第九章梁的弯曲(3)变形(于英1001)

1、9-2 9-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 9-3 9-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图用内力方程法绘制剪力图和弯矩图9-4 9-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图用微分关系法绘制剪力图和弯矩图9-5 9-5 用叠加法画弯矩图用叠加法画弯矩图9-69-6 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算 9-7 9-7 梁的变形梁的变形 9-8 9-8 梁的应力状态梁的应力状态 第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲9-1 9-1 平面弯曲平面弯曲一、挠度和转角一、挠度和转角二、用叠加法求梁的变形二、用叠加法求梁的变形三、梁的刚度条件三、梁的刚度条件四、提高梁刚度的措施四、提高梁刚

2、度的措施 9-79-7梁的变形及刚度条件梁的变形及刚度条件1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。BAB1Fxq qq qyyx 2. 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移 y （rad) ，向下的挠度为正。，向下的挠度为正。转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q，顺时针转动为正。，顺时针转动为正。挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数y =f (x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系ta

3、n( )dyf xdxq qq q 3.3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施。刚度校核、解超静定梁、适当施工措施。一、挠度和转角一、挠度和转角 在小变形和线弹性范围内，由几个荷载共同在小变形和线弹性范围内，由几个荷载共同作用下引起梁任一截面的挠度和转角，应等于每作用下引起梁任一截面的挠度和转角，应等于每个荷载单独作用时引起同一截面的挠度和转角的个荷载单独作用时引起同一截面的挠度和转角的代数和代数和。 二、用叠加法求梁的变形二、用叠加法求梁的变形 先分别计算每一种荷载单独作用时所引起梁先分别计算每一种荷载单独作用时所引起梁的挠度或转角，然后再将它们代数相加，就得

4、到的挠度或转角，然后再将它们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作用下的挠度或转角。这种方梁在几种荷载共同作用下的挠度或转角。这种方法称为法称为叠加法叠加法。2.叠加法求梁的变形：叠加法求梁的变形：1.叠加原理：叠加原理：梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从表梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从表9-2中查得。中查得。梁在简单荷载作用下的挠度和转角梁在简单荷载作用下的挠度和转角 表表9-2 梁在简单荷载作用下的挠度和转角梁在简单荷载作用下的挠度和转角 续表续表9-2 【例【例9-27】 试用叠加法计算图所示简支梁的跨中挠度试用叠加法计算图所示简支梁的跨中挠度yc与与 A截面的转角截面的转角A 。4c1

5、5384qlyEI 3c248FlyEI 43cc1c2538448qlFlyyyEIEI 32AA1A22416qlFlEIEIqqqqqq【解】【解】可先分别计算可先分别计算q与与F单单独作用下的跨中挠度独作用下的跨中挠度1cy2cy和和q、F共同作用下的跨中挠共同作用下的跨中挠度则为度则为: 同样，求得同样，求得A截面的转角为截面的转角为: 由表由表9-2查得查得:【例【例9-28】 : : 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，为常数， 求求B 点转角和挠度。点转角和挠度。FBA2/ l2/ lqCyBqyCqq qBFyBPFBABAqC1.在在F作用下：作

6、用下：2323BFBFFlFl,fEIEIq q 查查表表：2.在在q作用下：作用下：3344264828128CqCqq(l /)qlEIEIq(l /)qlfEIEIq q 查查表表：344872384BqCqBqCqCqqlEIlqlyyEIq qq qq q BBFBqBBFBqyyyq qq qq q 3.在在F和和q共共同作用下：同作用下：【解】【解】yyy用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形【例【例9-29】 : : ：q、l、 EI， 求求：yC 和和q qB。yyy3124Bql,EIq q 415384CqlyEI 23333B(ql ) lql,EIEIq q 43348

7、CqlyEI 2321616B(ql ) lql,EIEIq q 3248C(ql )lyEI 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形【例【例9-29】【解】【解】123BBBBq qq qq qq q EIql243EIql33EIql163EIql48113123CCCCyyyy EIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql384114用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形【例【例9-29】 除满足强度条件外，梁的变形也需加以控制，从而保除满足强度条件外，梁的变形也需加以控制，从而保证其正常工作。证其正常工作。 在土建工程中，通常对梁的在土建工程中，通常对梁的挠度挠度加以控制

8、，例如：加以控制，例如：梁的梁的刚度条件刚度条件为：为：通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，但是，当位移限制很严格，或按强度条件所选截面当位移限制很严格，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。过于单薄时，刚度条件也起控制作用。三、三、梁的刚度条件及梁的刚度条件及刚度校核刚度校核 11200300fl 11500600fl 一般钢筋混凝土梁一般钢筋混凝土梁钢筋混凝土吊车梁钢筋混凝土吊车梁maxyfflll AB4.5m4.5mF28b1500fl 【例【例9-30】 一简支梁由一简支梁由28b工字钢制成，跨中承受一集

9、中荷载工字钢制成，跨中承受一集中荷载如图所示。已知如图所示。已知:F =20kN，l =9m，E=210GPa ，试校核梁的强度和刚度。，试校核梁的强度和刚度。 170MPa mkN 4549204maxFlM【解】【解】（1）计算最大弯矩）计算最大弯矩（2）由型钢表查得）由型钢表查得28b工字工字钢的有关数据钢的有关数据 34 = 5 3 4 .2 8 6 c m = 7 4 8 0 .0 0 6 c mzzWImaxmaxzMW 6345 10534 268 10. （3）校核强度）校核强度84 2 MPa 170 MPa. 梁满足强度条件。梁满足强度条件。【例【例9-30】 AB4.5m

10、4.5mF=20kN28b 170MPa 改用改用32a工字钢，满足刚度条件。工字钢，满足刚度条件。（4）校核刚度）校核刚度梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用32a工字钢，其工字钢，其，则：，则：4 =11075.525cmzI【例【例9-30】34 =534. 286 c m =7480. 006 c mzzWI已知已知:F =20kN，l =9m，E=210GPa ， 23323420 109 104848210 107480 006 10zfFllEI. 1500fl 11465500fl 2333420 109 1048210 1011075 52

11、5 10fl. 11689500fl1500fl 【例【例9-319-31】 一简支梁工字钢制成，跨中承受一集中荷载如图一简支梁工字钢制成，跨中承受一集中荷载如图所示。已知所示。已知:F =35kN，l =4m，E=200GPa ，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。 160MPa F=35kN2mAB2ml=4mM4/Fl 解：解： 1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件、根据弯曲正应力强度条件max35 435kN m44FlM 633max35 10219 10 mm160zMW 选选20a工字钢，其工字钢，其4 =2370cmzI3、校核梁的刚度、校核梁的刚度

12、23323435 104 104848200 102370 10zfFllEI 11406500fl3、梁的刚度校核：、梁的刚度校核： 23323435 104 104848200 102370 10zfFllEI 11406500fl梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用22a工字钢，其工字钢，其 23323435 104 104848200 103400 10zfFllEI 11582500fl选择选择22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。【例【例9-31】43 =3400 cm =309 cmzzI,W，则：，则：四、提高梁的刚度措施四、提高梁的刚度措施 2.减小梁的跨度；如减小梁的跨度；如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。 1.提高梁的抗弯刚度