材料力学-- 弯曲变形课件

1、第第 七七 章章弯曲变形弯曲变形7.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程7.3 7.3 用积分法求挠度和转角用积分法求挠度和转角7.4 7.4 用叠加法求挠度和转角用叠加法求挠度和转角第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 7.5 7.5 梁的刚度计算梁的刚度计算7.1 7.1 概述概述7.6 7.6 简单超静定梁简单超静定梁7.7 7.7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能7.8 7.8 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施7-1 7-1 概述概述 若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题一、工程中的弯曲变形问

2、题4若变形过大，不若变形过大，不仅会影响齿轮的仅会影响齿轮的啮合和轴承的配啮合和轴承的配合，使传动不平合，使传动不平稳，磨损加快，稳，磨损加快，而且还会严重地而且还会严重地影响加工精度。影响加工精度。 又如，又如，车床主轴：车床主轴： 5又如，又如，如图所示轮轴：如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。作的平稳性等。 6但有时又有但有时又有相反要求相反要求，要求构件有适当变形，才能，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。符合使用要求。如如汽车叠板弹簧汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆，要求产生较大变形，才

3、能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。求解。二、弯曲变形的量度挠度和转角二、弯曲变形的量度挠度和转角FAB 原为直线的轴线原为直线的轴线AB弯曲弯曲成成光滑而连续光滑而连续的曲线，的曲线， 该曲线称为该梁的该曲线称为该梁的挠曲线挠曲线。 在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的在平面弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。平面曲线。 竖直位移竖直位移 w 称为称为挠度挠度，取向，取向上上为正。为正。xw xfw 横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处

4、的切线与横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。轴的夹角相等。 xwddtan小变形：小变形： tan xfwxwdd FABwx挠曲线方程：挠曲线方程：CC任意截面形心任意截面形心CC三位移：三位移：水平位移水平位移x，竖直位移竖直位移w角位移角位移，忽略忽略 = w角位移角位移 称为称为转角转角，逆时针逆时针方向为正。方向为正。EIxMx)()(1xwO23222dd1dd)(1xwxwx22ddxwEIxMxw)(dd 220M0 w0M0 w7.2 7.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程前一章已得到：前一章已得到：EIM1纯弯曲梁纯弯曲梁横力弯曲梁（近似

5、）横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率任意曲线曲率)(xMwEI 或或EIxMxw)(dd22则有则有9ACB 例例7-2-1 画出下列梁的挠曲线大致形状。画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解解: : 建立坐标系并建立坐标系并作弯矩图作弯矩图wx)(xMwEI AB段段: :0 0 wM， w上凸上凸BC段段: :0 0 wM，同时同时B处须满足连续光滑条件，处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在即曲线与直线在B点相切。点相切。边界条件边界条件: :0 0CCw， w=0=0mMACB10 例例7-2-2 等截面直梁，其挠曲线等截面直梁，其挠曲线 ，长度为，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。，

6、确定梁的载荷、支撑情况。EIFxw3lPl6Pl6F6故可确定其为悬臂梁。故可确定其为悬臂梁。解解: : 作弯矩图、剪力图作弯矩图、剪力图)(xMwEI FxxM6)(FxxMxFs6d)(d)(0d)(d)(xxFxqsF6F6Fl6M6FFs+ 0 0wx，EIFlwlx3 ，边界边界条件条件0 0wx，CxxMEIwd)( 转角方程转角方程DCxxxxMEIw d d)( 挠度方程挠度方程C、D 为积分常数；由为积分常数；由边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件确定。确定。边界条件边界条件: : 固定端：固定端：w0 0；0 0；铰支座：铰支座：w0 0；弯曲变形的对称点：弯曲变形的对

7、称点：0 0。连续性条件连续性条件: : 挠曲线上任意点的挠度和转角挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个只有一个值。值。EIxMwxw)(dd22 7-3 7-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形)(xMwEI EI为常量为常量EI为常量为常量lABq 例例7-3-1 用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设值最大的转角和最大的挠度。设EIEI为常量。为常量。解解：(1) (1) 求支反力，列求支反力，列弯矩方程弯矩方程(2) (2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分建立挠曲线近似微分方程，并积分DCxxqxqlEIw4324

8、- 12(3) (3) 利用利用边界条件边界条件确定积分常数确定积分常数0 :0wx0 D0 :wlx24 3qlCxwlxxqxqlxM0 22)(2lxxqxqlwEI 0 222,6432CxqxqlwEIxqlRRBA21 由对称性知由对称性知RBRA3234624xlxlEIqw323224xlxlEIqxwEIqllxx24 : 03BAmax或EIqlwlxl3845 0; :242max(5) (5) 求最大值求最大值 (4) (4) 求转角方程、挠度方程求转角方程、挠度方程lABqxw弯曲变形的对称点：弯曲变形的对称点：0 0。边界条件：边界条件：0 :0wx0 :2lx0

9、:wlx0 :2lx或或lxxqxqlwEI 0 222 例例7-3-2 用积分法求用积分法求C截面的转角和挠度，截面的转角和挠度，EI为常量。为常量。alABFC解解：(1) (1) 分段分段写弯矩方程写弯矩方程 , lFaRllaFRBA(2) (2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分分段建立挠曲线近似微分方程，并积分axFxMCA0 1：段段RARBalxaaxllaFFxMAB )( )(2：段段113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxllaFxFEIwCaxllaFxFwEIwxFxwEI 1ax 0 )()(2axllaF

10、FxwEI alxa ABFCalwx(3) (3) 确定积分常数确定积分常数21 :wwax21 :wwax(1) 0 , 0 : 21wwax时时边界条件边界条件: :连续性条件连续性条件: :(3) , 2121DDCC),32(621alFaCClaFaDD3221(4) (4) C截面的挠度和转角截面的挠度和转角laEIFawwalEIFawwxC3 , 326 :021C122212)(2)(22CaallaFaFCFa2233113)(6)(66DaCaallaFaFDaCFa113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxlla

11、FxFEIwCaxllaFxFwEIAC段：段：AB段：段：(2) 0 : 2walx时时（1）（）（2）（）（3）叠加原理：叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。单独作用时所引起的该参量的代数和。叠加法：叠加法：应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。应用叠加原理计算梁的某一参量的方法。 前提条件：前提条件：小变形，材料服从虎克定律。小变形，材料服从虎克定律。, dd22FFMxwEI, dd22qqMxwEIMxwEI22dd222222

12、ddddddxwEIxwEIMMMxwEIqFqF22ddxwwEIqF* * 表表7-17-17-4 7-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形=+ 例例7-4-1 用叠加法求用叠加法求C点挠度。点挠度。解：解： 简单载荷引起的变形简单载荷引起的变形EIFaEIaFwFC648)2(33EIqaEIaqwqC245384)2(544 叠加叠加)6245(34EIFaEIqawC表表7.17.1第第7 7栏栏表表7.17.1第第9 9栏栏FqaaACBFaaACBqaaACB 例例7-4-2 用叠加法求用叠加法求C点挠度。点挠度。解解: :积分法积分法EIxllxlFwPC48)(43)()

13、(d(22dxxllqdxxqFd)(2)(d0 xlEIxllxlqd24)(43()(2220PCqCwwdEIqlxlEIxllxlqll240d24)(43()(45 .02220表表7.17.1第第8 8栏栏q0l/2ABCl/2 例例7-4-3 用叠加法求用叠加法求C截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。alABFC解解：(1) (1) 假设假设CA段为刚性，研究段为刚性，研究简支梁简支梁AB的变形所引起的的变形所引起的C截面截面的转角和挠度的转角和挠度xwFFaEIFalA3,31EIFalACEIlFaawCC3211ABCFAC(2) (2) 假设假设AB段为刚性，段为刚性，外

14、伸段外伸段CA看作悬臂梁：看作悬臂梁：,222EIFaCEIFawC332表表7.17.1第第2 2栏栏表表7.17.1第第5 5栏栏(3) (3) 叠加法求叠加法求C截面的挠度和转角截面的挠度和转角, 32621alEIFaCCClaEIFawwwCCC3221 例例7-4-4 等截面刚架等截面刚架A端的水平位移端的水平位移xA 和竖直位移和竖直位移yA。abEICEIPAB刚化刚化ABABPC2Ay刚化刚化BCPCABABC1Ax1AyPaP等价等价等价等价PAB解解：(1) (1) 刚化刚化AB段：段：(2) (2) 刚化刚化BC段：段：刚化刚化AB: : 21EIbpaayBA刚化刚化

15、BC: : 332EIpawyAA 2221EIpabxxxAAA(3) (3) 叠加：叠加： 221EIPabwxBA02Ax2AyABC1Ax1AyPaPPAB 3 3221abEIpayyyAAA*逐段刚化法逐段刚化法2aABq 例例7-4-5 用叠加法求中点用叠加法求中点C挠度和梁端截面挠度和梁端截面B的转角。的转角。CDE2lEIqalBR22解：解： C为对称点，故为对称点，故C截面的转角为截面的转角为0 0。表表7.1第第2栏栏在在RB作用下：作用下：EIqalwBR33EIqaEqBq63表表7.1第第4栏栏在在 q 作用下：作用下：EIlqaEIqaalEIqaEIqaalw

16、wBqEqBq624 683434Eq Bq qaRB qaRA BEqCBEqaRB ClqBEaqaRB C一、刚度条件：一、刚度条件： wwmax max叠加：叠加：laalEIqawwwwBqBRBC2334824 2236alEIqaBqBRB2 2 设计截面设计截面1 1 刚度校核刚度校核3 3 确定许可载荷确定许可载荷 2aABqCDE2llqBEaqaRB CqaRB 7-5 7-5 梁的刚度计算梁的刚度计算或或AAwwBBCABDF2=2kNABF1=1kNDC 例例7-5-1 一空心圆杆，内外径：一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的点的w

17、/L=0.0001，B点的点的 =0.001弧度弧度，试试核此杆的刚度核此杆的刚度。+EIaLFawBC162111EILFB16211解：解：查表求简单载荷变形查表求简单载荷变形EIaLFB322)(3222aLEIaFwC)(3162221aLEIaFEIaLFwCEIaLFEILFB316221 叠加叠加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kNm1019. 5)(31662221aLEIaFEIaLFwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFB48124444m1018810)4080(6414.

18、3)(64 dDI 001. 010423. 04max 4536max101103 .1104001019.5LwLw校核刚度校核刚度刚度条件满足。刚度条件满足。26一、基本概念一、基本概念2 2 超静定问题：超静定问题：单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡方程不能不能确定出全确定出全部未知力（支反力、内力）的问题。部未知力（支反力、内力）的问题。1 1 静定问题：静定问题：单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡方程能够能够确定全部未知确定全部未知力（支反力、内力）的问题。力（支反力、内力）的问题。 3 3 超静定次数超静定次数 n ：n = = 未知力数独立的平衡方程数未知力数独立的平衡方程

19、数FBA7-6 7-6 简单超静定梁简单超静定梁BFAC271 1 静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座静定结构除荷载外，其他因素如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即移动、制造误差、材料收缩等都不引起内力，即静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定静定结构无装配应力、无温度应力等；而超静定结构中，任何因素都可能引起内力。结构中，任何因素都可能引起内力。2 2 静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而静定结构与结构的材料性质和截面尺寸无关，而超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。超静定结构与结构的材料性质和截面尺寸有关。二、二、 超静定结构的特性超静定结构的特

20、性3 3 超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。超静定结构的刚度比相应的静定结构要大。4 4 超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不超静定结构在多余联系破坏后，仍然能维持几何不变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何变性，而静定结构在任一联系破坏后就变成了几何可变体系。可变体系。 求解弯曲超静定问题时，首先要选择原超静定结构求解弯曲超静定问题时，首先要选择原超静定结构的的静定基静定基，得其，得其相当系统相当系统。28=RBAB0BBRBqBwwwq0lABEI 例例7-7-1 求支座求支座B的反力。的反力。（2 2）变形协调方程：）变形协调方程：解：解：(1) (1) 确定静定基，得

21、确定静定基，得原结构的相当系统：原结构的相当系统：+ ABq0(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)补充方程补充方程EIlRwEIqlwBBRBqB3 ;83403834EIlREIqlB83qlRBABEIRBq0变形比较法变形比较法29(2(2）变形协调方程：）变形协调方程：解：解：(1)(1)确定静定基，得原确定静定基，得原结构的相当系统：结构的相当系统：BCBRBqBlwwwB 例例7-7-2 求求BC杆的内力杆的内力。=A AB BR RB B=A AB BR RB B+ += =q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=q q 0 0L LA AB BR R B

22、 BEI 等价等价q q 0 0A AB B+q030(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)补充方程补充方程)(3 ; )( 834EIlRwEIqlwBBRBqBEAlREIlREIqlBCBB3834)3(834EIlAlIqlRBCBEAlRlBCBBCBCBRBqBlwwwB=q q 0 0L LA AB BR R B BEI 等价等价q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=A AB BR RB B=A AB BR RB Bq q 0 0A AB B+q0+ += =31 例例7-7-3 如图所示双梁系统，弹簧刚度如图所示双梁系统，弹簧刚度K，上下梁的抗，上下梁的

23、抗弯刚度均为弯刚度均为EI，求，求（1）弹簧受力大小弹簧受力大小，（，（2）当当P/(q0l) =?=?时弹簧不受力。时弹簧不受力。0qPl/2l/2l/2l/2解：解：(1)(1)确定静定基，得原确定静定基，得原结构的相当系统：结构的相当系统：0qF上梁上梁PF下梁下梁+32KFwwCCEIFlEIlqwC483845340EIlFpwC48)(3KFEIlqEIlFP384548)2(403KEIlKEIlPlqF241384)85(330（5 5）令）令F=0，(2)(2)变形协调方程：变形协调方程：(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)补充方程补充方程PF下梁下梁0qF上梁上梁CC得

24、得P/q0l=5/833 例例7-7-47-7-4 两端固定梁，求内力。两端固定梁，求内力。 BACFabl二次超静定结构二次超静定结构ABFC2m1m0 , 0 BA (2) (2) 变形协调方程：变形协调方程：解：解：(1)(1)确定静定基，得原确定静定基，得原结构的相当系统：结构的相当系统：EIlmlEIblFabEIlmA66321EIlmlEIblFabEIlmB36621(3) (3) 物理方程物理方程34(4)(4)补充方程补充方程 063621lblFablmlm066321lblFablmlmBACabl 222221lbFamlFabmABFC2m1m(5)(5)叠加法求内力叠加法求内力ABC 22lFab 22lbFa 223 blaba llFabMF35EIxM)(1 dxMdWdU )(21dxEIxMdU2)(2 ldxEIxMU2)( 2一一、 弯曲应变能：弯曲应变能：应变能等于外力功。不计剪切应变能应变能等于外力功。不计剪切应变能xKdd1 曲率曲率M(x)OO dO 曲率曲率中心中心 曲率半径曲率半径xdM