专题三_几何图形的折叠与动点问题

1、专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关国在（2018河南）如图，/MAN90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,BC与ABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接AE.当EF为直角三角形时，AB的长为.【分析】当EF为直角三角形时，存在两种情况：/A'EF=90°,/A'FE=90°进行讨论.【自主解答】当EF为直角三角形时，存在两种情况：当/A'EF=90°时，如解图，A'BC与4ABC关于BC所在直线对称，A'

2、;C=AC=4,/ACB=/A'CB；点D,E分别为ACBC的中点，DE>AABC的中位线，DE/AB,./CD丘/MAN=90°,/CDM/A'EF,.AC/A'E,/ACB=/A'EC/A'CB=/A'EC：A'C=A'E=4.在RtAA'CB中，:E是斜边BC的中点，BC=2A'E=8,由勾股定理，得AB2=BCAC,AB=寸8：_42=4/;当/A'FE=90°时，如解图，/ADF=/A=/DFB=90°./ABF=90°,BC与AABC关于BC所在直线

3、对称，./ABC=/CBA=45°,.ABC是等腰直角三角形，.AB=AC=4;综上所述，AB的长为4y3或4.图1. .如图，四边形ABCDM菱形，AB=2,/ABC=30°,点E是射线DA上一动点，把CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D',连接D'B.若使BC为等边三角形，则DE=.2. 如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为ABAC上的点，沿直线EF将/B折叠,使点B恰好落在AC上的D处.当ADE恰好为直角三角形时，BE的长为3. （2017河南）如图，在RtAABC中，/A=90°,AB=AC

4、BC=2+1,点M,N分别是边BCAB上的动点，沿MN所在的直线折叠/B,使点B的对应点B'始终落在边AC上.若AMBC为直角三角形，则BM的长为4. （2018新乡一模）菱形ABCD的边长是4,/DAB=60°，点MN分别在边ADAB上，且MNLAC垂足为P,把AAMN沿MNf叠得到MN若DC恰为等腰三角形，则AP的长为.5. （2017三门峡一模）如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点，连接AD,将AACD沿AD折叠，点C落在点C',连接C'D交AB于点E,连接BC.当ABCD是直角三角形时，DE的长为.

5、6. （2018盘锦）如图，已知RtAABC中，/B=90°,/A=60°,AC=23+4,点MN分别在线段AGAB上.ANM沿直线MNf叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为.7. （2018乌鲁木齐）如图，在RtAABC中，/C=90°,BC=20AC=2,点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到AB'DE的位置，B'D交AB于点F,若AAB'F为直角三角形，则AE的长为.8. （2017洛阳一模）在菱形ABC叶，AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点，过点P

6、作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将AAEF折叠，使点A落在点A处，当A'CD为等腰三角形时，AP的长为9. （2018濮阳一模）如图，在RtAABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点.若将ZC沿DE折叠，点C的对应点C'恰好落在AB上，且AADC恰好为直角三角形，则此时CD的长为类型二点的位置不确定例滤（2016河南）如图，已知AD/BCAB±BCAB=3,点E为射线BC上一个动点，连接AE,将AABE沿AE折叠，点B落在点B'处，过点BYAD的垂线，分别交AD,BC于点M,N.当点B'为线段MN的

7、三等分点时,BE的长为【分析】根据勾股定理，可得EB',根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案.【自主解答】由翻折的性质，得AB=AB',BE=B'E.当MB=2,B'N=1时，设EN=x,得B'E=y/x2+1.由AB'EN-AABZM当MB=1,B'N=ENB'Exx2+124435一=丁，即/3，x=5，BE=B，E=,1=5；2时，设EN=x,得B'E=Jx"+?,AB'ENAAB'M=7,即x=4,解BMAB13得x2=；,BE=BE=乎，故答案为：呼或呼.1.如图，

8、正方形ABCD勺边长为9,将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三等分点，则线段CH的长是点为A'.若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3,则AE的长为3. （2015河南）如图，矩形ABC叶，AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在/ABC的平分线上时,DE的长为4. （2017商丘1K拟）如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，把ADE沿直线AEDE的长为折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则5. 如图，在矩形ABCD中，BC=6,CD=8

9、,点P是AB上（不含端点A,B）任意一点，把PBC沿PC折叠，当点B的对应点B'落在矩形ABCD对角线上时，BP=6. （2018河南IK拟）如图，ABC中，AB=、/5,AC=5,tanA=2,D是BC中点，点P是AC上一个动点，将BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与PBC的重合部分面积恰好等于BPD面积的一半，则AP的长为7. 在矩形ABC叶，AB=6,BC=12,点E在边BC上，且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠，点C,D的对应点分别为C',D',折痕与边AD交于点F,当点B,C',D'恰好在同一直线上时，AF的长为类型三根据图形折叠探究最值问

10、题（SSSh口图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=3,点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到A'EF,则A'C的长的最小值是【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值，根据折叠的性质可知A'E=1,在内BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-A'E即可求出结论.例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A在线段CE上时，A'C的长取最小值，如1.122解图所示.根据折叠可知：AE=AE=AB=1.在RtABCE

11、中，BE=-AB=1,BC=3,/B=90,.CE=JBE2+BC2221=木0,.A'C的最小值=CE-A'E=yi01.故答案为严1.1 .（2019原创）如图，在边长为10的等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将ADE沿DE翻折得到A'DE连接BA',则BA'的最小值是.2 .在矩形ABC叶，AD=12,E是AB边上的点，AE=5,点P在AD边上，将AEP沿EP折叠，使得点A落在点A'的位置，如图，当A'与点D的距离最短时，A'PD的面积为.3 .如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F

12、是BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到AEB'F,连接B'D.则当B'D取得最小值时，tan/BEF的值为.4 .（2017河南IK拟）如图，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折ADBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为.参考答案类型一针对训练1.，3+1或2，32【解析】(1)当点E在边AD上时，过点E作EF,CD于F,如解图，设CF=x,第1题解图,/ABC=30°,./BCD=150°.BCD是等边三

13、角形，/DCD=90°.由折叠可知，/ECD=/D'CE45°,EF=CF=x,在直角三角形DEF中，/D=30°,.DE=2x,.DF=>/3x,.CD=CF+DF=x+4x=2,解得x=/x1,DE=2x=2>/3-2.(2)当E在DA的延长线上时，如解图.过点B作BF,DA于点F,根据折叠可知，/IV第1题解图EDC=/D=30°,又,三角形BDC是等边三角形，：D'E垂直平分BC,ADIIBC.：D'E±AD/ABG=30°/BA已30°,又AB=2,.1.AF=出.令D'

14、E与BC的交点1为G,则易知EF=BG=BC=1,AE=3-1,DE=J3+1,综上所述,DE的长度为73+1或273-2.2 .15或15【解析】在RtAABC中，/C=90°,AB=5,AC=4,BC=873 .沿直线EF将/B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质:BE=DE,设BE=x,贝IDE=x,AE=5-x,当/AD290°时，则DEE/BGDf=A1.X=5irX,解得x=15；当/AED=90°时，则AEAACBCBAB35o/Al3=亭,解得x=U，故所求BE的长度为：15或15.BCAC347871111

15、13. 2也+2或1【解析】如解图，当/B'MC=90°,B'与A重合，M是BC的中点，BM-B2/2+2；如解图，当/MBC=90°,/A=90°,AB=AC./C=45°,CMB是等腰直角三角形，CMk：2MB.沿MN所在的直线折叠/B,使点B的对应点为B',BMkB'M.CMk，2bMBC=，2+1,.CMbBMh/BMBMh，2+1,.BMh1,综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为1+或1.*即图图第3题解图4. 4/3或2/2【解析】如解图，当A'D=A'C时，/A'DC=/A&#

16、39;CD=30°,./AA'D=60°.又/CAD=30°,./ADA=90°,在RtAADA中，AA'AD48=一3="3,由折叠可得cos30J33VVAP=gAA，=娇图第4题解图3如解图，当CD=CA=4时，连接BD交AC于O,则RtACOD中,C0=CDXcos30=4><¥=可3,.AC=4#,.AA'=AC-A'C=473-4,由折叠可得AP=1AA'=242;故答案为4v3或252.235. 3或4【解析】如解图所示，点E与点C'重合时.在RtAABC中，B

17、C=ABI-AC：=4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE,贝UEB=2.设DC=ED=x,贝UBD=4-x.在RtADBE中，D+BE2=D,即x2+22=(4-x)33解得x=2.DE=2,图第5题解图如解图所示：/EDB=90°时.由翻折的性质可知：AC=AC,ZC=/ACD=90°,;/C=/ACD=/CDC=90°,四边形ACDC为矩形.又AOAC,四边形ACDC为正方形.CD=AC=3,.DB=BC-DC=43=1,/DE/AC.BDmBCA.：DE=DB=；,即孚=1,解得DE=3,点D在CB上运动，/DBC<90°,ACC

18、B4344故/DBC不可能为直角.故答案为：3或3.246,2当+4或乖【解析】分两种情况：如解图，当/CD*90°,ACDM是直角三角形，,在RtAABC中，I1/B=90°,/A=60°,AC=2，3+4,/C=30°,AB=,AC=也+2,由折叠可得，/MDN=/A=60°,/BDN=30°,.,.BhJ=1DN=1AN/BN=1AB=小十、,.AN2BN=23+4-,/DNB=60°,/AN附/DNM=60°,223333./ANM=60°,.AN=MN=2木+'.如解图，当/CMD=90

19、°时，ACDM是直角三角形，由题可得/CDM=360°,/A=/MDN=60°,/BDN=60°,/BND=30°,.BD=DhJ=AN,BN=BD,又AB=爪+2,.AN1=2,BN=3,过N作NHLAM于H则/ANH=30,.,.AH=-AN=1,HN=木,由折叠可得/AMN=/DMN=45,L22M3+4J-.MNH是等腰直角三角形，.HM=HN=枳，.MN=，6,故答案为/一或、/6.3图AC2：3，.一一777；=-,-ZB=30，AB=2AC=BC233的位置，B'D交AB于点F,1.DB=DC=4-x,当/AFB=90&#

20、176;时，在RtABDF中，na图第6题解图14.7.39或手【解析】，/90。，BC=2.,；'3,AC=2,tan4.点D是BC的中点，沿DE所在直线把BDE翻折到B'D'EB'=EB,/DBE=/B=30°.设AE=x,则BE=4-x,EB'cosBBFBD'BF=.：3cos30一,EF=一(4x)=x.在222RtAB'EF中，/EB'F=30°,.EB'2EF,一一,5则4x=2(x2),解得x=3,此时AE为3;8,第7题解图当/FB'A=90°时,作EH1AB'

21、;于H,连接AD如解图，1DC=DB,AD=AD,RtAADlB仁RtAADCAB'.在RtAEHlB中，B'H=1B'2E=2(4x),EH=3BZH=¥(4x),在RtAAEH中，vEH2+AH?=aE!,-(4-x)2+(4-x)+22=x2,解141414得x=u，此时让为彳综上所述，虫的长为3或5.90°,./EA4/AEP=90°,/FA4/AFP=90°,/AEP=/AFPAE=AF.FA'EF是由AAEF翻折，AE=EA',AF=FA',AE=EA'=AF=FA,四边形AEAF是菱形

22、，AP=PA'.当CD=CA时,.AA'=AC-CA=3,_1,.AP=2AA3,2.当Ac=AD时，/A'CD=/A'DC=/DAC,A'CDC.A'CDADAC；=.A'C=ADAC39339,ap=2aa'=石，故答案为2或行9.当或8.2或【解析】四边形ABCDM菱形，.-.AB=BC=CD=AD=5,/DAC=/BAC.EF,AA',./EPA=/FPA【解析】如解图，当/ADC=90°时，/ADC=/C,73第9题解图AD33-x3.DC/CB.ADCsmcb又-3*,BO4,后二疝设CAC况x,则A

23、D=3-,.=解得x12经检验:1212y是所列万程的解，CD=y；如解图，当/DCA=90时，/DCB90,第9题解图由折叠可得，/C=/DCE=90°,.C'B与CE重合，由/C=/ACD=90°,/A=/A,可得AADCsAABC,在RtAABC中，AB=5,/.-AD-=AB=5,设CD=C'D=x,则AD=3-x,/.3x=|,解得x=4,.CA4.综CDCB4x433一，一，12,4上所述，CD的长为或3.类型二针对训练1.4或5【解析】设CH=x,则DH=EH=9x,当BE：EC=2：1时，BC=9,.CE=-BC=3.在RtAECH中，23E

24、H2=EC2+CH,即(9x)2=32+x2,解得x=4,即CH=4.当BE：EC=1：2时，CE=2BC=6.在RtAECH中，EH23=EC2+CH,即(9x)2=62+x2,解得:55,5x=,即CH=2.故CH的长为4或万.2.或【解析】如解图，过点75A'乍A'MLAD于M交BC于N,则四边形ABNM矩形，AB=MN=4.二若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1:3,.A'M=1,A'Nl=3或A'M=3,A'Nl=1.当A'M=1,A'N=3时，在RtABA'N中，BN=42-32=卡,.AM=BNI=

25、卡.由EM-ABAN,EM=-7,AE=当AM=3,AN=1时，同理可得AE=色gl.EMAMEM1.'.Anbn，3"第3题解图点D的对应点D'落在/ABC的平分线上，MD=PD.设MD=x,则PD=BM=x,.AM=AB-BM=7-x,又由折叠图形可得AD=AD'=5,.,.x2+(7x)2=25,解得x=3或4,即MD=3或4.在RtAENlD中，设ED22255=a,当MD=3时，AM=73=4,D'Nl=53=2,EN=4-a,.,.a2=22+(4-a)2,解得a=-,即DE=;当MD=4时，AM=74=3,D'N=54=1,EN=

26、3-a,.,.a2=12+(3-a)2,解得a=5,即DE=-.综上所3355述，DE的长为k或-.235.4.2或10【解析】分两种情况：如解图，当点F在矩形内部时，点F在AB的垂直平分线MN上，.AN=4.1.AF=AD=5,由勾股定理得FN=3,FM=2.设DE为x,则EM=4-x,FE=x,在AEMF中，由勾股定理，得x2=(4-x)2+2：.x万，即DE的长为2图第4题解图如解图，当点F在矩形外部时，同的方法可得中，由勾股定理，得y2=(y-4)2+82,.-.y=10,FN=3,.FM=8,设DE为y,贝UEM=y4,FE=y,在EMF即DE的长为10.综上所述，点F刚好落在线段A

27、B的垂直平分5线上时，DE的长为2或10.95.3或2【解析】点A洛在矩形对角线BD上，如解图，:在矩形ABCD中，AB=8,BC=6：/ABC=90°,AC=BD-AOBD=.62+82=10.根据折叠的性质,得PC!BB',一八八八BPBC,./PBD=/BCP,.BC即AABD,ADABrBP6-9即展=£解得BP=-;点A落在矩形对角线AC上，如解图，根据折叠的性质，得BP=B'P,/B=/PB'C682=90°,./ABA=90°,.APBsAACIB空"=1,即BT=解得BP=3,故答案为：3或9.BCAC6

28、102图图第5题解图6. 2或5-4【解析】分两种情况：当点B'在AC的下方时，如解图，是BC中点，SBPD=SaPDC,1 1SAPDF=2s4BPD,SAPDF=2Sapdc.-.F是PC的中点，DF是ABPC的中位线，DF/BP,./BPD=/PDF由折叠得：/BPD=/B'PD/B'PD=/PDFPB'=B'D,即PB=BD过B作BELAC于E,在RtAABE中，BEtanA=ae=2,.AB=邓,.AE=1,BE=2,.EC=51=4,由勾股定理，得BC=BE"+EC2=22+42=2近,.D为BC的中点，.BD=邓,pPB=BD=邓

29、，在RtABPE中，PE=1,.AP=AE+PE=1+1=2;图图第6题解图当点B'在AC的上方时，如解图，连接B'C,同理得：F是DC的中点，F是PB'的中点，DF=FC,PF=FB',.四边形DPCB是平行四边形，.PC=B'D=BD=*，.A之5-邓,综上所述，AP的长为2或5,5.7. 8+2小或82小【解析】由折叠的性质得，/ECD'=/C=90°,CE=CE：点B、C'、D'在同一BE_直线上，BCE=90,BC=12,BE=2CE.BE=8,CE=CE=4,在RtABCE中，77=2,./CBEC=30&#

30、176;.当点C'在BC的上方时，如解图，过E作EGLAD于G延长EC交AD于H,则四边形ABEG是矩形，EG=AB=6,AG=BE=8,丁/C'BE=30°,/BCE=90°,./BEC=60°,由折叠的性质得，/C'EF=/CEF=60°./AD/BC-/HFE=/CEF=60°,.EFH是等边三角形，.在RtAEFG中，EG=6,.GF=2>j3,.-.AF=8+2#;当点C'在BC的下方时，如解图，过F作FG!AD于G,D'F交BE于H,同可得，四边形ABGF是矩形，AEFH是等边三角形，,.AF=BGFG=AB=6,/FEH=60°,在RtAEFG中，GE=273.BE=8,.BG=82击，A