函数的单调性

1、观察函数y=2x+1的函数值随自变量x变化的规律vf(x)=2x+1的函数值随自变量x的增大而增大观察函数y=-2x+1的函数值随自变量x变化的规律vf(x)=-2x+1的函数值随自变量x的增大而减小 0 xy2123133124观察图象：观察图象：1x2x1x2x图象在图象在y轴右侧部分是上升的，也就是说，当轴右侧部分是上升的，也就是说，当x在在0, )上取值时，随着上取值时，随着x的增大，相应的的增大，相应的y值也随值也随着增大。着增大。 即如果取即如果取 , 0, ) ， 那么那么 当当 时时,有有 f( )f( ). 这时我们就说函数这时我们就说函数f(x)= 在在0，)上是增函数，即

2、函数上是增函数，即函数f(x)=x2在在0, )上单调递增。上单调递增。1x2x2x2x1x1x2x1x图象在图象在y轴左侧部分是下降的，也就是说，当轴左侧部分是下降的，也就是说，当x在在（ ，0）上取值时，）上取值时， 随着随着x的增大，相应的的增大，相应的y值反而随着减小。即如果取值反而随着减小。即如果取 , （ ，0）,那么当那么当 f( ). 这时我们就说函数这时我们就说函数 f(x)= 在（在（ ，0）上是减函数，即函数）上是减函数，即函数f(x)=x2在（在（，0）上单调递减。）上单调递减。2x2xf(x)=2x作函数作函数f(x)=x2的图象，的图象，定义：定义：一般地一般地,设

3、函数的定义域为设函数的定义域为I : 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的内某个区间上的任意任意两个自两个自变量的值变量的值 , ,当当 时时,都有都有f( )f( ) ,那么那么就说就说f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数.1x1x1x2x2x2x0yxy=f(x) f(x1) f(x2)x1x2 若取某区间上任意两个实数若取某区间上任意两个实数x1,x2,且且x1x2f(x1)f(x2)，则则f(x)在这个区间上是增函数。在这个区间上是增函数。 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的内某个区间上的任意任意两个自两个自变量的值变量的值 , ,当当 f

4、( ) ,那么那么就说就说f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.1x1x1x2x2x2x0yx f(x1) f(x2)y=f(x)x1x2 若取某区间上任意两个实数若取某区间上任意两个实数x1,x2,且且x1f(x2)，则则f(x)在这个区间上是减函数。在这个区间上是减函数。(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数那么就说函数y=f (x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性单调性,这一区间叫做这一区间

5、叫做y=f (x)的单调区间的单调区间.(2)在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的,减函数的图像从减函数的图像从左向右是下降的左向右是下降的.(3)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,例如例如:y=x 在在0, )上为增函数上为增函数,在在(，0)上为减函数上为减函数;但在但在(, )上上不具备单调性不具备单调性.此函数在此函数在(, )上也不是单调函数上也不是单调函数.因此因此:说哪个函数是单调增说哪个函数是单调增(或减或减)函数时函数时,一定要指明是在哪个区间一定要指明是在哪个区间.注意:【例【例1】 （

6、1） 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间5,5上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象,根据图象说出根据图象说出y=f(x)的单调区间的单调区间,以及在每以及在每一单调区间上一单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数.30 xy131223124454512解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 5, 2), 2,1), 1,3), 3,5.其中其中y=f(x)在区间在区间5, 2), 1,3)上上是减函数，是减函数，在区间在区间2,1), 3,5上是增函数。上是增函数。注意：区间与区间之间只能用注意：区间与区间之间只能用“，”隔开，隔开， 不能用不能用“

7、U”连接起来。连接起来。0 xy2123133124f(x)=2x【例【例1】 （2）如图，说出）如图，说出f(x)=x2的单调区间。的单调区间。解：解： (，0)是是函数函数f(x)=x2减区间减区间,0，)是是函数函数f(x)=x2增区间。增区间。例例2：作出下列函数的图像，并求单调区间，：作出下列函数的图像，并求单调区间， 以及以及f(x)在该区间上是增函数还是减函数。在该区间上是增函数还是减函数。（1）y=3x+2 (2) y= -3x+2 223yxx 223y xx1yx1yx （3）（4）（5）（6）总结：总结：1 1、y=kx+by=kx+b （1 1）当）当 k0k0时，时，

8、f(x)f(x)在在 (, )上为增函数。上为增函数。 （2 2）当）当 k0k0时，时，f(x) 在在 上为增函数。上为增函数。 （2）当）当 k0时时,f(x) 在在 上为减函数。上为减函数。 在在 上为增函数。上为增函数。 （2）当）当a0 时时,f(x) 在在 上为增函数。上为增函数。 在在 上为减函数。上为减函数。kyx(,0),(0,)(,0),(0,)2(0)yaxbxc a(,2ba ,)2ba (,2ba ,)2ba 【例【例3】 证明函数证明函数f(x)= 在在(0, )上是减函数上是减函数.x1 若取给定区间上任意两个实数若取给定区间上任意两个实数x1,x2,且且x1f(

9、x2)，则则f(x)在这个区间上是减函数。在这个区间上是减函数。根据单调函数的定义:证明:设 , 是 (0, )上的任意两个实数上的任意两个实数,且且 ,则则-1x1x2x1x2x【例【例4】证明】证明:函数函数f(x)= 在在(1, )上上 是增函数。是增函数。【例【例5】证明：函数】证明：函数 在在 R 上是增函数。上是增函数。223xx【例【例6】证明：函数】证明：函数 在在 上是增函数。上是增函数。3yxx2yx 2,) 小结小结: 用定义法证明函数在给定区间上是增函数还用定义法证明函数在给定区间上是增函数还是减函数是减函数, 步骤为步骤为: 一、设值；一、设值； 二、作差；二、作差； 三、变形三、变形(化成几个因式相乘除的形式）；化成几个因式相乘除的形式）； （1）因式分解；（）因式分解；（2）配方；（）配方；（3）有理化；）有理化； 四、判断符号；四、判断符号； 五、下结论。五、下结论。【练习】证明【练习】证明f (x)= - x-4x+3在在(-,-2上为增函数上为增函数.1.书写规范书写规范2.根据学过的什么性质能够得到想要的结果根据学过的什么性质能够得到想要的结果.小结：小结：1、求函数的单调区间可用图象法与定义法。、求函数的单调区间可用图象法与定义法。2、证明（判断）函