相对论专题训练题答案

1、17，假定电子能完全吸收光子的能量，吸hv mQv练习1解析(1)设电子处于静止状态时的质量为m，光子的频率为收光子后，电子以速度0运动，则这一过程应遵循动量守恒定律，有E =:mc碰撞后系统的总能量为由、式消去“，得碰撞前电子与光子的总能量为品须顷04+方 2|/2） _ （如 + ?*2） 2=2济时、0由、式有 E' -E :=(就这表明，所假设的过程不符合能量守恒定律，因此这一过程实际上不可能发生。(2) 束缚在金属中的电子和射入金属的光子二者构成的系统在发生光电效应的过程中动量不守恒，只 需考虑能量转换问题。设电子摆脱金属的束缚而逸出，需要对它做功至少为W (逸出功)，逸出金

2、属表面后 电子的速度 为。，入射光子的能量为人 V,电子的静止质量为 mo,若能产生光电效应，则有2Zrr >叫42V c+ W故有忽略高阶小量，只取式中的前两项，代入式，可得到1 ,hv> mnv"+W2 可见，只要hv>W式就能成立，光电效应就能产生。练习2解析1)(a设光子被吸前的动量为hvx ;,Ok为一单位矢量，光子被吸收后原子核c，即 PAc2=h2vf可一奶Z 2 2 的动量为可，则由动量守恒定律得'由能量守恒定律 J（ Rc） 2 +" +AE）2 =hvi + Me1两边平方（Me） ? + （Me1 + a ） 2 =（化 +

3、Me2） 2代入PAc2 =护可得2诙2化=E （2Mc2 + AE ）V.=(I H -)于是得到所求光子频率为h Mc-性钦-(b)设发射的光子动量为C ,发射后原子核的动量尸2,则由动量守恒定律得C即 P; c2=E乙+性钦=0J(W+")2 + M =(M+ 竺)c?'C-由以上两式得2(疏2 +AE)hV2 = AEQM? + AE)于是求得所求光子频率为V2 (1 h M*AE、 -)(2)由上面的结果可见。处在激发态的静止核所辐射岀的光子能量Ehv2=AE(l-A)Me2瑟。+佻2),因化 < 奶，故如2不能被吸收。而处在基态的同类静止核所吸收的光子的能量

4、为济练习3解析(1)设向右运动的电子为S'系，则按伽利略变换，在S系中看另一电子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c,这与光速不变的实验事实相矛盾，所以是不合理的。(2)设实验室为参照系S, 个电子参照系为S',则S相对于S系的速度是0.6c,另一个电子相对于S系的速度为-0.6c,按洛仑兹变换，另一个电子相对于S'系的速度是":,则-V? 1 一广V) X'-2v=l + v 2/c2-0.88c这就是说，以一个电子为参照物看另一个电子的速度是 的。练习4解析在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有0.88cvc,即小于光速，与实验相符合，

5、是合理将代入得:9" +,",冰=脆由能量守恒定律 与代入得：54 8 / / c r- /'c =5y ,v =.TUm =m ( J 3T “故可得说=生秫0两边同时作定积分可得:J 2 W/ ='1XF = ma = m = AFdt = d（mv）证明：在S系中，dt dtj ； 2 对 dt = j: 2 dmv）即 j: 2 YFdt = mv 2 -mv,两边同时作定积分得：'1 '1 '1这就是S系中质点的动能定理的数学公式。在S'系中ZF = ma,护="竺=也侦，YF'dt' =

6、d (mv)dt dt,YFdt' - mvA - mv"这就是S'系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学，可设一质量为m的质点沿x轴正方向，在平行于X轴的恒定的合外力F作用下作匀加速直线运动。经过时间t,速度从外增大到1' 2根据牛顿第二定律在S系中有LV, - V1F = ma = mt整理得：Ft = mv 2 -mvx这就是S系中的质点动量定理。在*系中，F' = F, v ； - * =（方-1/）-（凡-"）=方-v"' = t 即此即s'系中的质点动量定理。练习6解析根据相对论能量守恒有MC- =

7、Y im,C- +y,m,C-化简得：一1 r、，1根据相对论动量守恒有O = /1ffl 1V1-7，ffl2V2但V c y将,hvo Tnvo-gL " c ”代入式化简得： 和 7由、两式可解得：mijk T T=(M 2 + m2i -m22)/2Mmi r2 = (M 2 +m2i - m2i)/2Mm 2,Ek =(/ 1)阴 b =c2 - (M -m,) 2 -m22V2M; E k2 =(y -1>2C2 =C2AM-m2)2 练习 7解析(1)对于能量为"V。的光子，其质量 2学，在重力场中，当该光子从地面到达接收器时，增加的重力势能为mgh。由

8、能量守恒得得v °v（l + *v = v (l-*)(2)设t=0时刻，箱子从静止开始加速，同时，激光光波的某一振动状态从发射器发岀，任何时刻t,发射器和接收器的位置分别为1，x = at2r 1,2x = L at2所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期心的振动状态的位置分别为：x=ct1 2x = aTQ +c(t-T q)设所考察的振动状态在1寸刻到达接收器，则有r 12cZj = L + %解得比所考察的振动状态晚一个周期7。发岀的振动状态到达接收器的时刻为则有1 212fT。+c(t 2 -To) = L + at2解得接收器接收到的激光的周期为1 13-11疽(

9、1-犯 aT° a c二 c(四 ILT。) a c c3=L(i+ 当 c2aL*c3T = 7 ; (1+ 普)比较上述两土得 2=甘，即"箱子”的加速度a=g方向竖直向上。解析(1)设空间站与太阳的距离为练习8r,则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强4灯2,太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果，这一光压为c 2 LP =禾口cc于是反射面受到的辐射压力太阳对空间站的万有引力为式中G为万有引力常数，在空间站处于平衡状态时，% =尸情射，即W>" r2'这就得到，反射面的面积,27iGM.mc A =L(2) 由上面的

10、讨论可知，由于辐射压力和太阳引力都与/成反比，因而平衡条件与太阳和空间站的距离r无关。(3) 若并以题给数据代入前式得到d _ A.7tGM smc 练习 9解析如图所示，取 S系为实验室坐标系，系为与B固连的坐标系，S、=相应的坐标轴平行，x(x)轴与图 17-7A、B运动方向平行。，VA-V -c-c(1) "=丫 ,b疽VA =Co'图17 8 上述结果是光速不变原理的必然结果。练习10解析此时，测得B尺长度缩短了，所以结果如下：坊，A2B2AxBxAxB2此时， 测得A尺长度缩短了，所以结果如下&坊，4片A2B2 ,力，纫(3)此时， 测得A尺、B尺长度均缩短

11、了，缩短的长度一样，所以结果如下力2夕2"1 (同时),"2。练习11在运动方向上。解析(1)设4、 V S上测得杆长在 X、y方向分量，方向分量。，为S'上测得杆长在 X、练习12解析S系固连在实验室上，s'固连在原子核上，s、s'相应坐标轴平行。X轴正向取为沿原子核运动方向上。v = 0.6cv'x = 0.8c+ v 0.6c + 0.8c 35 w77 =预 2 保=37? °.94&i+ % i+j22 25一秫。=妄秫20。37373535p = mv= mn vv = c = m.c(4) 12 0 '

12、12 0 3712 0练习13解析1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为E/c + MV = -E 1c + MV'E + MV2II = E'+ MV'-ll其中/为碰撞后反射镜的速度.从上两式消去得E + E'=2El + K/c(4)?l-K/c时，1 +，可得 匚_匚_小心.(5)2.考察时刻勺立于垂直于光传播方向的截面=A2左侧的长为光在Is时间内所传 播的距离cxls、底面积为 单位面积柱体内的光子，如图1所示.经过Is时间，它们 全部通过所考察的截面.若单位体积中的光子数为，根据光强的定义，入射光的强度 ©=ncE 若A处固

13、定一反射镜，则柱体的底面&处的光子在时刻？到达位于A处的反 射镜便立即被反射，以光速Sdc向左移动；当柱体的底面S在什Is到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面S:已到达A左边距离A为cxls处，所有反射光的光子仍分布在长为cxls、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等如果反射镜不固定，而是以恒定的速度 V向右移动，则在时刻 什Is柱体的底面月到达 A处时，反射镜已移到A右边距离为"<ls的N处，这时底面S2移到A左侧离A的距离为cxls处，女口图2中 a所示.设再经过时间品与镜面相遇，但这时镜面己来到N'处，因为在，时间内，镜面又移过了一

14、段距离皿，即在时刻£ + ls + 成,底面月才到达反射镜被反射.亦即原在品处的光子须多行进山，的距离才能被反射.因此czk = (ls + 4) f得cv而这时，底面 S又向左移了一段距离 cAf.这样反射光的光子将分布在长为CX1S + 2&V的柱体内.因反 射不改变光子总数，设为反射光单位体积中的光子数，有/ S cf ), c + Vnc = n c + 2 = n c"c-V) c-V根据光强度的定义，反射光的强度澎顼CE,c-V n = n(9)由（4）、（ 8）、（ 9）各式得M .(10)注意到 矿<<c有 练习14 解析可以设想在事件A

15、发生时A处发岀一个闪光，事件B发生时B处发岀一个闪光。“两闪光相遇”作为一个事件，发生在线段AB的中点，这在不同参考系中看都是一样的“相遇在中点”这个现象在地面系中很容易解释：两个闪光同时发岀，两个闪光传播的速度又一样,当然在线段的中点相遇,火箭上的人则有如下推理：地面在向火箭故有方向运动，从闪光发生到两闪光相撞，线段中点向火箭的方向运动了一段距离，因此闪光B传播的距离比闪光A长些，既然两个闪光的光速相同，一定是闪光B发岀得早一些。练习152）运动物体的“质解析这里包含有两个相对论效应：（1）沿棒长方向运动时的“长度收缩”效应；（速关系"。若棒（K系）以速度v相对观察者（K，系）沿棒

16、长方向（x轴）运动，静止棒长 I是固有长度，所以,运动长度为E耳运动质量则线密度：J W MP若棒在垂直长度方向上运动时，长度不变，即/” =/,运动质量仍为式所示，则线密度.M p练习16解析根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式Ax = Ax-vAtJI-")2/、At - Axv / c = E" k 所以 Jl-(v/c)2 Eo ,At=.=Jl-(v/c)2 . (D由题意得：=0, Ax = Im, Ax' = 2m. 因此Ax'= / &Jl-")2a、-Axv/ c2 t =:Ji 一 (EC)?.由之上式得它们的

17、相对速度为v = CJ1_(AX/AX')2( 3)将(2)之下式除以(2)之上式得t' _ v所以，& = Jl-A2 = -J(Ax') 2-(Ar) 2 c Y &c=-0.577x10*s).S'系中收缩公注意在S'系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Ax' = 2m可以大于间隔k = Im.如果在观察到两事件也是同时发生的，那么Ax'就表示运动长度，就不可能大于本征长度Ax,这时可以用长度式M'=M小Tv/c)2 ,计算它们的相对速度.练习17解析以地球为 S系，贝U AZ = 10s, Ax = 1

18、00m.根据洛仑兹坐标和时间变换公式、 x-vt , t-vx/c 2X = ,= t = I=Jl (v/c)2 和 Jl-(v/c)2 ,飞船上观察运动员的运动距离为灵=芝-仙 _ 100 0.8CX10 J1 -(v/c)2Vl-o.8 2 A-4xl0 9(m).运动员运动的时间为At'= 厂 A" _ io-o.8xlOO/cJi-")?0.6el6.67(s).在飞船上看，地球以 0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s;运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4xl09练习18解析 在相对论能量关系 E = Eo

19、 + &中，静止能量&已知I,且Eo = m°c2,总能量为E-mc2- E。J-j /A4C I IJl-(v/c)2 J1- (V/C)2a Af A、Eo+EkAt = /= At 2匚由此得粒子的运动时为JI-( v/c)2 E°Ji%还可得解得速率为E。E° )2 E° + EkAZ = vAt = cAt ( E"耳尸-1| 一粒子能够通过的距离为V E°=3x1。x2.6xl(T J(l+30) -l = 24i67.4(m).练习19解析 粒子的非相对论动能为瓦=秫("/ 2,相对论动能 为E'k = " -nioc 1,其中m为运动质量% m = /一 4(/)2 .根据题意得秫。凌22/=咐Ji-")?1 1| I -V*设X = ")2,方程可简化为，或 1 = (1 + X ) VT=,平方得1 = (1 -j)(l -X ),化简得X(X2 -X -1) = 0.由于X不等于0,所以:x2-X-1 = 0.解得1 士 V5&l