第三章 静定结构的受力分析

1、土木与水利工程学院土木与水利工程学院第三章静定结构的受力分析3-1 3-1 杆件的内力计算回顾杆件的内力计算回顾3-2 3-2 静定梁的内力计算静定梁的内力计算3-5 3-5 三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算3-4 3-4 静定平面桁架的内力计算静定平面桁架的内力计算3-3 3-3 静定平面刚架的内力计算静定平面刚架的内力计算3-6 3-6 组合结构的内力计算组合结构的内力计算3-7 3-7 静定结构的静力特性静定结构的静力特性土木与水利工程学院土木与水利工程学院3-1 3-1 杆件的内力计算回顾杆件的内力计算回顾一、截面内力一、截面内力(internal forces)计算计算1.1.内力的

2、正负规定内力的正负规定截面应力截面应力(stresses)沿轴线切向的合力，沿轴线切向的合力，以拉力为正，压力为负。以拉力为正，压力为负。FN剪力剪力FQ (shearing force)： 截面上应力沿轴线法向的合力，截面上应力沿轴线法向的合力，以绕隔离体顺时针转为正。以绕隔离体顺时针转为正。FQ截面上应力对截面形心的力矩。截面上应力对截面形心的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。MM图示均为正的轴力和剪力轴力轴力FN (normal force)：弯矩弯矩M (bending moment)：FNFQ土木与水利工程学院土木与水利工程学院计算梁截面内力的基本方法

3、：计算梁截面内力的基本方法：截面法截面法2.2.截面法求指定截面内力截面法求指定截面内力截开、代替、平衡。截开、代替、平衡。ql2qql2450ABCDlll求图示结构求图示结构D截面的内力：截面的内力：FAxFAyFBy1）求支座反力：）求支座反力：0 xF045cos20qlFAxqlFAx)(0)(FMA0345sin2)2(212022lsqllqqllFByqlFBy2)(0)(FMB045sin2)2(212022lqllqqllFAyqlFAy)(土木与水利工程学院土木与水利工程学院2）求）求D截面内力：截面内力：ql2qql2450ABCDlllFAxFAyFByql2qADl

4、FAxFAyFNDMDFQD0 xF0AXNDFFqlFFAxND0yF0AyQDFqlF0AyQDFqlF0)(FMD02122qllFqlMAyD2222121qlqllFqlMAyD土木与水利工程学院土木与水利工程学院ql2qql2450ABCDlllFAxFAyFByqql2450BCDllFByFNDFQDMDqlqlFND045cos2045sin20qlFlqFByQD20221245sin221qllqllFqlMByD轴力轴力= =截面一侧的所有外力（包括支座反力）沿轴切线方向投截面一侧的所有外力（包括支座反力）沿轴切线方向投影的代数和。其投影方向左左为正，右右为正。影的代数

5、和。其投影方向左左为正，右右为正。剪力剪力= =截面一侧的所有外力（包括支座反力）沿轴法线方向投截面一侧的所有外力（包括支座反力）沿轴法线方向投影的代数和。其投影方向对截面形心顺时针转动时为正，反之影的代数和。其投影方向对截面形心顺时针转动时为正，反之为负。即左上为正，右下为正。为负。即左上为正，右下为正。弯矩弯矩= =截面一侧的所有外力（包括支座反力）对截面形心的力截面一侧的所有外力（包括支座反力）对截面形心的力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边时为正，反之为负。矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边时为正，反之为负。内力的直接算式：内力的直接算式：土木与水利工程学院土木与水利工程学院二、荷

6、载与内力之间的关系二、荷载与内力之间的关系微分关系给出了内力图的形状特征微分关系给出了内力图的形状特征1 1 ） 微分关系微分关系qyFQFQ+dFQFNFN+dFNqxdxyxMM+dMxNqdxdF向下为正yyQqqdxdF ,QFdxdMFNFN+FNFxFQ+FQFQFy增量关系说明了内力图的突变特征增量关系说明了内力图的突变特征2 2） 增量关系增量关系mMM+MxNFFyQFFmM 土木与水利工程学院土木与水利工程学院内力图形状特征无何载区段无何载区段 均布荷载区段均布荷载区段集中力作用处集中力作用处平行轴线平行轴线斜直线斜直线 Q=0区段区段M M图图 平行于轴线平行于轴线FQ图

7、 M图备注二次抛物线二次抛物线凸向即凸向即q指向指向Q=0处处，M达到极值达到极值发生突变发生突变P出现尖点出现尖点尖点指向即尖点指向即P的指向的指向集中力偶作用处集中力偶作用处无变化无变化 发生突变发生突变两直线平行两直线平行m在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。土木与水利工程学院土木与水利工程学院3 3） 积分关系：积分关系：由微分关系可得由微分关系可得BAxxxABxqFFdNNBAxxyABxqFFdQQBAxxABxF

8、MMdQ右端轴力右端轴力= =左端轴力减去该段轴向分布荷载左端轴力减去该段轴向分布荷载qx的面积；的面积；右端剪力右端剪力= =左端剪力减去该段竖向分布荷载左端剪力减去该段竖向分布荷载qy的面积；的面积；右端弯矩右端弯矩= =左端弯矩加上该段剪力图的面积；左端弯矩加上该段剪力图的面积；土木与水利工程学院土木与水利工程学院1m2m1mABDCq=20kN/mP=20kNRA=70kNRB=10kN（a）m=40kN.m=5020210kN分布图的面积右左qQQAD分布图的面积QMMAD= 10+(50+10)22=50kN.m205010403010 M图 (kN.m)Q图 (kN)（c）（b）

9、105040土木与水利工程学院土木与水利工程学院三、三、叠加法作直杆的弯矩图叠加法作直杆的弯矩图l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q Q 图有一突变，荷载图有一突变，荷载向下突变亦向下。向下突变亦向下。 2 2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为逆时针向下突变；为逆时针向下突变；Q Q 图没有变化。图没有变化。 3 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M M图为抛物线，荷载向下曲图为抛物线，荷载向下

10、曲线亦向下凸；线亦向下凸；Q Q 图为斜直线，荷载向下直图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜线由左向右下斜土木与水利工程学院土木与水利工程学院MAMB1 1）简支梁情况）简支梁情况几点注意：几点注意：弯矩图叠加，是指竖标相弯矩图叠加，是指竖标相加，而不是指图形的拼合，竖加，而不是指图形的拼合，竖标标M ，如同，如同M、M一样垂一样垂直杆轴直杆轴AB，而不是垂直虚线。，而不是垂直虚线。利用叠加法绘制弯矩图可以利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩值，少求一些控制截面的弯矩值，少求甚至不求支座反力。而且少求甚至不求支座反力。而且对以后利用图乘法求位移，也对以后利用图乘法求位移，也提供了把复

11、杂图形分解为简单提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。图形的方法。 MAMB qMAMB qMMMAMBMMM土木与水利工程学院土木与水利工程学院2 2）直杆情况）直杆情况 QAQB 1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线； 2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 MAMBNANB qABYAYBMAMB qMAMBMM对于任意直杆段，不论对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静其内力是静定的还是超静定的；不论是等截面杆或定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的内各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结还是定向联结还是铰联

12、结弯矩叠加法均适用。弯矩叠加法均适用。 一竖二连三叠加一竖二连三叠加土木与水利工程学院土木与水利工程学院3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图土木与水利工程学院土木与水利工程学院10kN/m15kN60kN.m2m2m2m2m20M 图 (kN.m)3055 530

13、30m/2m/2m30303030303030303030土木与水利工程学院土木与水利工程学院分段叠加法作弯矩图的方法：分段叠加法作弯矩图的方法：（1 1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；矩值；（2 2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在

14、控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。产生的弯矩值。1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF G例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析分析该梁为简支梁，弯矩控制截该梁为简支梁，弯矩控制截面为：面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值解：解： （1）先计算支座反力）先计算支座反力17ARkN7BRkN（2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值土木与水利工程学院

15、土木与水利工程学院8kN4kN/mABCGEDF1m16kN.m1m2m2m1m1779FQ图（kN）16726430237836.128HxRA=17kNRB=7kN4888CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！M图（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN由 FQH=FQCqx=0 可得： xFQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图

16、的面积）26+92.25236.1（kN.m)1m土木与水利工程学院土木与水利工程学院四、斜梁的内力分析四、斜梁的内力分析 根据荷载分布情况有两种形式：根据荷载分布情况有两种形式： 1 1）沿水平方向分布的荷载，方向垂直向下。如人群等活荷载。）沿水平方向分布的荷载，方向垂直向下。如人群等活荷载。 2 2）沿杆长分布的荷载，方向也垂直向下。如：斜梁的自重。）沿杆长分布的荷载，方向也垂直向下。如：斜梁的自重。 ABlq斜梁在工程中的应用。如楼梯的斜梁、屋面的斜梁等。斜梁在工程中的应用。如楼梯的斜梁、屋面的斜梁等。 1.1.荷载形式荷载形式lABq土木与水利工程学院土木与水利工程学院工程中习惯把自重

17、转换成水平分布的，推导如下：工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下： lABABlqqdsdxqdxdsqcosqqdxdsq2.2.斜梁的内力计算斜梁的内力计算 斜梁的反力与相应简支斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。梁的反力相同。讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。土木与水利工程学院土木与水利工程学院1 1）支座反力的计算）支座反力的计算qlABlqABFAxFByFAyFAx0FAy00FByFx=0Fy=0MA=0FAx=0FAx=00FBy=1/2ql0FBy=1/2qlFAy=1/2ql0FAy=1/2ql 斜梁的反力与相应简支梁的反力相

18、同。斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。土木与水利工程学院土木与水利工程学院2 2）内力计算）内力计算qxAMkNkFQkFFAxFAyxqA0kM0 kMFAx0FAy00QkF0212 qxxFMAyk221qxxFMAyk 20021qxxFMAyk 0 kM结论：结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同0kkMM 0 yF0 yFqxFFAyQk 000coscosqxFFQkAycos)(qxFFAyQkcos0QkF土木与水利工程学院土木与水利工程学院qxAMkNkFQkFFAxFAyxqA0kMFAx0FAy00QkF0 xF0sinsinqxFF

19、NkAysin)(qxFFAyNksin0QkF剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切线及轴线剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切线及轴线上的投影。上的投影。ABABAB281qlM图图cos21qlcos21qlFQ图图FN图图sin21qlsin21ql土木与水利工程学院土木与水利工程学院3-2 3-2 多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算一、多跨静定梁的几何组成特性一、多跨静定梁的几何组成特性多跨静定梁常用于桥梁结构和木结构中的木檩条。多跨静定梁常用于桥梁结构和木结构中的木檩条。 A C D B (a) 多跨静定梁是由若干单跨静定梁通过中间铰相连，并用若干多跨静定梁是由若干

20、单跨静定梁通过中间铰相连，并用若干支座与基础连接而组成的静定梁。支座与基础连接而组成的静定梁。ABCDEFGHA C D B (b) 土木与水利工程学院土木与水利工程学院型式型式1 1：以两刚：以两刚片规则组成片规则组成型式型式2 2：以二元：以二元体规则组成体规则组成多跨静定梁的基本组成形式多跨静定梁的基本组成形式 由多跨静定梁的几何组成特点可知，多跨静定梁由多跨静定梁的几何组成特点可知，多跨静定梁中有的部分直接与大地组成几何不变体系，有的部分中有的部分直接与大地组成几何不变体系，有的部分则靠其他部分的支持才成为几何不变体系，此两部分则靠其他部分的支持才成为几何不变体系，此两部分的受力性能是

21、不同的，前者为的受力性能是不同的，前者为基本部分基本部分，后者为，后者为附属附属部分部分土木与水利工程学院土木与水利工程学院CA E（a）（b）EAC（c） 其中其中AC部分不依赖于其它部分，独立地与大地部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为组成一个几何不变部分，称它为基本部分基本部分； 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载通过支座直接传从受力和变形方面看：基本部分上的荷载通过支座直接传于地基，不向它支持的的附属部分传递力，因此仅能在其自身于地基，不向它支持的的附属部分传递力，因此仅能在其自身上产生内力和弹性变形；而附属部分上的荷载要先传给支持它上产生内力和弹性变形；而

22、附属部分上的荷载要先传给支持它的基本部分，通过基本部分的支座传给地基，因此可使其自身的基本部分，通过基本部分的支座传给地基，因此可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。和基本部分均产生内力和弹性变形。 因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。的荷载的传力路线来决定。通常需先作出表示多跨静定梁中通常需先作出表示多跨静定梁中各梁段互相支持和传力关系的分层图，叫各梁段互相支持和传力关系的分层图，叫层叠图，层叠图，如图所示：如图所示：EAC 而而CE部分就需要依部分就需要依靠基本部分靠基本部分AC 才能保证它的几何不

23、变性，相对于才能保证它的几何不变性，相对于AC部分来说部分来说就称它为就称它为附属部分附属部分。如图所示梁，如图所示梁，土木与水利工程学院土木与水利工程学院ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq 多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。和基本部分都受力。应先算附属部分，再算基本部分。应先算附属部分，再算基本部分。土木与水利工程学院土木与水利工程学院qaaaa2aaaaqqa3qa/49qa/4

24、qa/22qaqaqaqaqa/47qa/4qa/2qa/2qa/2qaqqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2Q图（kN）M图（kN.m）土木与水利工程学院土木与水利工程学院2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH80k Nm2020404040k NC2025520502020k N/mFGH1020405585255040k NCABFGH20k N/m80k Nm构造关系图构造关系图2050404010204050土木与水利工程学院土木与水利工程学院50205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmA

25、B40k NCDE20k N/mFGH2555585M 图（图（k Nm）2540k N5558520k N/m251520354540FQ 图（图（k N）土木与水利工程学院土木与水利工程学院3-3 3-3 静定平面刚架的内力计算静定平面刚架的内力计算一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的结构。刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的结构。几何可变体系桁架刚架的特点是：具有刚架的特点是：具有刚结点刚结点。1)1)刚架的内部空间大，便于使用刚架的内部空间大，便于使用。 刚架受力而变形刚架受力而变形时，汇交于联结处的时，汇交于联结处的各杆端之间的夹角始各杆端之间

26、的夹角始终保持不变。终保持不变。从变形角度来看从变形角度来看土木与水利工程学院土木与水利工程学院刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。2 2）结构整体性好、刚度大；）结构整体性好、刚度大；从受力角度来看从受力角度来看 刚结点可以承受刚结点可以承受和传递力矩。和传递力矩。3 3）内力分布均匀，受力合理）内力分布均匀，受力合理. .土木与水利工程学院土木与水利工程学院1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2 2、简支刚架、简支刚架3 3、三铰刚架、三铰刚架4 4、主从刚架、主从刚架二、常见的静定刚架类型二、常见的静定刚架类型土木与水利工程学院土木与

27、水利工程学院三、三、 静定刚架内力的计算静定刚架内力的计算1.1.支座反力的计算支座反力的计算 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。 利用静力平衡条件计算支座反力，由于刚架支座反力通利用静力平衡条件计算支座反力，由于刚架支座反力通常多于三个，因此在计算中需增加以部分杆件为隔离体的平常多于三个，因此在计算中需增加以部分杆件为隔离体的平衡方程，应尽可能建立独立方程。衡方程，应尽可能建立独立方程。悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条

28、件便可求出。悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具路求其反力。如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种方法。体分析。不能使用这种方法。土木与水利工程学院土木与水利工程学院如如图所示三铰刚架，具有四个支座反力。（双截面法计算）图所示三铰刚架，具有四个支座反力。（双截面法计算）l /2l /2qABChqABCFAxFAyFByFBx整体平衡整体平衡22210210qhlFqhlFMAyAyB22210210qhlFqh

29、lFMByByAqABCBCFByFBxFCyFCx土木与水利工程学院土木与水利工程学院BCFByFBxFCyFCxqhFhFlFMBxBxByC41020左半边平衡左半边平衡qABCFAxFAyFByFBxqhFFqhFFAxBxAxx4300整体平衡整体平衡反力校核反力校核022141212)21(43 22122222lqhlhqhqhlqhlhqhlFhFqhlFhFMByBxAyAxC土木与水利工程学院土木与水利工程学院aaaa aqX1Y1O1Y1X1O2-qaX 1qaY 120qaaXaYMO211122Y X 11-2aXaYMO11202q土木与水利工程学院土木与水利工程学

30、院2.2.刚架的内力计算及内力图刚架的内力计算及内力图内力正负号规定：内力正负号规定：弯矩：不计正负号，并把弯矩：不计正负号，并把M图画在杆件受拉边图画在杆件受拉边剪力：以剪力对隔离体内截面附近一点的力矩顺时针转动为正剪力：以剪力对隔离体内截面附近一点的力矩顺时针转动为正轴力：以拉力为正，压力为负轴力：以拉力为正，压力为负 分段分段：根据荷载不连续点、结点分段。根据荷载不连续点、结点分段。定形定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图画图：画画M图时

31、，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。FQ，FN 图要标图要标，号；竖标大致成比例。，号；竖标大致成比例。刚架内力图绘制刚架内力图绘制 求截面的求截面的FQ、FN图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种方法是首先作出方法是首先作出M 图；然后取杆件为分离体，建立平衡方程，由杆端弯矩图；然后取杆件为分离体，建立平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用

32、投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆）或者是外力较多时，计算内力较麻烦时。当刚架构造较复杂（如有斜杆）或者是外力较多时，计算内力较麻烦时，采用第二种方法。，采用第二种方法。土木与水利工程学院土木与水利工程学院 例例1. 1. 试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制试计算图示简支刚架的支座反力，并绘制、FQ和和FN图。图。(1)(1)支座反力支座反力解解: :(2)(2)求杆端内力求杆端内力2m2m4mABCD40 kN20 kN/mAyFByF)( 20kNFAy)( 80kNFAx)( 60kNFByAxFAyFABMQABFNABF0 xF0AxQABFFkNFQAB80

33、0yF0AyNABFFkNFFAyNAB200CM0ABMFNAB=20kN FQBA=80kNMAB=0AxFAyFAxFBAMQBAFNBAFAB20 kN/m0 xF0420AxQBAFF0QBAF0yF0AyNBAFFkNFFAyNBA200CM042420AxBAFM右侧受拉）(160kNMBAFNBA=20kN FQBA=0MBA=160kN(右侧受拉右侧受拉）土木与水利工程学院土木与水利工程学院ByFBDMNBDFQBDF40 kNBDByFBDMNBDFQBDFDFNAB=20kN FQBA=80kNMAB=0FNBA=20kN FQBA=0MBA=160kN(右侧受拉右侧受拉

34、）FNBD=0 FQBD=-20kNMBD=-160kN(下侧受拉下侧受拉）FNDB=0 FQDB=-60kNMDB=040160AB160D40M 图图 (kNm）120FQ图（图（kN)80206020(3)(3)绘制内力图绘制内力图(4)(4)校核校核结点和杆件的平衡结点和杆件的平衡土木与水利工程学院土木与水利工程学院作刚架作刚架Q Q、N N图的另一种方法图的另一种方法 首先作出首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪

35、力求杆端轴力。端剪力求杆端轴力。40160AB160D40M 图图 (kNm）1202m2m4mABCD40 kN20 kN/m40kNBD20 kN/mABkNMBA160QBDFkNMBD160QBAFQABFQDBF0BM024204BAQABMFkNFQAB800AM024204BAQBAMF0QBAF0BMB02404BDQDBMFkNFQDB600DMkNFQBD2002404BDQBDMFNBDFNBAFQBDFQBAF0 xF0QBANBDFF0yFkNFFQBDNBA20土木与水利工程学院土木与水利工程学院8kN1m 2m4mABCD8kN1m 2m4m8kN6kN6kN81

36、624M kN.m86Q kNN kN6作内力图作内力图BACD土木与水利工程学院土木与水利工程学院2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDEAXAYAMM图214qa24qa22qa22qa210qa26qa2qa228qaFQ 图3.2qa6qa8qa2.4qa10qaFN 图qaXA8qaYA10214qaMA土木与水利工程学院土木与水利工程学院l /2l /2qABChqABCFAxFBx22210210qhlFqhlFMAyAyB22210210qhlFqhlFMByByAqhFhFlFMBxBxByC41020qhFFqhFFAxBxAxx4300土木与水利工程学院土木与

37、水利工程学院3m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDEmllECDC35. 352cos51sinM图（图（kN.m）1 1）求支座反力）求支座反力3kN9kN2kN2kN2 2）绘制）绘制M图图664.5ABq=4kN/mCDE3 3）绘制）绘制FQ图图4 4）绘制）绘制FN图图5 5）校核）校核土木与水利工程学院土木与水利工程学院3m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDE3kN9kN2kN2kNABCDE6FQDCFQCDDC3.35m2 MC=6+341.5+3.35FQEC0FQEC= 7.16kNME=6341.5+3.35FQCE0FQCE= 3.58kNMD=6FQCD3

38、.350FQCD=1.79(kN)=FQDC1.79 2 FQCEFQEC4kN/mCE3.35m63.58 7.16 FQ图（图（kNkN）土木与水利工程学院土木与水利工程学院3m3m 3mABq=4kN/m1.5mCDE3kN9kN2kN2kNABCDE321.79FNDCkNFNFDCNDCx13. 302sin79. 1coskNFFFECNECNx82. 50sin16. 7cos2927.16FNECFNCE3.583.131.79kNFFFCENNCEx45. 00sin)79. 158. 3(cos)13. 3(33.135.820.459FN图（图（kN）土木与水利工程学院土

39、木与水利工程学院qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXM22qa2qa2qaM qa1.5aBFD2qaqaqa6 . 0qa6 . 026 . 0 qa2qa25 . 1 qa29 . 0 qa2qaqqaAEGCBFD22qa29 . 0 qa26 . 0 qa土木与水利工程学院土木与水利工程学院快速绘制弯矩图快速绘制弯矩图一一. .利用利用q、Q、M之间的微分关系之间的微分关系1.1.无荷载区段，无荷载区段，M为直线为直线直线直线2.2.受匀布荷载受匀布荷载q作用时，作用时，M为抛物线，且凸向与为抛物线，且凸向与 q q 方向一致方向一致 3.3.受集中荷载受集中

40、荷载P作用时，作用时，M为折线，折点在集中力作用点处，为折线，折点在集中力作用点处，且凸向与且凸向与P方向一致。方向一致。P4.4.受集中力偶受集中力偶m 作用时，在作用时，在m作用点处作用点处M有突变，突变值有突变，突变值m，且左右直线均平行。且左右直线均平行。mm平行平行土木与水利工程学院土木与水利工程学院二二. .铰处铰处 M = 0 M = 0M = 0？自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零三三. .定向支座处、定向连接处剪力等零定向支座处、定向连接处剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。剪力等零杆段弯矩图平行

41、轴线。 llABCqllqlXAYAYBMB llABCqllqlql0ql2ql2/2M土木与水利工程学院土木与水利工程学院四、四、 刚结点力矩平衡刚结点力矩平衡 40200M2010202030 0M刚结点隔离体上所受的力矩的代数和应为零刚结点隔离体上所受的力矩的代数和应为零PPM = 0M = 0五五、集中力、集中力P 与某些杆轴线重合时，与某些杆轴线重合时，M为零为零 土木与水利工程学院土木与水利工程学院六、平衡力系的影响六、平衡力系的影响 当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本身为几何不某一本身为几何不变的部分变的部分上时，则只有此部分受力

42、，其余部分的反力内力皆为零。上时，则只有此部分受力，其余部分的反力内力皆为零。 PP平衡力系平衡力系PP土木与水利工程学院土木与水利工程学院七、对称性的利用七、对称性的利用1.1.对称结构对称结构 几何形状、支承和刚度都关于某轴对称的结构。但是，几何形状、支承和刚度都关于某轴对称的结构。但是，由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形状、支承对称，就可利用对称性进行内力计算。状、支承对称，就可利用对称性进行内力计算。荷载的对称性：荷载的对称性： 对称荷载：对称荷载：绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点绕对称轴对折后，对称轴两边的荷

43、载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小相等、作用点对称重合、值相等、方向相同。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对称轴平行同向布置的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。、与对称轴重合的荷载是对称荷载。 反对称荷载：反对称荷载：绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以，在大小相等、作用点对称的重合、值相等、方向相反。所以，在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载；与对称轴平行反向布前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载；与对称轴平行反向布置

44、的荷载；垂直作用在对称轴上的荷载；位于对称轴上的集中置的荷载；垂直作用在对称轴上的荷载；位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。力偶是反对称荷载。 P P W W P P m q q (a) (b) (a) FP1 FP1 FP1 FP1 (b) 土木与水利工程学院土木与水利工程学院2.2.与对称有关的重要结论与对称有关的重要结论 对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称称轴上的微元体受力

45、图。由微元体的平衡条件可得到：对称轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。 N N Q M M Q N N Q M M Q N1 M1 Q1 对称轴上的微段受力图 (a) 对称轴上的结点受力图 (b) 对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：出对称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称轴上的截面弯矩、轴力为零；

46、与对称轴重合的杆轴力为对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为零。零。 N N Q M M Q N N Q M M Q N1 M1 Q1 对称轴上的微段受力图 (a) 对称轴上的结点受力图 (b) 土木与水利工程学院土木与水利工程学院hl/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8土木与水利工程学院土木与水利工程学院4m2m4m2m2m2m24kN.mX绘制图示结绘制图示结构的弯矩图构的弯矩图okNXXMO604243kN3kN126612对称结构在反对成荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。124m2m4m2m2m2m24kN.mX=612121224kN.m126666土木与水

47、利工程学院土木与水利工程学院q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）ABC（e）ABC（f）土木与水利工程学院土木与水利工程学院ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm土木与水利工程学院土木与水利工程学院（3）（ ）（5）（ ）（2）（ ）（4）（ ）（1）（ ）（6）（ ）土木与水利工程学院土木与水利工程学院（9）（ ）题2-1图（10）（ ）（11）（ ）（12）（ ）（7）（ ）（8）（ ） m m土木与水利工程学院土木与水利工程学院土木与水利工程学院土木与水利工程学院速绘弯矩图PaPaaalPaP P PPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2土木与水利工程

48、学院土木与水利工程学院0PllPll土木与水利工程学院土木与水利工程学院mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPa土木与水利工程学院土木与水利工程学院Paaaa aaPPmaaaaPPPh0 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh土木与水利工程学院土木与水利工程学院qaa2aEIEIABCDE土木与水利工程学院土木与水利工程学院快速定性绘制组合结构弯矩图（M图图）土木

49、与水利工程学院土木与水利工程学院3-4 3-4 静定平面桁架的内力计算静定平面桁架的内力计算一、桁架的受力及组成特点一、桁架的受力及组成特点 桁架结构桁架结构是由很多杆件通过铰结点连接而成的结构。（是由很多杆件通过铰结点连接而成的结构。（桁桁架是由链杆组成的格构体系架是由链杆组成的格构体系）。）。 当荷载仅作用在结点上时，各个杆件内当荷载仅作用在结点上时，各个杆件内主要受到轴力的作主要受到轴力的作用用，截面上应力分布较为均匀，因此其受力较合理。，截面上应力分布较为均匀，因此其受力较合理。 工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托架、檩条等常常工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托架、檩条等常常采用桁

50、架结构。采用桁架结构。 1.1.桁架的受力特点桁架的受力特点2.2.桁架的基本假定桁架的基本假定1.1.结点都是光滑的铰结点结点都是光滑的铰结点2.2.各杆都是直杆且通过铰的中心各杆都是直杆且通过铰的中心: :3.3.荷载和支座反力都作用在结点上荷载和支座反力都作用在结点上. .各杆只受轴力各杆只受轴力, ,称其为理想桁架。称其为理想桁架。土木与水利工程学院土木与水利工程学院由理想桁架计算得到内力是由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力实际桁架的主内力. .计算简图计算简图上弦下弦斜杆竖杆 N N结间钢筋混凝土屋架结间：桁架下弦杆相邻结点间的区间。结间：桁架下弦杆相邻结点间的区间。结间长度：

51、桁架下弦杆相邻结点间的水平距离。结间长度：桁架下弦杆相邻结点间的水平距离。土木与水利工程学院土木与水利工程学院 实际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土实际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝桁架中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点对平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的内力是次上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的内力是次要的，称为要的，称为次内力次内力。按理想桁架计算的内力是主要的，

52、称。按理想桁架计算的内力是主要的，称为为主主内力内力。本节只讨论产生主应力的内力计算。本节只讨论产生主应力的内力计算。 3.3.桁架的分类桁架的分类1 1）按照桁架的外形分类）按照桁架的外形分类平行弦桁架平行弦桁架抛物线桁架抛物线桁架(折线弦桁架折线弦桁架)三角形桁架三角形桁架土木与水利工程学院土木与水利工程学院梯形桁架梯形桁架2 2）按照桁架的受力特点分类）按照桁架的受力特点分类拱式桁架拱式桁架（有推力桁架）（有推力桁架）梁式桁架（无推力桁架）梁式桁架（无推力桁架）土木与水利工程学院土木与水利工程学院3 3）按照桁架的几何组成分类）按照桁架的几何组成分类简单桁架简单桁架 由基础或一个基本铰结

53、三角形开始，依此由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架增加二元体所组成的桁架联合桁架联合桁架由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的桁架。的桁架。土木与水利工程学院土木与水利工程学院复杂桁架复杂桁架不属于不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。荷载法等予以判别。二、二、 桁架内力的计算方法桁架内力的计算方法结点法结点法截面法截面法注：注：实际应用一般是这两种基本方法的灵活选择、联

54、合应用。实际应用一般是这两种基本方法的灵活选择、联合应用。 静定桁架的内力计算基本方法为：静定桁架的内力计算基本方法为： 土木与水利工程学院土木与水利工程学院 取单结点为分离体，取单结点为分离体，其受力图为一平面汇其受力图为一平面汇交力系。交力系。 它有两个独立它有两个独立的平衡方程。的平衡方程。 为避免为避免解解联立方程联立方程, ,应从未知力不超过两个应从未知力不超过两个的结点开始计算的结点开始计算。 对于简单桁架,可按去除二元体的顺序截取结点，逐次用结点法求出全部内力。A 斜杆轴力与其分力的关系斜杆轴力与其分力的关系llxlyFNXYA1 1、结点法、结点法yxNlYlXlF土木与水利工

55、程学院土木与水利工程学院解：解： 1 1、求支座反力、求支座反力 X=0 FAx=0 MG0 , FAy=80kN Y=0 , FHy=100kNFAx=0FAy=80kNFHy=100kN2 2、求内力、求内力A80kNFNACFNABYABXABY=0 ， YAB=80kN由比例关系得由比例关系得XAB=80 3 /4 =60kNFNAB =80 5 /4 =100kNX=0 ， FNAC=60kN例例; ; 试求桁架各杆内力试求桁架各杆内力3m4=12m4mACBEDGFH 40kN60kN80kN 取结点取结点A40kN60kNFNCEFNCB取结点取结点CX=0 ， FNCE=60k

56、NY=0 ， FNCB=40kN1006080606040土木与水利工程学院土木与水利工程学院FAx=0FAy=80kNFHy=100kN3m4=12m4mACBEDGFH 40kN60kN80kN1006080606040-60-80 40FNBDXBEYBEFNBE取结点取结点BY=0 ， YBE=8040=40kNXBE=40 3 /4 =30，FNBE =405/4=50kNX=0 ， FNBD=60XBE= 90kN3050-9040依次考虑依次考虑D、E、G、F的平衡求其它轴力，熟的平衡求其它轴力，熟练之后可以直接在结构练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方上进行，不必列平衡方程

57、。如图所示。程。如图所示。-9007515202580757512510015751008020901007510075Y=80+20100=0，X=907515=0。Y=100100=0，X=7575=0。3 3、校核、校核土木与水利工程学院土木与水利工程学院几种特殊结点及零杆几种特殊结点及零杆 结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线时，则此杆件称为该结点的力的杆件均共线时，则此杆件称为该结点的结点单杆结点单杆。结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。结点无荷载时，单杆内力为零

58、，称零杆；结点无荷载时，单杆内力为零，称零杆；结点结点单杆单杆L L形结点形结点T T形结点形结点结点单杆结点单杆结点结点单杆单杆结点单杆的性质结点单杆的性质土木与水利工程学院土木与水利工程学院零杆的判定零杆的判定1NF1NF2NF01NF02NFPFN102NFL形结点形结点2NFT形结点形结点1NF2NF3NF21NNFF03NF1N2N3N21NNFFPFN3P土木与水利工程学院土木与水利工程学院X形结点形结点FN3FN1FN2 = FN1FN4 =FN3FN2FN4K形结点形结点FN1FN2 =FN1FN2对称桁架受对称外力时，如对称轴上对称桁架受对称外力时，如对称轴上K形结点无荷载作

59、用，形结点无荷载作用，则两根斜腹杆的轴力为零。则两根斜腹杆的轴力为零。对称桁架受反对称外力时，处在对称轴上的杆件为零杆。对称桁架受反对称外力时，处在对称轴上的杆件为零杆。PP对称对称211NF2NF021NNFFPP31NF2NF反对称反对称03NF3NF3NF3NF反对称反对称土木与水利工程学院土木与水利工程学院qq绘制图示对称结构的弯矩图。土木与水利工程学院土木与水利工程学院例：例：判断下列桁架的零杆判断下列桁架的零杆0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0FPFP土木与水利工程学院土木与水利工程学院2 2、截面法、截面法 用假想的截面用假想的截面取桁

60、架中包含两个或两个以上结点的部分为取桁架中包含两个或两个以上结点的部分为分离体分离体, ,其受力图为一平面任意力系其受力图为一平面任意力系, ,可建立三个独立的平衡可建立三个独立的平衡方程。方程。一般切断的未知轴力的杆件不多于三根。一般切断的未知轴力的杆件不多于三根。 0am 0bm 0cmabcFN3FN2FN1FN1FN2FN3123244221FPABFAyFByFAy土木与水利工程学院土木与水利工程学院DBGHIJFN1FN2123ACDBEGHFIJFPFP5aa/32a/31.1.求支座反力求支座反力2.2.作作I-II-I截面截面, ,取取右部作隔离体右部作隔离体IIFAyFBy