导数的简单应用

1、第三讲 导数的简单应用【考纲要求【考纲要求】1. 1. 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 (1)(1)了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景 (2)(2)理解导数的几何意义理解导数的几何意义2.2.导数的运算导数的运算（1 1）能根据导数的定义，求函数）能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,yy=c,y=x,y=x=x2 2,y= ,y= 的导数的导数. .（2 2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数求简单函数的导数. .x13 3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用(1)(1)了解函

2、数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间会求不超过三次的多项式函数的单调区间(2)(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，会求在闭区间上不超不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值过三次的多项式的最大值、最小值4 4生活中的优化问题生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题【知识梳理【知识梳理】 学生阅读教材

3、学生阅读教材P P1414热点考向热点考向 一一 导数的几何意义导数的几何意义【典例【典例1 1】1.(20121.(2012广州模拟广州模拟) )直线直线 是曲线是曲线y=f(x)=ln x(xy=f(x)=ln x(x0)0)的的一条切线，则实数一条切线，则实数b=_b=_ _ _._.2.(20122.(2012新课标全国卷新课标全国卷) )曲线曲线y=x(3lnx+1)y=x(3lnx+1)在点在点(1,1)(1,1)处的切线处的切线方程为方程为_ _ _. .3.3.( (文文)(2011)(2011宁波模拟宁波模拟) )已知曲线已知曲线y y . .求曲线过点求曲线过点Q Q(1,

4、0)(1,0)的切的切线方程线方程_ _ _. . 提醒：提醒：区分曲线在点区分曲线在点P P处的切线和曲线过点处的切线和曲线过点P P的切线的切线, ,前者点前者点P P为切为切点点, ,后者点后者点P P不一定为切点不一定为切点, ,求解时应先设出切点坐标求解时应先设出切点坐标. . 1yxb2x1【拓展提升【拓展提升】利用导数的几何意义的解题策略利用导数的几何意义的解题策略利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化斜率之间的关系来进行转化. .热点考向热点考向 二二 利用导数研究函数的单调性利用导数

5、研究函数的单调性 【典例】【典例】1.(20121.(2012辽宁高考辽宁高考) )函数函数y= xy= x2 2- -x x的单调递减区间为的单调递减区间为( )( )A A（-1,1 B-1,1 B（0,1 C0,1 C11，+） D D（0 0，+）2.(20122.(2012洛阳模拟洛阳模拟) ) 已知函数已知函数f(x)f(x)( (axax2 22x2xa)ea)ex x(aR).(aR).(1)(1)当当a a2 2时，求函数时，求函数f(xf(x) )的单调区间；的单调区间；(2)(2)若若f(xf(x) )在在 1 1，11上单调递减，求实数上单调递减，求实数a a的取值范围

6、的取值范围. .【解题指导【解题指导】2.(1)2.(1)通过解不等式通过解不等式f(xf(x) )0 0和和f(xf(x) )0 0求解求解; ;(2)(2)转化为不等式在转化为不等式在 1 1，11上恒成立问题上恒成立问题. .12【拓展提升【拓展提升】【典例【典例】1 1. (2012(2012陕西高考陕西高考) )设函数设函数f f（x x）= +lnx= +lnx 则（则（ ）A Ax= x= 为为f(xf(x) )的极大值点的极大值点 B Bx= x= 为为f(xf(x) )的极小值点的极小值点Cx=2x=2为为f(x)的极大值点的极大值点 Dx=2x=2为为f(x)的极小值点的极

7、小值点2.(20102.(2010重庆高考重庆高考) )已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 3x x2 2bxbx( (其中常数其中常数a a，b bRR) )，g g( (x x) )f f( (x x) )f f ( (x x) )是奇函数是奇函数(1)(1)求求f f( (x x) )的表达式：的表达式：(2)(2)讨论讨论g g( (x x) )的单调性，并求的单调性，并求g g( (x x) )在区间在区间1,21,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值2x1212热点考向热点考向 三三 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值) )问题问题 【拓展

8、提升【拓展提升】1.1.求函数求函数y=f(xy=f(x) )在某个区间上的极值的步骤在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数第一步：求导数f(xf(x););第二步：求方程第二步：求方程f(xf(x)=0)=0的根的根x x0 0; ;第三步：检查第三步：检查f(xf(x) )在在x=xx=x0 0左右的符号：左右的符号：左正右负左正右负f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取极大值；处取极大值；左负右正左负右正f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处取极小值处取极小值. .2.2.求函数求函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a,ba,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的

9、步骤第一步：求函数第一步：求函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内的极值内的极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )；第二步：将第二步：将y=f(xy=f(x) )的各极值与的各极值与f(af(a) )，f(bf(b) )进行比较，其中最大进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值的一个为最大值，最小的一个为最小值. . 1.(1.(交汇新交汇新) )设函数设函数y=xsin x+cosy=xsin x+cos x x的图象上的点的图象上的点(x(x0 0,y,y0 0) )处的处的切线的斜率为切线的斜率为k k，若，若k=g(xk=g(x0) )，则

10、函数，则函数k=g(xk=g(x0 0) )的图象大致为的图象大致为 ( )( )【解析【解析】选选A.y=xcos x,kA.y=xcos x,k=g(x=g(x0 0)=x)=x0 0cos xcos x0 0, ,由于它是奇函由于它是奇函数，排除数，排除B,C;xB,C;x= = 时，时，k k0,0,故选故选A.A.42.(2.(角度新角度新) )已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3+ax+ax2 2+3x-9,f(x)+3x-9,f(x)在在x=-3x=-3时取得极值，时取得极值，则则a=( )a=( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(A)2 (B)3 (C)4 (

11、D)5【解析【解析】选选D. f(xD. f(x)=3x)=3x2 2+2ax+3,+2ax+3,由题意知由题意知x=-3x=-3是方程是方程f(xf(x) )=0=0的一个根的一个根,3,3(-3)(-3)2 2-6a+3=0,a=5,-6a+3=0,a=5,经验证当经验证当a=5a=5时时, ,符合题意符合题意. .故选故选D. D. 3.(3.(交汇新交汇新) )已知函数已知函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为-2,-2,+),+),部分对应值如下表：部分对应值如下表：f(xf(x) )为为f(xf(x) )的的导函数，函数导函数，函数y=f(xy=f(x) )的图象如图所示的图象

12、如图所示. .若若两正数两正数a a，b b满足满足f(2a+b)f(2a+b)1 1，则，则 的取值范围是的取值范围是( )( ) 6 14A ( ,)5 34 12C ( ,)3 5 12 8B (, )7 32D (,6)32b6a34.(4.(背景新背景新) )已知已知a a为正实数，函数为正实数，函数 (e(e为自然对数为自然对数的底数的底数).).(1)(1)若若f(0)f(0)f(1)f(1)，求，求a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)当当a=2a=2时，解不等式时，解不等式f(xf(x) )1.1. xaxf xeax【解析【解析】(1)(1)因为因为f(0)f(0)f(

13、1),f(1),所以所以因为因为a a0,0,所以所以a(e-1)a(e-1)e+1e+1，又因为，又因为e-1e-10,0,所以所以由题设，由题设，a a为正实数，所以为正实数，所以a a的取值范围为的取值范围为0 0a1e 1,a1e1a.e 1e1a.e 1(2)(2)当当a=2a=2时，函数时，函数 定义域为定义域为x|x-2.x|x-2.因为因为所以所以f(xf(x) )在在(-(-，-2)-2)及及(-2,+)(-2,+)上均为减函数上均为减函数. .因为当因为当x(-,-2)x(-,-2)时，时，f(xf(x) )0,0,所以所以x(-,-2)x(-,-2)时，时，f(xf(x) )1.1.因为当因为当x(-2,+)x(-2,+)时，时，f(0)=1,f(0)=1,所以由所以由f(xf(x) )f(0)f(0)得得x x0.0.综上所述，不等式综上所述，不等式f(xf(x) )1 1的解为的解为(-,-2)(0(-,-2)(0，+).+). x2xf xe ,2x 2xxx22x2xx efx() e(e )0,2x2x2x 【知识小结【知识小结】 (1)(1)本节主要是了解导数的一些基本概念，考查