专题椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展

1、专题7.12:椭圆的极点和极线相关问题的研究与拓展【问题提出】22椭圆极点和极线的定义与作图：椭圆C:与与1a>b>0，那么称点P(x0,y0)和直线ab蚱驾_1为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.a2b2从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考：1假设点P(xo，yo)在椭圆上，那么其对应的极线是什么2椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么3过椭圆外上、内任意一点P(x0,y0),如何作出相应的极线？如图3.没尸为不在留等的线上的点.过点产引两条刚线依次交制靴曲线于四点EtF.6nM连络EffJG交于点M连结EU/H交于点M,则棒XA为点时府的横线.若产为陶惟曲线t

2、的克,过点尸的切线即为横缰.%【探究拓展】22探究1：在平面直角坐标系xoy中，如图，椭圆21的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点95Tt,m的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m>0,y10,y20.标与m无关-3,0。1设动点P满足PF2PB24,求点P的轨迹；12设x12,x2一，求点T的坐标；33设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点其坐解：1设点Px,y，那么：F2,0、B3,0、A由PF2PB24,得(x2)2y2(x3)2y24,化简得x9。29故所求点P的轨迹为直线x-2一12将2区一分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：3直线

3、MTA方程为:3y53联立方程组，解得:3点T的坐标为直线NTB方程为:2分别与椭圆人9解得:3(80M(80方法0,解得:20当x11x1xI,3直线NTB方程为:y020-9x3日口,即13310，所以点的坐标为10(7T)(9,m)直线MTA方程为：-ym即ym(x63)1m(x3),m2)2m1联立方程组,40m80m2)、X2时，直线MN同时考虑到n"方程为:Xi3,X220m)20m2)20m220m240m80m220m20m23(m220)220m2X1。此时必过点D1,0;x2时，直线MN方程为：x1,与x轴交点为D1,0。所以直线MN必过x轴上的一定点D1,0。方

4、法2假设x1x2,那么由一-2一2一2403m3m60一2一80m20m223(80m2)3(m220)8020m2此时直线MN的方程为x2.10,假设xx2,那么m2b0,直线MD的斜率Kmd40m80m2-一一22403m2d180m210m_2,40m20m2直线ND的斜率kND20mND3m260dT120m2因此，直线MN必过x轴上的点1,探索解析几何问题中的两个技巧10m2,得kMDkND,所以直线MN过D点。40m2(1)用“袪求直线方程点斜式，或者两点式其实采两点坐标，求经过这两点的直线方程.通常采取的方法是，或者用下面介绍的“法，运算将更加迅速简洁.现介绍如下:假设A不，片，

5、B,丁会，求直线AB的方程.先将两个点的坐标上下对齐书写，假设最终求出的直线方程为Ax+By+C=0,那么再一乃二刃，士一工1二这种方法既形象直观，又运算简洁，更重要的是防止了许因为字母运算时需要分类讨论的繁琐.大家不妨以假设A一2,1，B3,1，求直线AB的方程''为例试试看.2巧妙分解因式通常由直线方程与二次曲线方程联立方程组求交点坐标，这种运算是可怕的，尤其是含有大量字母运算时，但当直线与二次曲线有一个公共点时，那么可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一个公共点的坐标.下面以椭圆为例讲解这种运算技巧:工+p_假设公共点为缶必），椭圆方程为1,设直线方程为尸一,二1fcs

6、-与），那么口37J-1La'丽）0+西）+0r）0+7口）_o度产，将尸周二代工-%）代入上式得，显然有公因式！兀-与），从而很方便地求出另一个交点坐标.卜面运用前面介绍的两个技巧解答2021江苏省高考数学第18题的第问.先求点M的坐标:工yr+=-=1?5一疗0口（元-3）0十3）4/n"T1*十-LJm,小y-（r+将直线TA:12代入上式得5十9哈2显然x+3=0时，即为点A.要求点M,那么约去x+3得_3(80-支一这十就代入直线TA:12得点M的坐标为I洌“+30第'+80郅0-加)40碑So?-20)20跳、同理，可求出点N的坐标为I疝+2°,

7、十刈用“a法写出直线MN的方程，并及时令V=0得*皿陋+2。冽无+3（毋一80）2。53（苏-20）4U取_Q%解°十8。1+2。,+8。筛+2Q酬°+2Q/+8。得（xr）由于m>0,化简得(3"+12。)工=3/+12口，那么乂=12P地ri口I叫Z,解X(ar)2t2(ar)2t2y2ytar(x2,、2rtr(ar)Q722r)(ar)2t22tr(ar)(ar)2t2于是直线PQ的斜率,2atkpQ=a2-t2-r2'直线PQ的方程为y上式中令y=0,得x2tr(ar)2atvr(a22222X(ar)tatr(ar22=L,是一个与tPQ

8、过定点J,0aar)2rt2证法二：由题设得Ai(r,0),A2(r,0).设M(a,t),直线MAi的方程是：y=-;(x+r),与圆C的交点P设为P(xi,yi).a+i直线MA2的方程是：y=aT、(xr);与圆C的交点Q设为Q(x2,y2)那么点P(xi,yi),Q(x2,y2)在曲线(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上,化简彳导(a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)=0.又有P(xi,yi),Q(x2,y2)在圆C上，圆C:x2+y2-r2=0.t2x得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)-t2(x2-r2)-t2(x2+y2-r2)=0,化简彳导:(

9、a2-r2)y-2t(ax-r2)t2y=0.所以直线PQ的方程为(a2r2)y2t(axr2)-t2y=0.2r在中令y=0得x=一,a故直线PQ过定点3变式：椭圆C的离心率e，长轴的左右端点分别为Ai(2,0),A2(2,0).2i求椭圆C的方程;m变化时，点S是2设直线x=my+i与椭圆C交于两点P,Q,直线A1P与A2Q交于点S,试问：当否恒在一条定直线上？假设是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；假设不是，请说明理由.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？即直线MN必过x轴上的定点1,0探究2：在平面直角坐标系xOy中，圆C:x，y2=r2和直线l：x=a其中r和a均为常数，且0<r<a，M为l上一动点，Ai,A2为圆C与x轴的两个交点，直线MAi,MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.1假设r=2,M点的坐标为(4,2),求直线PQ方程；2求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标.x2y24解：1当r=2,M(4,2),那么Ai(-2,0),A2(2,0).直线MAi的万程：x3y+2=0,解得x3y20224P8,6.直线MA2的方程：xy2=0,解*xy'得Q0,2.由两点式，得直线PQ方程为：55xy202x-y-2=0.另解：(1)当r=2,M(4,2),那么Ai(-2,0),A2(2,0).直线MAi的方程：x-3y+2=0,直线MA