2019-2020年高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲高考达标检测五十九绝对值不等式理

1、2019-2020年高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲高考达标检测五十九绝对值不等式理1. (XX ?唐山模拟)已知函数 f(x) = |2x- a| + |x + 1|.当a= 1时，解不等式f (x)<3 ;若f(x)的最小值为1,求a的值.3x x v 1- x + 2, - 1<X<解：因为 f(x) = |2x - 1| + I x + 1| =2I13x, x> ,且 f=f( - 1)所以f (x)<3的解集为x| - 1<x<1.|2 x- a| + |x+ 1| =ax 2+ |x+ 1| +alx-2卜1+ 2+ 0 =a1 + 2当

2、且仅当(x+ 1)'x - 2 !<0且x -1= 0时，取等号所以1+a=1,解得a=- 4或0.2. 已知函数 f (x)= |2 x+1| , g(x) = | x 1| + a.当a= 0时，解不等式f (x) > g(x);(2)若对任意x? R, f(x) >g(x)恒成立，求实数 a的取值范围.解：(1)当 a= 0 时，由 f(x) > g(x),得 |2 x+1| >| x 1| ,两边平方整理得 x2 + 2x>0, 解得x»。或xv 2.所以原不等式的解集为(一汽一 2 U 0 ,十八).(2)由 f(x) >

3、g(x),得 aw|2x + 1| |x- 11.令 h(x) = |2 x+1| |x 1| ,则 h(x)=3x, - 2<x<1,x+ 2, x > 1.:13故 h( X) min =厂一h''故所求实数a 的取值范围为 f 2 .3. 已知函数f(x) = |2xa| + |2 x1| , a?R.当 a= 3 时，求关于x 的不等式f(x) W6 的解集； 当 x?R 时，f(x) > a2a13, 求实数 a 的取值范围 .解： 当 a= 3 时，不等式f(x) W6 可化为|2x3| + |2x1| < 6.1 1 1 当 x<

4、;2 时，不等式可化为 (2 x 3) (2 x 1) =4x + 4W6, 解得x<2；13 左132 三 x< 时，不等式可化为一(2 x3) + (2 x1) = 2< 6, 解得 w x<-;当x>2时，不等式可化为(2x 3) + (2x 1) = 4x 4<6,解得八<xw-.综上所述，关于 x 的不等式 f (x) <6 的解集为 .x x xw5(2)当x?R 时， f(x)= |2x a| +|2x 1| >|2xa+1 2x| =|1 a| , 所以当 xR 时， f (x) > a2a13 等价于 |1 a| &

5、gt; a2a13.当awi时，等价于1 a> a2 a13, 解得 14 w aw 1 ；当a>1时，等价于a1 >a2a13, 解得1<aw 1+? 13,所以 a 的取值范围为 14, 1+13 .4. 已知函数 f (x) = | x a| + |2 x +1|.(1)当 a= 1 时，解不等式f (x) w3；若f (x) w2 a+ x在a,+s)上有解，求a的取值范围.解： ( 1) 当 a= 1 时， f (x) w3 化为|x1| + |2x +1| w3,1x< j1 x 1 2x或3 xw 1解得 1w x< 1 12 或 2w xwi

6、 或 ?.1 x + 2x+ 1w3 x>1 , 或1x 1 + 2x + 1 w3,所以原不等式解集为x| - 1w xw 1.(2)因为 x? a,+f),所以 f (x) = | x a| + |2 x+ 1| = x a+ |2x +1| w2 a+ x,即|2 x+1| w3 a有解，所以a>0,所以不等式化为2x + 1w3a有解，即 2a + 1 w3 a,解得 a> 1,所以a的取值范围为：1 , +A ).5. 设函数 f (x) = |2 x a| + 2a.若不等式f(x) W6的解集为 X| - 6W XW 4,求实数a的值; 在 的条件下，若不等式f

7、(x) <(k2 1)x- 5的解集非空，求实数 k的取值范围.解:|2x a| + 2a<6,? -12 x a| w6 2a, 2a 6W2 x aw6 2a,3a? ?* a 3 w x w 3.22而 f (x) W6 的解集为x| 一 6W xw4,故有解得a=- 2.3 Aa= 4(2)由得 f(x) = |2x + 2| - 4,? ?不等式 |2 x + 2| 4w( k 1) x 5,化简得 |2x + 2| + iw( k 1)x,x + 3, x> 1,令 g(x) = |2 x+ 2| + 1 =2x1, x<1.11f出函数y = g(x)的图

8、象如图所示.2要使不等f (x) w(k 1)x5的解集非空，只需 k2 1>2 或 k2 1 w 1,解得k> 3或k< ,3或k = 0,?实数k的取值范围为( a, 3) U 0 U ( ,3,+a ).6. 设函数 f (x) = | ax- 1|.(1)若f(x) w2的解集为-6,2,求实数a的值；的取(2)当a= 2时，若存在x ? R,使得不等式f(2x+ 1) f(x- 1) w 7 3 m成立，求实数 值范围.解：(1)显然aA0,1 3当a>0时，解集为一；,I 一则一一 二6, = 2,无解;a a 一 a a当av0时，解集为;3 1 13a,

9、贝！ a = 2, a =6, 4导 a =-.1综上所述，a= 2.(2)当a=2 时，令h(x)= f (2x + 1) f(x 1) =|4x+1| 一|2x3|2x4, xw 4,13=6x2, 4 < xv 2,I32x+ 4, x >2 ，由此可知，h(x)在一O， 4上单调递减，在 4, |上单调递增，在j|,+ m上单17调递增，则当x= 4时，h(x)取到最小值一 2,由题意知，7w7 3m 解得 mw2,7故实数 m 的取值范围是 OO7. (xx ?九江模拟)已知函数f(x) = | x 3| | xa|.当 a= 2 时，解不等式f (x) w 2 ；(1)

10、若存在实数a, 使得不等式 f (x) > a 成立 , 求实数 a 的取值范围 .解： ? a= 2,1, xw2,?f(x) = | x3| |x 2| = 5 2x, 2<x<3, 1, x>3,? f(x) w2等价于 w 2,2<x<3,x> 3,2 1w-2 或或15 2x 1 ww2,11解得厂x< ?实数a 的取值范围是&已知函数f (x) = |2 x+1| | x| + _a,(1) 若 a=1, 求不等式 f (x) 0 的解集；(2) 若方程 f (x) = 2x 有三个不同的解，求a 的取值范围 .或 x>

11、3,?不等式的解集为(2)由不等式性质可知f(x) = | x3| |x a| w |( x3) (x a)| = |a3| ,3?若存在实数 x, x, 使得不等式f (x) > a 成立，则 | a 3| > a, 解得 aw- ,解：当a=- 1时，不等式f(x) >0可化为|2x+1| - |x| 一1> 0,一次+1x 1 >01I 2 三 x<0,或 f 22x+ x 1>0x> 0,?x+l x 1 > 0,解得XW 2或x >0,?不等式的解集为(一 g, 2 UO,+S).(2)由 f(x) = 2x,得 a= 2x

12、 + | x| 一 |2x + 1| ,令 g(x) = 2x + |x| 一 |2x+ 1| ,13x + 1, x< 一,则 g(x)=1x 1,一芦 x<0,x 1, x>0,作出函数y = g(x)的图象如图所示易知 A 一，一 2 , B(0， 1),结合图象知：当一 1<a< 一 2时，函数y= a与y= g(x)的图象有三个不同交点，即方程 f(x) =2x有三个不同的解,式证明理2 21 .已知a, b都是正实数，且 a+ b= 2,求证：aba+ 1 + b+ 1证明：？?？a>0, b>0,a+ b= 2,? a2b2 a2b +

13、1+ b2 a+1 a+b+1a+ 1 + b+ 1 -b b+ 1=a+ b+a2b+ a2+ b2a+ b2 ab a b 1 a+1 b+1a + b + ab a + b ab a+ b 1 a+ b+1 ab b + a+b+2 2 2a + b + 2ab ab 3 a+ b 3 ab a+ b+ a+/ a+ b= 2>2 ab,. ab< 1.1 ab>0.设rri> n >0,求证:m- na+ b+ 则 h(x) = ' 3, 1 v xv 2,_2x1 , x > 2 ,则h(x)的最小值为3.T对任意实数x, | x + 1|

14、 + |2 - x| > a都成立，即h(x) > a, ? aw 3.a= 3.12,且 mi>n > 0, m- n证明：由(1)知a= 3.t 2mA 吊=2补开# 2n= ( m n) + (m n) +? (m- n) + ( m- n) +-12m- n4.m- n? 2m+ 2m 2mnA n2>2n+ a.已知x, y, z是正实数，且满足x+ 2y + 3z = 1.111 , +(1)求+-+-的最小值；x y z1求证：x1 3 + y2 + z2>.解：(1) t x, y, z是正实数，且满足x+ 2y+ 3z = 1,1 1 1x

15、 + y+ z( X+ 2y+ 3z)2y 3zx 3z x2y+ 一 + + 一 + 一 + 二x xy y z z2yx3zx3z2y当且仅当二二-且一=-且一二，时取等号.xyxzyz(2)由柯西不等式可得1 = (x+ 2y + 3z) 2<(x2 + y2 + z2)(1 2 + 22 + 32)13z=和时取等号.=14(x2 + y2+ z2),y z1当且仅当x = 2= 3,即x =必y = 7,故 x2+ y2 + z2> 右.5. (xx ?石家庄模拟)已知函数f (x) = |x| + |x 1|.若f(x) >| m- 1|恒成立，求实数 m的最大值

16、M在(1)成立的条件下，正实数a, b 满足a2+ b2= M 证明： a+ b>2ab .解： ( 1) 由绝对值不等式的性质知f(x) = |x| + |x 1| >| x x+ 1| = 1 ,? f( x) min = 1,. ? . 只需| m1| W 1,即一 1W m- 1 W1 ,? 0W mW2,?实数m 的最大值 M= 2.(2)证明： T a2+ b2>2 ab, 且 a2+ b2= 2,? abw 1,? abw 1, 当且仅当a= b 时取等号 . 一 a+ bab 1又，abw 丁，？ aXbw2,?w寻，当且仅当a= b时取等号.a+ b 2ab

17、 1由得， <- ,? a+ b>2ab.a十b 26. (xx ?吉林实验中学模拟) 设函数f (x) = | xa|.(1) 当 a= 2 时，解不等式f (x) >4|x 1| ;1 1 若f (x) wi的解集为0,2,言千2n= a(m>0 , n>0),求证:m八2 n> 4.解： ( 1)当 a= 2 时，不等式为 |x 2| + | x1| >4. 当 x>2 时，不等式可化为 x 2+ x1>4, 解得 x>|; 当 1 < xv 2 时，不等式可化为 2 x+ x 1 >4,不等式的解集为 ?;1 当

18、xW1 时，不等式可化为 2 x+ 1 x>4, 解得xw2综上可得，不等式的解集为3一 1U |,十八(2) 证明 : T f(x) w 1 , 即 | xa| w 1,解得 a1w xwa+ 1 , 而 f (x) wi 的解集是 0,2 ,a1 = 0,?解得a= 1,a+1 = 2,1 1 所以种 2n= 1(m>0, n>0) ,初1 )所以mA2n= (mA2n)甜亦t的取值范围.小？ ？ 2 .2 z ? 、2+ 2abcd + b d = (ac+ bd),所b= d时取等号.¥U 2 +R).| ab -1|>| a b|.m 2n rm2n

19、2n ? m当且仅当m=2, n=1时取等号.7,已知a, b, c, d均为正数，且 ad= be. 证明：若 a+ d>b+ e,则 |a d|>| b- e| ；若 t ? , a2 + b2 ? , e2 + d2= a4+ e4+ b4+ d4,求实数 解：证明：由a+d>b+e,且a, b, e, d均为正数， 得(a+d)>( b+ e),又 ad= be,所以(a d) >( b e),即 | a d|>| b c|.rr-r z2,2、，2.2、222 2 .22 ? 2 .222(2 )因为(a + b )( e + d ) = a e

20、+ a d + b e + b d = a e 以 t ? a2 + b2 ? e2 + d2 = t(ac+ bd).由于寸 a4 + e4ac,寸 b4+ d4» 述 bd,又已知 t ? a2 + b2 ? e2 + d2 = ,a4+ e4 + b4+ d4,贝U t(ac+ bd) (ac+ bd),故 t ,当且仅当 a= e,所以实数t的取值范围为2 J.&已知函数f(x) = |x -1|.(1)解不等式 f (2x) + f(x + 4) >8;fab Cb若|a|v1 , |b|<1 , azO,求证：一八 >fa .解:(1) f(2x

21、) + f(x+ 4) = |2x 1| + |x+ 3|3x 2, x< 3,f1-x+3 W x<2,13x+ 2, x >210当xv 3时，由一 3x 2>8,解得xw 一亍1当一 3< xvq 时，一 x+ 4>8 无解;当x>时，由3x+ 2>8,解得x>2.Ji所以不等式f(2x) + f(x+ 4) >8的解集为 (一证明:1ab >f b等价于f(ab)>| a|f?, 即 |a|因为 | a|<1 , | b|<1 ,22222222所以 | ab 1| - | a b| = (a b -2ab+ 1) - (a -2ab+