电场线高斯定理

1、 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 电场是物质存在的一种形式，由带电体所激电场是物质存在的一种形式，由带电体所激发发. .电场是矢量场电场是矢量场, ,为了形象描述电场引入电场线为了形象描述电场引入电场线. .6-3 6-3 电场线电场线 高斯定理高斯定理规定：规定：一一. .电场线是在电场中画的曲线电场线是在电场中画的曲线表示电场方向：表示电场方向：曲线上每一点的切向为该点的场强方向曲线上每一点的切向为该点的场强方向. .AEBEBA 太原理工大学物理系太原理工大学物理系E电场线的性质电场线的性质 1 1）电场线起于正电荷）电场线起于正电荷( (或无限远处或无限远处) )，终于负，终于负

2、电荷电荷( (或无限远处或无限远处) )。 2 2）两条电场线不会相交）两条电场线不会相交. . 3 3）静电场电场线不闭合）静电场电场线不闭合. .表示场强表示场强大小大小：电场线的疏密程度表示场强的大小电场线的疏密程度表示场强的大小.dSdNE 太原理工大学物理系太原理工大学物理系说明：说明：电场是连续分布的，分立电场线只是一种形象化电场是连续分布的，分立电场线只是一种形象化的方法。的方法。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 矢量场的宏观特征表现为：矢量场矢量场的宏观特征表现为：矢量场“源源” 及及“旋旋”，它是矢量固有性质的反映。，它是矢量固有性

3、质的反映。 （2 2）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无）若矢量场的环流处处为零，则称该矢量场无旋，反之该矢量场有旋。旋，反之该矢量场有旋。 静电场是矢量场，通过讨论静电场的通量和静电场是矢量场，通过讨论静电场的通量和环流得到静电场的性质环流得到静电场的性质. .在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：在高等数学中，可以得到矢量场一般性的结论：（1 1）若矢量场的通量处处为零）若矢量场的通量处处为零, , 则称该矢量场无则称该矢量场无源，反之该矢量场有源。源，反之该矢量场有源。 太原理工大学物理系太原理工大学物理系二二 电场强度通量电场强度通量定义：定义：通过某面积通过某面积S的电通量等

4、于通过的电通量等于通过S的电场线的电场线的条数。的条数。(1)(1)均匀电场，均匀电场， S是平面，是平面，且与电场线垂直且与电场线垂直ESE电通量电通量ES(2)(2)均匀电场，均匀电场， S S是平面，是平面，与电场线不垂直与电场线不垂直ESncosESESEE电通量电通量 太原理工大学物理系太原理工大学物理系(3) (3) S是任意曲面，是任意曲面，E是非均匀电场把是非均匀电场把S分成分成无限多无限多dSESdE通过通过dS的通量的通量SEddE通过整个曲面的电通量通过整个曲面的电通量sSEddEEcossSEdE对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向面外。对于闭合曲面，规定闭合面的法线指向

5、面外。 SSSESEddEcos 太原理工大学物理系太原理工大学物理系E0,22E2d0,21E1d S为封闭曲面为封闭曲面电场线穿出处电场线穿出处 电场线穿入处电场线穿入处 通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场通过闭合曲面的电通量为穿过整个闭合面的电场线的净根数。线的净根数。SSEdEcos1dS11E2dS22E 太原理工大学物理系太原理工大学物理系三、高斯定理三、高斯定理 高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电高斯定理是静电场的一个重要定理，反映电通量和场源电荷之间的关系通量和场源电荷之间的关系. . 在真空中在真空中, ,通过任一闭合通过任一闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通

6、量, ,等于该等于该曲面所包围的所有电荷的代曲面所包围的所有电荷的代数和除以数和除以 . .0niiSqSE101dE高斯高斯 太原理工大学物理系太原理工大学物理系r+q四四 高斯定理的证明高斯定理的证明ssESdrrqSdE02041sdSrq20422044rrq0qSdE(方法方法:从特殊到一般从特殊到一般)1 1、点电荷、点电荷q q 被任意球面包围被任意球面包围 设设q 0，场具有球对称性，场具有球对称性 太原理工大学物理系太原理工大学物理系2 2 点电荷点电荷q被任意曲面包围被任意曲面包围 ss推广到任意形状的闭合曲面推广到任意形状的闭合曲面ss电场线不会中断，电场线不会中断， 通

7、过通过S面面的电通量与通过球面的电通量与通过球面 电通量是相同的。电通量是相同的。+q0qSEsEd0qSEsEd 太原理工大学物理系太原理工大学物理系s 点电荷点电荷q在闭合曲面在闭合曲面S外时，电场线从一侧穿入外时，电场线从一侧穿入S面面，从另一侧穿出从另一侧穿出S 面，面，从闭合面穿出的电场从闭合面穿出的电场线的净数目等于零。线的净数目等于零。0dsESE3 闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷 1s2s+q 太原理工大学物理系太原理工大学物理系设带电体系由设带电体系由n个点电荷组成个点电荷组成4 多个点电荷被任意闭合曲面包围多个点电荷被任意闭合曲面包围高斯面高斯面S1kq2kq1q

8、2q3qkq其中其中 k个在闭合面内个在闭合面内n-k个在闭合面外个在闭合面外 太原理工大学物理系太原理工大学物理系 SEEd由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律高斯定理成立的基础是：静电场的库仑定律nsiiSqSE面内）（101dSEEEnd 21SESESEnddd 2101qkiiq10102q0.qk00. 太原理工大学物理系太原理工大学物理系2） q0 ， E0，电场线穿出闭合曲面，正电荷，电场线穿出闭合曲面，正电荷为静电场的为静电场的源头源头。1） q0， E R）3、均匀带电长直圆柱面电场的分布均匀带电长直

9、圆柱面电场的分布大小相同，方向与圆柱面垂直，大小相同，方向与圆柱面垂直，电场分布具有柱对称性电场分布具有柱对称性. .高斯面：高斯面：圆柱形闭合面圆柱形闭合面侧下上SESESEddd 太原理工大学物理系太原理工大学物理系rE02 0 2hrhE p点在点在圆柱体内圆柱体内（r R为为半径的球面半径的球面S作为高斯面。作为高斯面。SSEErSESESE24cosdddo通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量Pr 太原理工大学物理系太原理工大学物理系o因因p点在球面外点在球面外00qqiERrrrqE 4020若若p 点在球面内时，高斯面包含的电荷量点在球面内时，高斯面包含的电荷量qRrrRqrqi

10、33333343434Pr 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例2 2 有一个半径为有一个半径为R 的球体，球内部带电，的球体，球内部带电，电荷体密度的表达式为电荷体密度的表达式为 4( )qrrR( )0r (rR) (rR)求求(1) (1) 球体总带电量球体总带电量Q解：解：在球内取半径为在球内取半径为r，厚度为，厚度为dr的薄球壳，该的薄球壳，该壳内包含的电量壳内包含的电量drrRqdrrRqrdVdq342444 太原理工大学物理系太原理工大学物理系球体总带电量球体总带电量dqQqdrrRqR0344(2) (2) 球内、外部空间的场强分布函数。球内、外部空间的场强分布函数。场强

11、分布具有球对称性，高斯面为球面。场强分布具有球对称性，高斯面为球面。通过高斯面的电通量通过高斯面的电通量24 rE0iqE 太原理工大学物理系太原理工大学物理系当场点在球面外时当场点在球面外时qqiRrrrqE10210 4当场点在球面内时当场点在球面内时qdqi42403424rRqdrrRqrRrrRqrE204022 424 rE42401rRq 太原理工大学物理系太原理工大学物理系例例3 一厚度为一厚度为d d的无限大均匀带电平板，电荷的无限大均匀带电平板，电荷体密度为体密度为。试求板内外的场强分布，并画出。试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标的变化曲线。场强随坐标的变化曲线。 dxo解：解：电荷分布有面对称电荷分布有面对称性，平板两侧到中心面性，平板两侧到中心面距离相同的各点，场强距离相同的各点，场强大小相等。方向与平板大小相等。方向与平板垂直。垂直。高斯面取作圆柱面，其轴与高斯