中考数学压轴题几何证明题必备

1、学习必备欢迎下载例题讲解【例1】如图10,平行四边形ABC时，AB=5,B0=10,BC边上的高A附4,E为BC边上的一个动点(不与BC重合).过E作直线AB的垂线，垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DR(1)求证：ABEMACEG(2)当点E在线段BC上运动时，BEF和ACEG勺周长之间有什么关系？并说明你的理由.(3)设BE=x,zDEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？解析过程及每步分值1) 因为四边形ABC国平行四边形，所以AB|_DG1分所以.B=/GCE,G=/BFE所以BEFsCEG3分2) )zBEF与4C

2、EG的周长之和为定值.4分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H,因为G"AB所以四边形FHC矩形.所以FH=CGFG=CH因此，4BEF与4CEG的周长之和等于BC+CI+BH由BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,所以BOCHFBH=246分理由二：6分由AB=5,A阵4,可知在RtBEF与RtAGCEE,有：4343EF=-BE,BF=?BE,GE=EC,GC=、CE,55551212所以，BEF的周长是BE,ECG勺周长是CE55又BE+CE=10,因此口BEF与LlCEG的周长之和是24.学习必备欢迎下载(3)设B9x,则EF=4x,GC=3(10x)

3、551,1436222所以y=EFDGx-(10-x)5=-x2-x2255255配方得：y所以，当x6,55、2121=(x-)2256655=时，y有取大值.6最大值为12168分9分10分【例2】如图二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与坐标轴交于点ABC且OA=1 OB=OC=3.(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3)点MN在y=ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边)且MN/x轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.解析过程及每步分值(1)依题意A(1,0)B(3,0),C(0,3)分另iJ代入y=ax2+bx+c1分解方程组得所求解析式为y=

4、x22x34分2-2一(2)y=x2x3=(x1)-45分二顶点坐标(1,一4),对称轴x=17分(3)设圆半径为r,当MN在x轴下方时，N点坐标为(1+r,-r)8分2一-117.把N点代入y=x-2x-3得r9分学习必备欢迎下载同理可得另一种情形r=1172圆的半径为'4斤或1+折10分22【例3】已知两个关于x的二次函数y与当x=k时，y2=17;且二次函数丫2的图象的对称轴是直y2,y1=a(xk)2+2(ka0),y1+y2=x2+6x+12线x=-1.(1)求k的值；(2)求函数y1，y2的表达式；(3)在同一直角坐标系内，问函数1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由.

5、解析过程及每步分值(1)由y1=a(x-k)2+2,y1+y2=x2+6x+12得y2=(y1+y2)y1=x2+6x+12a(xk)22=x2+6x+10_a(xk)2.又因为当x=k时，y2=17,即k2+6k+10=17,解得k1=1,或k2=-7(舍去)，故k的值为1.(2)由k=1,得y2=x2+6x+10-a(x-1)2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a,2a6所以函数y2的图象的对称轴为x=,2(1-a)于是，有-2a+6=-1,解得a=-1,2(1-a)所以y1=x2+2x+1,y2=2x2十4x十11.(3)由y=(x1)2+2,得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，

6、顶点坐标为(1,2)；由y2=2x2+4x+11=2(x+1)2+9,得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(-1,9)；故在同一直角坐标系内，函数0的图象与y2的图象没有交点.学习必备欢迎下载【例4】如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O居到直线1,设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、BOP为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6&<S<

7、;6+8应时，求x的取值范围.解析过程及每步分值解：(1)y=x2+4x=(x+2)2-4A(-2,-4)(2)四边形ABRO为菱形时，P(-2,4)一_.24四边形ABOP为等腰梯形时，Pi(-)5,5四边形ABPO为直角梯形时，Pi(-,8)55,612四边形ABOP为直角梯形时，Pi(-)5,5(3)由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线1的函数关系式是y=-2x学习必备欢迎下载当点P在第二象限时，x<0,POB的面积S.POB=4(-2x)=4x1AOB的面积SOB=-x4x4=8,S=SAOB'SPOB="x'8(x:二0)

8、46.2<S<68、2,S.46,2S.68.2口.<-4x+8>4+6V2即J-4x8<682S<2-3.221-4,22.x的取值范围是上"2<x<23<2当点P在第四象限是，x>0,过点AP分别作x轴的垂线，垂足为A、P'则四边形POAA的面积SpoaA=S梯形ppAA-SppO=42x,11，c、(x2)(2x)x=4x421一.AA'B的面积S.B=1父4M2=4S-SPOAAS.AaB=4x8(x0)4+6衣<S<6+872,-3V2-2S-46.2,iiS<68-2口4x+8&

9、gt;4+6V2即,4x+8<6+8<2x岂24-2-1S2，-32-24,21.x的取值范围是322<x42一122【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）学习必备欢迎下载(1)分别求出利润yi与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：(1)设yi=

10、kx,由图所示，函数yi=kx的图像过(1,2),所以2=k1,k=2故利润yi关于投资量x的函数关系式是y=2x；因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax2,由图12-所示，函数y2=ax2的图像过(2,2),所以2=a22,a=-2故利润y2关于投资量x的函数关系式是y=-x2；2(2)设这位专业户投入种植花卉x万元(0wxw8),则投入种植树木(8-x)万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得1 21212z=2(8-x)+x=x-2x16=-(x-2)142 22当x=2时，z的最小值是14;因为0<x<8,所以2Mx2<6所以(x-2)2<36所以1(x-2

11、)2<1821 .所以一(x2)2+14<18+14=32,即z<32,此时x=82当x=8时，z的最大值是32.【例5】如图，已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大，B点的对应点为C.学习必备欢迎下载,求该抛物线的解请找出抛物线上所(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上析式并画出函数图象；(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,有满足到直线AB距离为3"的点P.解析过程及每步分值解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为D,由位似图形性质可知:ACBO4ABSA

12、CDAO=-ADCD9由已知A(T,0),B(0,4)可知：AO=4,BO=4.AD=CD=9.C点坐标为(5,9).直线BC的解析是为:9-45-0化简得：y=x.4学习必备欢迎下载4=c2,一、一(2)设抛物线斛析式为y=ax+bx+c(a>0),由题意得：<9=25a+5b+c,2b-4ac=0-1a2二1r4=125I.4斛信：6=4«b2=一ci=4；L1Q=42194，解得抛物线解析式为y1=x4x+4或y2=x+x+4.255124又y2=x2十一x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去.255.满足条件的抛物线解析式为y=x2-4x4(准确画出函数y=

13、x2-4x+4图象)(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到直线AB的距离为h,故P点应在与直线AB平行，且相距3”的上下两条平行直线|1和12上.由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为3垃如图，设|1与y轴交于E点，过E作EHBC于F点，在RtBEF中EF=h=3右，/EBF=/ABO=45'，BE=6.，可以求得直线11与y轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线|2与y轴交点坐标为(0,-2)，两直线解析式11:丫=*+10;l2：y=x2.222y=x-4x+4y=x-4x+4根据题意列出方程组：4y；ry=x10y=x-2后力口x1=6

14、x2=-1x3=2x4=3，解得：11;22;33;4y=16y2=9)3=0y4=1满足条件的点P有四个，它们分别是以6,16),F2(T,9),P3(2,0),F4(3,1)【例6】如图，抛物线L1:y=x2-2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向学习必备欢迎下载N为顶点的四边P关于原点的对右平移2个单位后得到抛物线L2,L2交x轴于GD两点.(1)求抛物线L2对应的函数表达式；(2)抛物线或12在x轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是抛物线Li上的一个动点(P不与点AB重合)，那么点称点Q是

15、否在抛物线L2上，请说明理由.解析过程及每步分值解令得-2工+3=0,二工i一3,工士=L.,.A(一，03B(I,0).,抛物我匕向右平移2个单位得抛物线L-，以-2=-1.，抛物线L为3-一(工+1)(工一箝，即y=箝+2=+3.虫)存在.令父=0,得抛物线L是向右平移2个单位得到的，:,盘N(2,3)在5上+且=又丫八匚=磊二""=月。./,四边形ACNM为平行四边膨.同理,上的点NY-2,3)辆足NfM/AC,M=Aa，四边形ACMN'是平行四边形二N2,3,W(一磊3)即为所求.学习必备欢迎下载（幼设是L*上任意一点则点P关于原点的对称点Q（一与一立3且V

16、=一Hi*-2町十3»将点。的横坐标代入L2,得皿。一工/一2与+3=）港-m*二点Q不在抛物绫1“上【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3掷，点P是边BC上的动点（点P不与点B,点C重合），过点P作直线PQ/BD,交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x,PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.（1）求/CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上?（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的二?解析过程及每步分值解：（1）如图，:四边形ABCD是矩形，:AB=CD,AD=BC.

17、又AB=9,AD=3百，/C=90',二CD=9,BC=3行.一BC3；.tanCDB=，.CDB=30.CD3'/PQ/BD,，/CQP=CDB=30.(2)如图1,由轴对称的性质可知,RPQCPQ,，RPQ=/CPQ,RP=CP.由(1)知CQP=30；,.RPQ=/CPQ=60"学习必备欢迎下载，/RPB=601RP=2BP.；CP=x,.PR=x,PB=3/3x.在4RPB中，根据题意得：2(3j3x)=x,解这个方程得：x=2j3.(3)当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，11320<x<2屈,Sacpq=父CPmCQ=x|_/3x=x,222':RPQWACPQ,二当0<xW2由时，y=/x2当R在矩形ABCD的外部时（如图2）,2j-cx33j-,在RtPFB中，：'/RPB=60,，.PF=2BP=2(3.3-x),又；RP=CP=x,RF=RP-PF=3x-63,在RtAERF中，:'/EFR=/PFB=30,.ER=V3x-6.SAerf-1ERFR-3-3x2-18x18.3,22*y-SarpqSaerf,二当273Mx<3向时，y=6x2+18x-18>/3.综上所述，y与x之间的巨邈解析式是:i、3x218x