几何画板 课件设计 圆锥曲线的形成和立体图形的侧面展开

1、摘 要几何画板是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的普通中学数学课程标准中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有

2、条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类立体图形的侧面展开问题在以往的课件制作中都有所涉及，但制作方法都很繁琐。我所作课件的最大优势就在于利用了一个统一的方法进行课件制作，大大缩短了制作的时间，而且达到了很好的演示效果。全文由三部分组成：第一部分：几何画板 课件制作的选题原则。第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学课件及其制作过程。第三部分：学习及应用几何画板的体会。关键词：几何画板，标记向

3、量，椭圆，圆锥曲线，圆锥截面，轨迹，追踪，侧面展开图，目 录摘 要 . 1Abstract . 3引 言 . 4第一部分 几何画板的选题原则 . 4第二部分 课件设计与制作 . 5第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形成 . 5第一部分：圆锥曲线的构造 . 6第二部分：圆锥截面的构造 . 8第二类课件：立体图形的侧面展开 . 9第一部分：构造圆柱展开 . 10第二部分：构造棱柱展开 . 10第三部分：构造圆锥、棱锥展开 . 11第四部分：构造圆台、棱台展开 . 11第三部分 学习几何画板的体会 . 12致 谢 . 14参考文献 . 15AbstractThe Geometer' s Ske

4、tchpad is an excellent platform for teaching of geometry (planegeometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry. It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not only can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, bu

5、t also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool software.After I learn the Geometers Sketchpad, I have made two kinds of comprehensivem

6、athematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve and section and the sides of the two kinds of solid shape the course of spreading out. These two kinds of course wares have very important application on teaching. In "The newest ordinary middle school mathemat

7、ics course standard ", it is emphasized that " teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, makestudent deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to

8、 demonstration incoming of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can r

9、each active and visual teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened great

10、ly, and has reached very gooddemonstration effect.The paper text is composed of three parts:In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometers Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I sel

11、ect to make are introduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometers Sketchpad. Keywords: The Geometers Sketchpad, mark vector, ellipse, cone curve, cone section, locus tracing, side spread out picture引 言The Geometers Sketchpad 是美国优秀的教育软件。由美国Nicholas Jackiw 和Sc

12、ott Steketee 程序实现，Steven Rasmussen领导的Key Curriculum出版社出版。它的中文名是几何画板21世纪的动态几何，以下简称几何画板。它小巧玲珑，操作简单，是数学学习的有力助手。它可以说是我们的数学实验室，因为它能够有效地使数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学结论，又得到了数学经验。众所周知数学是训练逻辑思维的，尤其几何。通过教师的辅导，我们在自己的记忆中形成套逻辑思维体系。那么怎样才能使我们更好地理解几何知识、掌握逻辑思维方法呢？一个方法是多看、多想，增加我们的学习经验，另一个方法就是寻找良好的辅助工具，帮助我们在动态的几何之中，去观察，探索。 几何

13、画板就是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件，主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和两类立体图形的侧面展开过程。这两类课件在教学上都有很重要的应用。下面我就课件的选题、制作及使用几何画板的感受几方面来展开我的论文。第一部分 几何画板的选题原则在数学教学过程中，不论

14、是代数教学还是几何教学，遇到的最大困难就是：教师在教学过程重使用常规工具（如黑板，粉笔，圆规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，而且无法达到动态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过程中的规律。几何画板21世纪的动态几何。顾名思义，几何画板就是一个可以很好的解决以上难题的辅助教学工具。几何画板在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让几何画板大显身手。当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，也并不是所有教学内容都适合利用几

15、何画板达到最好的效果，这就要遵循几何画板的选题原则：第一：几何画板可以动态地演示图形的变化过程。例如：下面要展示的圆锥曲线及圆锥曲面的形成，圆锥、圆锥、圆台的侧面展开等几个课件都体现了动态的特点；第二：几何画板可以有效地使数形结合。例如：大量极值问题都可以通过几何画板来动态模拟。第三：几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。例如：函数教学中大量的绘图工作可以轻而易举地通过几何画板来完成。而且对于一类函数，几何画板可以通过改变系数及参数而达到表现其全部情况的目的。例如：三角函数中正弦函数y=A sin(x+d 的图像可以通过调整A ， ，d 的值得到不同的精确图像。第四：几何画板最重要的是

16、可以很好的表现图形的任意性。例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在以往的教学过程中只能在黑板上画出几个三角形作代表，不能很好地说明三角形的任意性，而利用几何画板就可以任意拖动三角形的顶点以达到任意三角形的目的。总之，在所做课件中我们能够充分体现出几何画板的以上优势，并能够恰当的应用到教学实践中，为教学服务。这就可以称作是一个成功的课件设计。利用几何画板就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果。第二部分 课件设计与制作第一类课件：圆锥曲线及圆锥截面的形成选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面

17、截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程 ，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中解析几何中的第二章 圆锥曲线 作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。制作过程： 第一部分：圆锥曲线的构造1 造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图（1） 作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA ，短半轴为OB ；（2） 过O

18、作OA 的垂线，在垂线的上方任取一点H ，作线段HO 并隐藏垂线。用线段连接AH ，分别在线段 HO 和AH 上任取点C 和点D ，连接CD ； （3）作截面：以点C 为圆心，以小线段长为半径作圆。在上半圆上任取一点E ，隐藏小圆。依次选定点E 和点C 并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E ，再依次选定点C 和点D 并标记为向量，把点E 和E 按标记向量平移得到点F 和F 。同时选定点E 、F 、F 和E ，用线段相连得截面EFF E ，并涂上浅黄色，如图 1所示。 图 1注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：1） 拖动点A 或点B ，可以改变椭圆的大小；2） 拖动点C 或点D ，

19、可以使截面EFF E 上下移动或上下倾斜；3） 拖动点E ，可以使截面左右倾斜或翻转。2 构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程（1） 做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O A =2|OA |，短半轴O B =2|OB |，椭圆中心为；（2） 作圆截面：依次选定点O 和点H 并标记为向量，把点O 按标记向量平移两次得点H ,使O H =2 |OH |。在椭圆上任取一点，用线段连接O 依次选定点和点并标记为向量，把点按标记向量平移得点，用线段连接和；作P 轨迹，同时选定点P 和点P ，执行作图/轨迹选项，求得一个与圆椭圆关于H 对称的椭圆；作PP 轨迹，再同时选定线段PP 和点P ，

20、执行作图/轨迹选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。（3） 作截面：依次选定点O 和C 并标记为向量，把点O 按标记向量平移两次得点C ，使O C =2|OC |。过点C 作平行于CD 的直线a 交H A 于点D 。在直线a 上任取一点M ，选定点M 和C 并标记为向量，把点C 按标记向量平移得点M 。过点M作EE 平行线d ，在d 上任取一点N ，选定点N 和M 并标记为向量，使点M 按标记向量平移得点N 。依次选定点M 和M 并标记为向量，使点N ，N按标记向量平移得点Q 和Q 。隐藏直线d ，用线段连接N 、N 、Q 、Q 得截面 NNQ Q ，并涂上浅黄色。（4） 作圆锥曲线：先求作截面N

21、N Q Q 与棱H P 的交点G 。过点D 作O A 平行线交O H 于O 点。分别过点O 和D 作线段O P 和FF 的平行线b 和c ，并交与点R 。作直线RC ，求得RC 与PP 的交点G ，即为截面与棱PP 的交点。隐藏除直线a 外的所有直线。（5） 求点G 的轨迹，同时选定点G 和点P ，执行作图/轨迹选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G 的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G 点作A O 的垂线与PO 交于点G ，求点G 的轨迹即是。（6）在控制图上选取四个特

22、殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆” 如图。 图 2（7）将截得的圆锥曲线作在平面直角坐标系内的直观图。具体做法：度量O D 与水平方向的夹角。将截面NN Q Q 的中心按一定长度平移，得新点。以该点为原点建立直角坐标系，在所截得的曲线上任取一点，按一定长度平移，得另一新点，将此新点按O D 与水平方向的夹角度数旋转得新点。选中此新点与曲线上的点作轨迹得此圆锥曲线在平面直角坐标系内的直观图。此为该课件的亮点之一。如图3所示。 图 3注意：作圆锥截面线作线段GC ，同时选定线段GC 和点P ，执行作图/轨

23、迹选项，即可。 第二部分：圆锥截面的构造作法与圆锥曲线的构造基本相同，不同之处：在2（5）步时将所得轨迹内部涂上颜色，即得圆锥截面 如图4所示。 图 4使用说明:利用示意图控制截面作移动和倾斜变化，在示意图中：1 拖动点A 或点B ，可以改变椭圆的大小；2 拖动点C 或点D ，可以使截面EFF E 上下移动或上下倾斜；3 拖动点E ，可以使截面左右倾斜或翻转。EFF E以动画方式翻转，还 是具体情况选择不同的操作按钮进行演示。如结合“闪动”按钮的使用更能够强调重点，使之更加突出。课件应用：本课件主要应用于新教材高中二年级（下）第七章 圆锥曲线 的教学中，可在本章的引入部分使用，亦可在本章的教学

24、中穿插使用。特别是将三维空间中截得的二维曲线投影到平面直角坐标系中，使得学生对圆锥曲线的理解更近一步。第二类课件：立体图形的侧面展开选题 ：利用几何画板的作图功能和移动功能，可以动态演示柱、锥、台体侧面的展开。但制作起来比较繁琐，效果也不一定很好。以下就给出一个通用的，既简便又实用的展开方法。原理：设立体图形的底面中心为o ，半径为r 。利用变半径圆上的一段弧线作为立体图形的底面周长。变半径圆的圆心有一个近点o 和一个远点B 。当半径逐渐变大时，即当O B 时R 逐渐放大，弧长也逐渐伸展开，动态演示这段弧的“伸展/展开”过程；当oB 距离愈大，展开的效果愈好。当半径逐渐变小时，即当O o 时R

25、 r ，弧长卷成一个小圆(椭圆 ，动态演示这段弧的“卷缩/还原”过程。制作过程：准备工作：1确定与展开相关的参数（1） 如图5所示，以点A 和o 作射线，在该射线上取一个动点O 和一个远点B ；（2） 标记线段Ao ，将o 按标记向量平移得D ，以A 为圆心，AD 为半径作圆； 3 作“还原”和“展开”按钮 图 5（1） 将点o 向上平移0.00001cm 得o 点（以保证椭圆弧的显示），作点O 到点o 的移动按钮，改标签为“还原”；作点O 到点B 的移动按钮，改标签为“展开”；（2） 只保留椭圆弧、点o 、B 和操作按钮，隐藏不必要的点、线、圆等。以该椭圆为基础，构造圆柱、锥、台，棱柱、锥、

26、台的展开。拖动点o ，改变椭圆弧的长短和方向，调节点B 的位置，使展开具有较好的视觉效果。构造展开：第一部分：构造圆柱展开 （1） 画线段EF ，并标记向量，用来控制圆柱母线的长短和方向；（2） 在椭圆弧上画三点X 、Y 、Z ，其中X为椭圆弧的左端点，Z 为椭圆弧的右端点，Y 为中间任一点；选中点X 、Y 、Z ，按标记向量平移，得到点X 、Y 、Z ，并用线段连接XX 、YY 、ZZ ； 图 6（3） 选中点Y 和点Y ，作轨迹；选中线段YY 和点Y ，作轨迹，得到圆柱侧面，如图6所示。按“展开”或“还原”按钮，即可动态演示圆柱侧面的展开。拖动点F 改变母线长短和方向，拖动点o 改变圆柱半

27、径。第二部分：构造棱柱展开（1） 画线段EF ，并标记向量，用来控制棱柱母线的长短和方向；（2） 在椭圆弧上多画几个点如：X 、M 、N 、P 、Q 、Z ，其中X 为椭圆弧的左端点，Z 为椭圆弧的右端点，其余为中间点，并隐藏椭圆弧。 （3） 选中椭圆弧上各点，按标记向量平移，得到点X 、 M、N 、P 、Q 、Z ，并用线段连接XX 、ZZ ；选中四个相邻点X 、M 、M 、X ，取内部，着上颜色；用同样方法给棱柱5个侧面着上不同颜色，如图7所示。图 7按“展开”或“还原”按钮，即可动态演示棱柱侧面的展开。可以增加椭圆弧中间点的个数，再适当调整中间点和点F 的位置。可以得到不同的棱柱体。 第

28、三部分：构造圆锥、棱锥展开（1） 画线段EF ，并标记向量，用来控制圆 锥母线的长短和方向；（2） 在椭圆弧上画三点X 、Y 、Z ，其中X为椭圆弧的左端点，Z 为椭圆弧的右端点，Y 为中间任一点；（3） 中点o ，按标记向量平移，得到点O ，作为圆锥的顶点，用线段连接XO 、Y O、Z O； 图 8（4） 中线段Y O和点Y ，作轨迹，得到圆锥侧面，如图8所示。 （5） 构造棱锥展开。在椭圆弧上多画几个点，利用构造棱柱展开的方法构造棱锥展开，如图9所示。按“展开”或“还原”按钮，即可动态演示圆锥（棱锥）侧面的展开。拖动E 点改变母线长短和方向，拖动点o 改变圆锥（棱锥）半径。 图 9第四部分

29、：构造圆台、棱台展开（1） 画线段EF ，并标记向量，用来控制圆台母线的长短和方向；（2） 在椭圆弧上画三点X 、Y 、Z ，其中X 为椭圆弧的左端点，Z 为椭圆弧的右端点，Y 为中间任一点；（3） 中点o ，按标记向量平移，得到点O ，让点X 、Y 、Z 以点O 为中心， 缩小2倍，得到点X 、Y 、Z ，用线段连接X X、Y Y、Z Z；（4） 选中线段Y 和点Y ，作轨迹，作为圆台上底；选中线段YY 和点Y ，作轨迹得到圆台侧面，如图10所示。（5） 构造棱台展开。隐藏圆台得上底和侧面，只保留长椭圆弧。在椭圆弧上多画几个点，利用构造棱柱展开的方法构造棱台展开，如图11所示。 图 10 图

30、 11 使用说明：1 拖动点o ，可改变椭圆弧的长短和方向；2 通过改变EF 的长短和方向，可改变立体图形的母线长短和方向；3 调节点B 的位置，可使展开具有较好的视觉效果；4 单 开。课件应用：本课件设计的主要目标是想改变以往立体图形展开图作法过于复杂的问题。尽管本文呈现的这个课件在数形结合上还有待进一步的研究，但通过这个课件的制作，你一定能体会到几何画板课件制作的便捷与乐趣。这个课件可以在众多情况下应用。特别在讲解立体图形的侧面展开问题时，更需要有一个直观、立体的演示工具。这个课件就达到了这样一个目的！第三部分 学习几何画板的体会计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜

31、过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别它的表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。再加入良好的教学软件辅助更显示出计算机辅助教学的强大优势。所以，当代教师应该掌握计算机辅助教学，并达到对一两种软件的熟练使用。几何画板作为优秀的教学软件之一，是一个通用于数学，物理，天文的教学平台。其丰富的功能使用户可以随心所欲的编写所需的教学课件。该软件提供了充分的技术手段帮助用户实现其教学思想。用户只要熟悉它的简单使用技巧就可以自行设计和编写应用范例，无需学习任何编程语言。所做的课件所体现的并不是设计者的计算机软件应用水平，而是他具有的数学教学思想和实际教学水平。几何画板不仅能够帮助教师扩展在传统教学中的能力，而且还为新的教学方法提供了可能。在新的教学方法中，强调学生的主体参与，学生课堂的主体，通过学生的