2020届山西晋中高三下学期一模普通招生考试模拟数学理试题解析

1、绝密启用前2020届山西省晋中市高三下学期一模（普通招生考试模拟）数学（理）试题2、请将答案注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息正确填写在答题卡上一、单选题1.集合Ax|x2x2-0,Bx|y五,则6AIB()A.0,2)B.(1,)C.0,1)D.(2,1)答案：C求解一元二次不等式解得集合A,求解yTx的定义域解得集合B,再求集合交和补运算，则问题得解.解：2因为集合Ax|xx2S0x|x2或xT,eAx|2x1,集合Bx|y.xx|x-0,所以eRAIB0,1).故选：C.点评:本题考查一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2.若复数1三（aR,i为

2、虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A.1B.0C.1D.22答案：D利用复数的混合运算化简解：1ai（1ai）（2因为1ai令其实部为零，虚部不为零,i2a(12a)i2i(2i)(2i)即可求得结果由题意知故选：D.点评:0,512a八0,5本题考查复数的混合运算，涉及由复数的类型求参数值，属综合基础题|b|=1,且ar(a4b）,则向量a,b的夹角为（A.30B.60C.120D.150答案：B由向量垂直则数量积为零，求得1,再根据夹角公式求得结果解:根据题意，由于向量r|a|r|b|=1r(arra(ar4b)r2ar4a故cosa,b|a|b|又向量夹角的范围为0,故可知向量a,b的夹

3、角为故选：B.点评:本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题4.若xy,则下列不等式恒成立的是（1A.一xB.tanxtanyC.ln(xy)0D.11x3y3答案:根据不等式性质，正切函数、骞函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可解:所以A错误;,tanxtany,所以B错误;4对于C选项，由于数函数ylnx在（0,）上单调递增，Qxy,当0xy1时，ln（xy）ln10,C选项中的不等式不恒成立，故C错误；若xy,且哥函数、，）在（，）上单调递增，所以GJ,所以D正确.yxxy故选：D.点评：本题考查正切函数、对数函数、募函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基

4、础题.5.给定下列四个命题，其中真命题是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直答案：D根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断.解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错误；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，

5、C错误对D:利用反证法简单证明如下：若两个平面，垂直，假设一个平面内与它们的交线l不垂直白直线11与另一个平面垂直.因为li,且平面，的交线l,故可得lil,这与题设l与li不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立即D选项正确.故选：D.点评：本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O,且经过点P刈,2,若点P到该抛物线焦点的距离为3,则|OP|等于()A.22B2.3C.4D.2.5答案：B根据抛物线的定义，求得P,再结合抛物线方程，求得点P的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.解：因为抛物线过点PX0,2

6、,故可得该抛物线开口向上，设其方程为x22py,(p0),由抛物线定义知，23所以p22则抛物线方程为x24y,2因为点Px),2在此抛物线上，所以Xo8,于是|OP|X；42x3,故选：B.点评：本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题217.已知函数f(x)sin2x-(0)的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平2移a(a0)个单位，所得图象关于x对称，则实数a的最小值为()3A.-B.C.D.434答案：B利用降哥扩角公式化简fx,再根据其周期求得，结合图象的左右平移求得平移后x一是函数的对称轴，求得关于a的方程，即可求得a的最小值.3的解析式，利用解:21谷勿知f(x

7、)sinx-cos2x2一，2又其周期为22将其图象向右平移a个单位可得1-cos2(xa)的图象,根据其图象关于x对称，3-2-,可得2ak,kZ,3k则a，kZ,又a0,32故当k0时，a取得最小正值为一.所以实数a的最小值为一.3故选：B.点评：本题考查降哥扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：100mL血液中酒精含量达到20,80)mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时3

8、0%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过()A.2小时B.4小时C.6小时D.8小时答案：C列出函数模型y16010.31根据题意，列出不等式，求解即可.解：因为1.6100160,故喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为160mg.不妨设喝酒后经过的时间为n,n小时后100mL血液中酒精含量为y,故可得y16010.3n.根据题意，若想安全驾驶，则y20,即可得160(10.3)n20n1即0.7n82一一11因为0.720.49,又128根据选项可知，n取整数，所以n6,故选：C.点评：0.760.75本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题9.已知a

9、为正整数，tan1lga,tanlga,且一，则当函数4f(x)asinJ3cos(0,)取得最大值时，()A.2答案：C2B.3C56D.利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a；再利用辅助角公式化简fx,根据其最值，求得即可.解：由条件知一，则由tan()1,4tantan(1lga)lga.得tan()-1,1tantan1(1lga)lga即（1lga）lga0,1.斛得a1或a一（舍去），10则f(x)sin.3cos2sin一3因为0,所以一3则当一一，即32时,函数f(x)取得最大值，故选：C.点评：本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最

10、值时自变量的求解，属综合中档题.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12,若要使该总体的标准差最小，则4x2y的值是()02231 Xy992 0A.12B.14C.16D.18答案：A由题，中位数为12,求得xy4,再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x,y的值，即可求得答案.解：由题，因为中位数为12,所以2xy421数据的平均数为：一(2234xy2019192021)11.410要使该总体的标准最小，即方差最小，所以2222xy2.82(10x11.4)2(10y11.4)2(x1.4)2(y1.4)22(xy)20.722当且紧当x1.4y1.4,

11、取等号，即xy2时，总体标准差最小此时4x2y12故选A点评：本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型.2211.已知双曲线C:x2与1(a0,b0)与圆O:x2y2b2相交于A,B,C,D四点,ab如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且|AF|3|CF|,则双曲线C的离心率为)A.2B.3C.2D.；5答案：B设双曲线的右焦点为F2,连接AF2,CF2,AC,由四边形是平行四边形，结合双曲线的定义，即可求得ACF90，再在nACF中，由勾股定理，即可求得a,b等量关系,结合离心率的求解公式，则问题得解.解：设双曲线的右焦点为F2,连接AF2,CF2,AC

12、，作图如下：根据对称性知AFCF2是平行四边形，所以有AF2|CF|,又点A在双曲线上，所以|AF|AF22a,因为|AF|3|CF|,所以|AF|AF23|CF|CF|2|CF|2a,即|CF|a,而在三角形OFC中，|FC|a,|OC|b,|OF|c,所以三角形OFC为直角三角形，且OCF90.在三角形AFC中，|AF|3a,|CF|a,1AC|2b，ACF90，所以9a2a24b2,即2a2b2,所以双曲线的离心率e与、/3.故选：B.点评：本题考查双曲线离心率的求解，本题的难点在于求得12.函数f(x)2x1，g(x)2xa,b的等量关系，属中档题.*NXi,X2,L,Xn1,5),其

13、中fx1fx2fxn1xngx1gx2Lxn1fxn的最大值为(A. 8B. 9C. 10D.11答案：C构造函数h(x)g(x)f(x)4x5,将问题转化为hxnhx1hx2hxn1,有根，结合hx的值域，将问题进为根据集合之间的关系，求参数范围即可解:令h(x)g(x)2f(x)x4x5,则fx1fx2fxn1xngXigx2gXn1xngxnfxngx1fx1gx2x2xn1fxn1hxnhx1x2Lxn1，因为Xi,X2,L,Xn所以h(x)1,10),即1,hXn10,所以n1,hx1hx2由hxnhx1hx2集合1,10)In1,10(n因为nN且n2,1,5),容易知二次函数hL

14、hXn110(n1),LhXn1知，1)4x5对称轴为x2,所以n1-1,10(n1卜10,所以1,n110,即2,n11,又nN*.所以n的最大值为10.故选：C.点评：本题考查由集合之间的关系求参数范围，函数思想的应用，涉及二次函数值域的求解，属综合压轴题.二、填空题13 .某篮球运动员罚篮命中率为0.75,在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E(X).答案：37.5根据题意，X服从二项分布，根据二项分布数学期望的计算公式即可容易求得结果.解：根据题意可知：X满足二项分布，即可XB50,0.75,故E(X)500.7537.5.故答案为：37.5.点评：本题考查二项分布数学

15、期望的求解，属基础题14 .已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)loga(x1)(a0且a1),且f10g0.5162,则a.答案：3利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果.解：因为log0.51640,且fx为奇函数，故可得flog0.5162f4f4,则f42；又当x0时，f(x)loga(x1)故可得f4loga32,即a23,故可得aJ3或aJ3(舍).即a,3.故答案为：.3.点评：本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题15.在VABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且asin2BbsinA0,若VABC的面积

16、SJ3b,则VABC面积的最小值为.答案：12、,3利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角,即可求得B,结合面积公式，求得a,b,c等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得ac的最小值，即可求得面积的最小值解：由asin2BbsinA0,得2asinBcosBbsinA0,由正弦定理得2sinAsinBcosBsinBsinA0,12所以cosBB一,23贝US1acsinB3ac、3b,24所以ac4b,*ooooo12由余弦th理得bac2accosBacac-3ac,即一(ac)-3ac,16所以ac-48,当且仅当ac时等号成立，所以VABC面积的最小值为12，3.故答案为：12、

17、3.点评：本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不等式求最值，属综合压轴题.三、双空题16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板BAC,则三4沿斜边折起形成三棱锥ABCD,如图所示，已知DAB6棱车BABCD的外接球的表面积为;该三棱锥体积的最大值为答案：100125.36(1)容易知AB中点为外接球球心，则AB为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结果;(2)体积最大时，即平面ABC平面ABD,求得点C到平面ABD距离，利用棱锥体积公式即可求得结果解:(1)因为ADBACB90,AB10,DABBA

18、C所以AD5.3,BD5，ACBC5.2-因为ADBACB所以三棱锥ABCD的外接球的直径为AB,所以球的半径R5,故球的表面积为S4R2100(2)当点C到平面ABD距离最大时三棱锥ABCD的体积最大,此时平面ABC平面ABD,过点C作CHAB,因为CH平面ACB,平面ABC平面ABD,且交于故可得CH平面ABD,则点C到平面ABD的距离为CH,又在RtnABC中，口ACCBCHAB5.221051VabcdVcabd3sAbdCH125x36故答案为：100;/回6点评:本题考查三棱锥外接球表面积的求解,以及棱锥体积的求解,涉及面面垂直推证线面垂直，属综合中档题.四、解答题17.2020年

19、新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查,得到如下列联表：喜欢国学/、喜欢国学合计男生2050女生10合计100(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组

20、的组长，设这两人中女生人数为X,求X的分布列和数学期望.参考数据：2PK2-k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282n(adbc)2K,nabcd.(ab)(cd)(ac)(bd)答案：(1)列联表见解析；能在犯错误的概率/、超过0.001的前提下认为喜欢国学与性、一，一一一一4别有大系.(2)分布列见解析；E(X)一3(1)根据总数为100,结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得K2的观测值，结合参考数据，即可容易判断；(2)求得分层抽样的抽样比，计算出6人中男生和女生人数，利用

21、概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得EX.解：(1)补充完整的列联表如下：喜欢国学/、喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100一422100(20104030)2计算得K2(16.6710.828，60405050所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.1(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为一，10从而需抽取男生2人，女生4人，故X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)c：c2815P(X2)C：62C；155故X的分布列为:X012P18215155数学期望E(X)012-4.151553点评：本题考查

22、K2的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.18.已知三棱锥PABC中，VABC为等腰直角三角形，BAC90,PB平面1ABC,且PBAB,EC/PB且EC-PB,D,F分别为PA,BC的中点.2(1)求证：直线DE/平面ABC;(2)求锐二面角PAEF的余弦值.答案：(1)证明见解析；(2)6(1)设AB的中点为G,连接DG,CG,通过证明四边形DGCE为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，由法向量的夹角与二面角平面角的关系，即可容易求得结果解：(1)设AB的中点为G,连接DG,CG,1-则

23、DG/PB,DGPB,2一fr1又EC/PB且ECPB,2EC/DG且ECDG,四边形DGCE为平行四边形，DE/GC,又DE平面ABC,GC平面ABC,DE/平面ABC.即证.(2)因为ABAC,且PB平面ABC,又AB,AC平面ABC,故可得PBAB,PBAC,故以A为坐标原点，AB,AC,分别为x,y轴建立空间直角坐标系Axyz如下图所示:令ABPB4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),P(4,0,4),D(2,0,2),uuuujmuiruPF(2,2,4),EF(2,2,2),AF(2,2,0),uuruuruuruuirPFEF0，PFAF0

24、，unnunnuuuuumPFEF，PFAF-QAFIEFF,PF平面AEF,uuu平面AFF的一个法向量为PF(2,2,4).r设平面PAE的一个法向量为n(x,y,z),r则由nuurAEuurAP0，2yz0,即,xz0,r1，n(2,1,2),ruuncosn,PFruuunPF-r-uuu-|n|PF|由图知二面角PAEF为锐角,面角PAEF的余弦值为.6点评：本题考查由线线平行推证线面平行，用向量法求二面角的余弦值，属综合中档题19.已知等差数列an前n项和为Sn,as9,S525.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn(1)nS,求bn前n项和Tn.答案：(1)a

25、n2n1,Snn2；(2)Tn(1)nn(n1)2(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得bn,对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.解：(1)由S55a325得a35.又因为a59,所以da5a32,2则a3a12da145,解得a11;故an2n1,Qn(12n1)n2(2)bn(1)nn2.当n为偶数时：Tnb!b2b3b4Lbn1bn12223242L(n1)2n2(21)(21)(43)(43)Ln(n1)n(n1)1 23L(n1)nn(n1).2当n为奇数时：Tnblb2b3b4

26、Lbn2bn1bn2_2_22_22212223242(n2)2(n1)2n2(21)(21)(43)(43)L(n1)(n2)(n1)(n2)n2一一一2123L(n2)(n1)nn(n1)2综上得Tn(1)nn(n21).点评：本题考查数列通项公式和前n项和基本量的求解，涉及并项求和，属综合中档题.2220.设椭圆E：x7A1(ab0)长轴长为4,右焦点F到左顶点的距离为3.ab(1)求椭圆E的方程；(2)设过原点O的直线交椭圆于A,B两点(A,B不在坐标轴上)，连接AF并延长交椭圆于点C,若ODOAOC，求四边形ABCD面积的最大值.229答案：(1)Ly-1；(2)一432(1)根据题

27、意，列出a,b,c的方程组，求解即可求得结果;(2)设出直线AC方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示nAOC的面积;根据向量关系，求得SABCD3Saoc,再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.解:a(1)由题息可得a2,2,12所以椭圆方程为4(2)由(1)知F(1,0),设直线AC的方程为xmy1,联立x2x4my1,y2得3m241,36myx/则y1y2,uuur因为OD6m，ym3m4uurruurOAOC，92-3m故可得四边形AOCD为平行四边形，则SAOCD2sAOC,又SAOCSBOC,故SaBCD3SaoC3二2|OF|y1y218m213m24c1

28、8t18则SABCDFl7T人1.八1令y3t-y故可得y3干，1当t1时，y0恒成立，故y3t-在1,单调递增,t18t18故SABCD3t27在t1,)上单调递减，3tt所以当t1,即m0时，一一一9四边形ABCD的面积取得最大值一.2点评:本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题21.已知函数f(x)alnxa1(1)求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)(i)若xf(x),x1恒成立，求a的取值范围；(ii)当a1时，证明建33n,323n22n24答案：(1)yxa2；(2)(i)a0,1；(ii)证明见解析.(1)对函数求导，求得f1,f1,利用

29、导数的几何意义，即可求得切线方程；(2)(i)将问题转化为hxalnxxa0恒成立，对参数a进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求参数的范围;tf(n)lnnInn11士一(ii)当a1时，f；结合(i)中所求，可得丁-1,再利nnn2n用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明解：(1)因为f(x)alnxa1xaalnxa11alnx,故可得f(x)22(x0),xxf(1)a1,f(1)1,所以f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为：y(a1)x1,(2)(i)因为xf(x),x1恒成立,alnxa1,x1恒成立，即alnxx令h(x)alnxxax(x0),x当0时,h(x)

30、0,所以a0满足;当0时,h(x)0,h(x)在(0,)上单调递减,因为0时，h(x),所以a0不满足;当0时，x(0,a)时，h(x)0,h(x)单调递增;x(a,)时,h(x)0,h(x)单调递减;h(x)maxh(a)alna,所以a的取值范围为0,1(ii)a1时，flnx，所以xf(n)lnnn由(i)知：xf(x),1,即Inx,xlnx所以8x2lnn,1nlnn2nf(2)2f(3)3f(n)nln222ln332lnn-2n121321)122132(n1)1n(n1)(n1)(n1)12n2点评:本题考查利用导数几何意义求切线方程，由恒成立问题求参数范围，利用导数证明不等式，涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前n项和，属压轴题.x2cos,22.在直角坐标系xO