人教版高中数学必修五数列基础知识要点总结

1、第二章 数列基础知识小结一、数列的概念与表示方法1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列。2、数列的通项公式如果数列的第n项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3、通项公式的作用求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.4、数列的分类根据数列项数的多少分有穷数列、无穷数列根据数列项的大小变化分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列5、数列的递推公式如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。6、数列前n项和的定义一般地，我们称a1+a2+a3+an为数列a

2、n的前n项和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+an二、等差数列与等比数列等差数列等比数列1、定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q(q0)表示。2、等差（比）中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时， A叫做a与b的等差中项.若A是a与b的等差中项，则A=a+b2。如果在a，b两个数中间插入一个数G，使a，

3、 G ，b成等比数列。这时，G叫做a与b的等比中项.、a与b是两个同号的非零实数、若G是a与b的等比中项，则G2=ab3、判断等差（比）数列的方法an-an-1=d2an=an-1+an+1(n2)an=pn+qanan-1=q(q0，n2)an2=an-1an+1(n2)an=cqn(c0，q0)4、等差（比）数列的通项公式an=a1+(n-1)dan=am+n-mdan=pn+q，其中p、q是常数an=a1qn-1an=amqn-man=cqn(c0，q0)5、性质1在等差数列an中，若已知am与an，其中 m，nN*，则该数列的公差 d=an-amn-m。若等比数列an中，公比

4、是q(q0)，则anam=qn-m。6、性质2在等差数列an中，若m+n=p+q且m、n、p、qN*，则am+an=ap+aq。特别地、在等差数列an中，若2s=p+q且s、p、qN*，则2as=ap+aq。在等比数列an中，若m+n=s+t（m，n，s，tN*），则aman=asat。特别地，等比数列an中，若2m=s+t（m，s，tN*），则am2=asat。7、性质3等差数列an的公差为d，若m、n、kN*，则am， am+k ， am+2k ， am+(n-1)k ，构成一个公差kd为等差数列（其中m与k为常数）。在等比数列an公比为q(q0)中，若m，k

5、N*，则am，am+k，am+2k，am+n-1k，构成一个公比为qk的等比数列。8、性质4若数列an与bn分别是公差为d1和d2的等差数列，则数列pan+qbn （p，q是常数）是公差为pd1+qd2的等差数列。若an和bn分别是公比为p和q的等比数列，则数列anbn，anbn仍是等比数列，它们的公比分别为pq，pq。9、等差（比）数列的单调性若d>0，则an为递增数列；若d<0，则an为递减数列；若d=0，则an为常数列。当q=1时，an为常数列；当q<0时，an为摆动数列；当q>1，a1>0 时，an为递增数列；当q>1，a1<0 时，

6、an为递减数列；当0<q<1，a1>0 时，an为递减数列；当0<q<1，a1<0 时，an为递增数列。10、等差（比）数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)2Sn=na1+n(n-1)2d当q=1时，Sn=na1；当q1时，Sn=a1-anq1-q 或 Sn=a1(1-qn)1-q11、前n项和的性质1当d=0时，Sn=a1n，是关于n的一个缺少常数项的一次函数，数列Sn图象是直线y=a1x上一群孤立的点；当d0时，Sn=d2n2+a1-d2n，是关于n的一个缺少常数项的二次函数，数列Sn图象是抛物线y=d2x2+a1-d2x上一群孤立的点。当q=1时，

7、Sn=na1，数列Sn的图象是函数y=a1x上的一群孤立的点；当q1时，Sn=a1(1-qn)1-q=a11-q-a11-qqn，设A=a11-q，则Sn=A-Aqn，此时，数列Sn的图象是函数y=A-Aqx的图象上一群孤立的点。12、前n项和的性质2等差数列前n项和的性质2：等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，（kN*）是等差数列，其公差等于k2d。等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，（kN*）是等比数列，其公比等于qk。13、前n项和的性质3等差数列an的前n项和为Sn，项数为2n（nN*）项，

8、则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd，S奇S偶=anan+1；等差数列an的前n项和为Sn，项数为2n-1（nN*）项，则S2n-1=(2n-1)an，S奇-S偶=an，S奇S偶=nn-1.在等比数列中，若项数为2n（nN*），则S偶S奇=q三、典型题型小结1、三（四）个数成等差（比）的设法四个数成等差数列常设为a-3d， a-d ， a+d ， a+3d ，公差为2d 。若三个数成等差数列常设为a-d ， a ， a+d，公差为d 。已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为aq，a，aq，

9、其中q为公比。 若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为aq3，aq，aq，aq3，因为这种设法使得四个数的公比为q2，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。2、求数列最大（小）值的方法一般方法解不等式an>an-1an>an+1；或an<an-1an<an+1特别地，若an为等差数列，Sn为它的前n项的和时，求Sn的最大（小）值可以利用二次函数的性质；an中项的符号。3、求数列通项的常用方法观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；公式法：利用an=S1   n=1,Sn-Sn-1   n2.求

10、通项公式根据递推公式求通项公式：（1）迭代法：对于形如an=f(an-1)型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使an与初始值a1 (或a2)建立联系的方法就是迭代法（2）累加法：形如an+1-an=f(n)的递推公式可用an-a1=an-an-1+ an-1-an-2+a3-a2+a2-a1=fn-1+fn-2+f2+f(1)求出通项；（3）累乘法：形如an+1an=f(n)的递推公式可用an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=f(n-1)f(n-2)f(2)f(1)a1求出通项；（4）形如an+1=pan+f(n)(p0，a1=a)形

11、式可用待定系数法。4、数列求和的常用方法公式求和法：公式法是数列求和的最常用方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前n项和的公式，如：1+2+3+n=12n(n+1)；12+22+32+n2=16n(n+1)(2n+1)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前n项和时一般采用(乘公比q)错位相减法如若公比是字母，须对q=1或q1进行讨论裂项相消法：把数列的通项裂成两项之差后求和，正负项相消，剩下首尾若干项使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点如：(1)1n(n+1)=1n-1n+1，(2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，(3)1n(n+1)(n+2)=12