupCddr实际上实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的上式是两次应用一期模型定价公式得到的,括号中是括号中是 2(1)udpCp C的二项展式，只不过的二项展式，只不过,uuudduddC C C CC C C C分别用

19、二期之后期权分别用二期之后期权uuudddC C C代替代替,它们分别是：它们分别是： 可能取得的三个值可能取得的三个值 222111C= 1p Cuupp Cudpp CdupCddr2max(0,)uuCu SXmax(0,)udCudSX2max(0,)ddCd SX 从另一个角度看从另一个角度看, 上式表明上式表明:期权价值等于在风险中期权价值等于在风险中性概率下二期收益的期望值折现。性概率下二期收益的期望值折现。第三节第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型 1. 就债券支付状态的变化规律而言就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付

20、状态与股票支付状态的变化规律相反的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉，如叉，如: 图图 8-353. 设利率也是取二值的过程：如设利率也是取二值的过程：如 :图图 8-38一、债券价格的二叉树模型一、债券价格的二叉树模型概述概述 2. 债券支付债券支付(收益收益)在到期日收敛于它的面值在到期日收敛于它的面值,此外多数此外多数债券有票息支付债券有票息支付 , 如如: 图图 8-36 及及 图图 8-37 4.设债券面值为设债券面值为D，半年的票息为，半年的票息为Ci，i=1,2n，若，若把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流把此债券看成

21、面值与票息分离的债券，则债券的现金流相当于相当于2n份面值为份面值为Ci和一份面值为和一份面值为D的零息债券。的零息债券。 (一一) 风险中性方法风险中性方法债券价格树的构造债券价格树的构造1. 一年期债券的价格树一年期债券的价格树 图图 8-392. 一年半期债券的价格树一年半期债券的价格树 图图 3-40 （二）利率期限结构模型方法（二）利率期限结构模型方法 在（一）中介绍了在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率给定利率期限结构以及半年期利率变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券定价的方法定价的方法。另一种债券定价的方法，称

22、为利率期限结。另一种债券定价的方法，称为利率期限结构模型方法：构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率先固定半年期利率在下一期以同样的概率分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期利率值，从而构成一个利率树利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债。用所得到的利率树对债券未来的价值折现就可得到债券的价格券未来的价值折现就可得到债券的价格。如如 图图 8-45,8-4611112tdtuttpBp BBr票息 例例 8-8 设初始利率为设初始利率为r=10%,在第二期以在第二期以q=0.5的概的概率上升到率上升到12%,以以0.

23、5的概率下降到的概率下降到d=8.5%。同时假设债。同时假设债券的面值券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利在一年期半内每半年支付的红利10, 而而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券求债券的价格。如图的价格。如图 8-47t 期债券价格期债券价格:二、以债券为标的资产的期权定价二、以债券为标的资产的期权定价 设以例设以例8-8中的债券中的债券 为标的资产、执行价为标的资产、执行价X=100的的看涨期权看涨期权, 在在t时期市场上价格为时期市场上价格为Ct，它的收益如下：，它的收益如下：图图 8-48 ,1,1m ax(ddCB 票

24、息 -X,0) =13.77,1,1max(uuCB票息-X,0) =15.22？ 若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付（收益）是一样的。设看涨期权在（收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组期执行，则此债券组合在合在t+1期时两个状态的收益相等期时两个状态的收益相等 。 为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期权定价理论一样权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购构造一个无风险套期保值债券组合；购买一份债券，出售买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看份看涨期权（以该

25、债券为标的的看涨期权）。涨期权）。B Bd,t+1d,t+1 + +票息票息- mC- mCd,t+1d,t+1= B = B u,t+1u,t+1 + +票息票息- mC- mCu,t+1u,t+11111 m=dtutdtutBBCC由于是无风险债券组合，故有由于是无风险债券组合，故有（B Bt t- mC- mCt t ）（）（1+r1+rt t/2/2）= B= Bd t+1 d t+1 + +票息票息- mC- mCdt+1dt+1其中其中r rt t为无风险利率，将为无风险利率，将m m的值代入上式，我们有：的值代入上式，我们有： ,1,1,1,1,1,1()(1)()(1)22(

26、)(1)2ttd ttu tu ttd tttd tu trrBBCBBCCrBB票息票息 一、二项式及二项分一、二项式及二项分布布 二项式试验二项式试验 (Binomial trials)：称试验结果只有两：称试验结果只有两个的试验为二项式试验。个的试验为二项式试验。 如在抛硬币试验中，可能出如在抛硬币试验中，可能出现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的，现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的，也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p， 出现反面的概率为出现反面的概率为1-p. 二项分布告诉我们在二项分布告诉我们在n次试验中次

27、试验中,出现出现k次正面的概率为次正面的概率为第四节第四节 n期欧式期权的定价模型期欧式期权的定价模型(1)kkn knC pp 记为记为Pr(k|n)。例如，试验次数为。例如，试验次数为3，则出现两次正面，则出现两次正面的概率为的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，）。当试验次数不多时，Pr(k|n ）的系）的系数可以借助帕斯卡三角形（数可以借助帕斯卡三角形（Pascals triangle）。每一行）。每一行的数据都是由前行相邻的两数之和。的数据都是由前行相邻的两数之和。二、二、 n n 期欧式看涨期权的定价公式期欧式看涨期权的定价公式n试验次数试验次数 帕斯卡三角形帕斯卡三角形 0

28、1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 出现正面次数出现正面次数 n， n-1，. n-nn n 期欧式看涨期权取值的结果期欧式看涨期权取值的结果: :max(0,),nu SX1max(0,),nudSXmax(0,)n kkud SXmax(0,)nd SX对应概率对应概率 C Cn nn n p pn n C Cn nn-1n-1 p pn-1n-1 (1-p), , (1-p), , C Cn nn-Kn-K p pn-Kn-K （1-p1-p）K K. C. Cn n0 0 p p0 0 (1-p (1-p）n n故故01max 0,C=1nn k

29、kkkn knknC ppu dSXr分析结果分析结果. .知看涨期权的价值随着股票的价格上涨，知看涨期权的价值随着股票的价格上涨， 而当执行价而当执行价格升高时格升高时, ,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期它的价值随之降低。而且，无风险利率、期权到期期限权到期期限n n、 二项分布的方差二项分布的方差 2 2= =np(1-(1-p) ) 都影响都影响期权的价值期权的价值. .(| ,)(| ,)(1)nXCSB ka n pB ka n pr2. 2. 当无风险利率上升时当无风险利率上升时, ,它的主要影响是降低执行价格它的主要影响是降低执行价格 的折现值的折现值 尽管随着尽管随着r

30、的上升引起的上升引起p和和p 的变化但还是提高了看涨期权价值的变化但还是提高了看涨期权价值. ./(1)nXr1. 由由3. 3. 增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。我们知道增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。我们知道 看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概 率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加 的正收益的项数的正收益的项数, ,且二项分布收益的期望值也随且二项分布收益的期望值也随 着着 np np 的增加而增加。的增加而增加。4. 4. 看涨期权价值随着二项分布方差看涨

31、期权价值随着二项分布方差np(1-(1-p) ) 增加而增加而增加增加. .第五节第五节 存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型 期权定价的基本思想是构造一个证券组合，使得他在期权定价的基本思想是构造一个证券组合，使得他在期权执行时刻的收益与期权的收益相同，而这个证券组期权执行时刻的收益与期权的收益相同，而这个证券组合的初始值就是该期权的合理价格。更加严格地说，使合的初始值就是该期权的合理价格。更加严格地说，使得在执行时，证券组合价值等于期权价值的所有证券组得在执行时，证券组合价值等于期权价值的所有证券组合中，初始价值最小的那个证券组合，就是套期保值证合中

32、，初始价值最小的那个证券组合，就是套期保值证券组合，其价值就是期权的价格。下面讨论另一类二叉券组合，其价值就是期权的价格。下面讨论另一类二叉树模型树模型不可重合的二叉树模型以及存在交易费用条不可重合的二叉树模型以及存在交易费用条件下件下, 这一类模型定价问题。这一类模型定价问题。一、一、 不存在交易费用的期权二叉树定价问题不存在交易费用的期权二叉树定价问题 设股票在设股票在0 0时刻的价格为时刻的价格为S(0)=SS(0)=S0 0，在，在t=1 t=1 时刻价格为时刻价格为S(1)S(1)是随机变量，它可能的取值为是随机变量，它可能的取值为S S1111或或S S1212 (S (S1212

33、 S S1111 ) )，在在t=2t=2时刻价格为时刻价格为S(2)S(2)，它可能取值为，它可能取值为S S2121SS2222 S S2323 S S2424 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为无风险回报为R R（=1+r=1+r），同时假设在银行里存款和从），同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样银行贷款，所支付的利率一样. . 为了排除套利机会，下为了排除套利机会，下列条件必须满足：列条件必须满足： S S1111 R S R S0 0 S S12 12 S S2323 R S R S1212 S S24

34、24 S S2121 R S R S1111 S S2222 如果对每一个如果对每一个k，下式成立：，下式成立： RB(k)+ N(k)S(K+1)= B(k+1)+ N(k+1)S(K+1), 交易前交易前 交易后交易后则称市场为自融资，即从开始投资后，再不增加资金，则称市场为自融资，即从开始投资后，再不增加资金，也不从中抽取资金。也不从中抽取资金。设期权到期价值为：设期权到期价值为：hi=h(S0，S11，S2i), i=1,2hj=h(S0, S12, S2j), j=3,4 B11 ,N11 (B12 N12) 表示证券组合在表示证券组合在 t=1时刻的分解时刻的分解, S(1)= S

35、11 (或或= S12 ). 则对于完全复制期权的证券组合有：则对于完全复制期权的证券组合有：（二期末）（二期末）111121101121111122201122R B + N S = h = h(S , S , S ) R B + N S = h = h(S , S , S ) 121223301223121224401224R B + N S = h = h(S , S , S )R B + N S = h = h(S , S , S )由此得由此得211121N =hh22 12121121 B =S hS hR431222N =hh2432341222 BS hS hR式中式中: 21

36、 =S22 -S21 22=S24 -S23 在在 t=1 时刻证券组合的价值时刻证券组合的价值 F12=B12+ N12S12 或或F11=B11+ N11S11F12=B12+ N12S12 12432432342222ShhS hS hR 3241241223221hSRShRSSR令令122412221pSRSq12=1- P122312221SRS则则 121231241FP hq hR且有且有 12122312241121E SSSP Sq SRR2412232312242222111SRSSSRSSR2423122211R SSSR即在条件即在条件S(1)= S12下下S (2)

37、的折现的折现 S (2)/R 的期望值为的期望值为S12 ，符合鞅的性质，故称，符合鞅的性质，故称p12、q12为鞅测度。为鞅测度。同理可得：同理可得：E E（1/1/R R (S (2)| S(1)= S(S (2)| S(1)= S1111)= S)= S1111上面导出了由上面导出了由S(2)S(2)确定确定F F11 11 F F1212的价值。下面推导出由的价值。下面推导出由F F1111，F F1212确定确定F F0 0 的价值，即期权的初始价格。由自融资的价值，即期权的初始价格。由自融资的性质：的性质：RBRB0 0+ N+ N0 0S(1) = BS(1) = B1 1+ N

38、+ N1 1S(1)S(1)其中其中 S(1)= SS(1)= S1111 或或S S1212 ，( B( B1 1 = B = B1111 或或B B1212 ) )。由此可以得：由此可以得： RB RB0 0+ N+ N0 0S S1111 =F =F1111 ， RBRB0 0+ N+ N0 0S S1212 =F =F1212 此处此处F F1111 ，F F12为己知，由上式可确定为己知，由上式可确定111211120111211N = FFFFSS011121211121111BF SF SR SS12111112111F SF SR故故 000012111112011121111

39、11F =B + N S = F SF SSFFR 记记P0= 1 11 (R S0-S12) 00012110111111 q =1- P =1( R S -S )=( S -R S )则则F0= (P0 F11+ q0 F12)且有 011012011 E(S (1)|S= S ) =S PS qRR1101212110111 1SRSSSSRSR1101200111 1=SS RSRS SR同样得到同样得到 (p0 ,q0) 为鞅测度。为鞅测度。00110121(p F + q F )FR0011001211P E h( S , S , S (2) )+ q E h( S , S , S

40、 (2) RR 二、存在交易费用的二叉树模型二、存在交易费用的二叉树模型,ijijNB 分别表示股票数和银行的存款，分别表示股票数和银行的存款，Nij 表示不存在表示不存在交易费用模型中所对应的量，其中交易费用模型中所对应的量，其中 为交易费用的为交易费用的比例（买入和卖出金融产品的交易费用都一样），比例（买入和卖出金融产品的交易费用都一样），而且在而且在k=2时结算，即兑换出证券组合（支付费用），时结算，即兑换出证券组合（支付费用），且支付期权的价值且支付期权的价值 h(S(2)。当。当k=2时，设时，设11112i2i+(1- )S =h( S ) i=1,2 RBN12122j2j+(1

41、- )S =h( S ) , j=3,4 RBN11112121 +(1- )S =h( S ) RBN考虑考虑 001111(,)(,)NBNB111111111111111101111111101111110110=S + ( - N )S=(1- )S + S=S + SSFNBNNBNNBNFN（一）（一） 当当 S (1)= SS (1)= S1111时证券组合的确定时证券组合的确定 则则（二）（二） 当当 S(1)= SS(1)= S12 12 时，证券组合的确定时，证券组合的确定121212121211111112011121212012111212012120=S + ( - N )S=(1- )S + (2 - N