ARMA模型的时域特性

1、ARMA模型的时间特性模型的时间特性Green函数函数系统稳定性系统稳定性 ARMA模型，一方面，它基于观测时间序列 建立起来的随机微分方程，因而它解释了动态数据的统计特性；另一方面，由于 可视为某一系统的输出，因而，它又揭示了产生此动态数据的系统的动态特性，但不论是数据的统计特性，还是系统的动态特性，均可在时域和频域中得到描述，所有这些特性，构成了ARMA模型的基本特性。 tx txn本章重点讨论ARMA模型的最主要的时域特性系统的单位脉冲响应函数 和动态数据的自协方差函数 。前者表征系统特性，在时序方法中又称为Green函数，后者表征数据的统计特性。n同时，还将介绍ARMA模型的另外两个时

2、域特性逆函数和偏自相关函数。jGk 讨论模型特性的目的在于: 一方面，它是实际应用的理论基础，很多实际问题的解决往往就是模型特性直接应用的结果； 另一方面，它又是建立模型的必要准备。线性常系数差分方程及其解的一般形式线性常系数差分方程及其解的一般形式 在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。 任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程；因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程根的性质。 为了更好地讨论ARMA模型的特性，先简单介绍线性差分方程的一般知识。时间序列模型与线性差分方程时间序列模型与线性差分方程 线性差分方程在时间序列分析中有着重要的应用，常用的时间序列模

3、型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义。 是普通的n阶差分方程，其中 为系统参数的函数，当 为常数时，就是常系数n阶差分方程， 是个离散序列，也叫驱动函数； 是系统的响应。当 时，上式变为齐次线性差分方程: 称为n阶齐次差分方程。10()(1).( )0ny knay kna y k01,.,naa01,.,naa( )u k( )y k( )0u k 线性差分方程 112211.( )tttnt naaaau t 线性差分方程:10()(1).( )( )ny knay kna y ku k 首先，将

4、最简单的AR(1)模型作为一个例子。 AR(1)模型： 反复进行迭代11tttXXa1111112121112().ttttttttttttXXaXXaXaaaaAR(1)AR(1)模型的模型的GreenGreen函数函数10jttjjXaGreenGreen函数的定义函数的定义 当一个相关的平稳时间序列可以用一个无关的平稳时间序列的现在值和过去值的线性组合表示时，其“权权”定义为GreenGreen函数，即函数，即 式中，式中， 称为称为GreenGreen函数，函数， ，0tjtjjxG ajG01G 1jjG令上式的输入为单位脉冲响应，即 ，则有：tjtja0tjtjjxGGreen函数

5、表示系统对t时刻作用的单位脉冲产生的响应。ttxG ttXG B a（1）式可以记为其中 0jjjG BG B式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“ ”的作用而生成， 是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦即系统对 的“记忆”。 0jjjG BG BjGtjatjaGreen函数的意义函数的意义格林函数格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。则AR(1)模型的格林函数可以表示为：AR(1)模型可表示为同时，可用一个无限阶MA来逼近。 1jjG10jttjjXan当t不变，k变动时，Gt-

6、k表示k时刻作用于系统的单位脉冲对现在t时刻响应xt影响的大小；n当t变动，k不变时， Gt-k表示系统对于过去k时刻所受到的单位脉冲的衰减情况。 AR(1)AR(1)系统的平稳性系统的平稳性系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系nGreen函数的另一个重要作用是， 可表明系统的稳定性这一重要的动态特性。所谓一个系统是不稳定的，是指它在任意瞬间受到一个一瞬即逝的干扰(即脉冲)后，其运动状态偏离平衡位置越来越远，这相当于 ， 是发散的；反之，如果其运动状态最终能回到平衡位置上，这相当于 ，则称系统是渐进稳定的；jGjGlimjjGlim0jjG一阶系统的

7、稳定性 线性系统的稳定性仅由系统本身的固有特性所决定，而与外界无关，即，ARMA模型所描述的线性系统，其稳定性只与AR部分有关，而与MA部分无关，因此，AR(1)，ARMA(1,1)，ARMA(1,m)系统的稳定性问题实质上是一致的，从而可根据Green函数的取值情况判断它们所对应的不同的一阶系统的稳定性。11111(1)1limlim0,1limlim1lim1lim1jjjjjjjjjjjjjjGGGGGG 当时，收敛于零，系统是渐进稳定的。(2)当时，是发散的，系统是不稳定的。(3)当时，或，系统是稳定的，但不是渐进稳定的。ARMA(2,1)模型的Green函数112211tttttxx

8、xaa12121B1BBttxa引入B算子，得：式中，分子为MA部分，特征根 ；分母为AR部分，对其进行因式分解，有 ：212121BB1B 1B21,211214211其特征根为：根据一元二次方程根与系数的关系：112212 下面，根据特征根的取值情况分别进行讨论 1121121221g,g11212121B1B 1B1B1Btttggxaa12当 时，AR部分具有两个不相等的实根，进行因式分解：式中，可求出221111111BB1B tttttaxxxa根据“泛函理论”中B算子的性质，可进行如下展开：1111221 122000BBjjjjjjttjjjjxgggga可得ARMA（2,1）

9、模型的Green函数：1 122jjjGgg显然：0121Ggg当 时（*表示共轭），AR部分具有一对共轭复根，则有：*12212i11,24iecosi sin22 rr式中： ，2r12arctan21 122112112211211211212cosisincosisin2cossin2cossin4jjjjjjjGggrrrjijrjij12当 时，AR部分具有两个相同的特征根，则有：1121222221101111001B1B1B 1B1B1BB1B1B1B1B11 tttjjttjjjjttjjjxaaaajjaja1此时Green函数为：111 jjjGj上式即是二阶其次差分方程

10、在具有重根时的通解形式，则有：01G11111(1)BB jjjjjjttjajaARMA(2,1)系统的稳定性 利用特征根判断系统的稳定性条件利用特征根判断系统的稳定性条件 这个推论在AR(1)中平稳性的条件，同样对ARMA(2,1)模型也依然适应；此时，0,jGj 若则系统是渐进平稳的1 122jjjGgg对于同一阶系统，ARMA(2,1)，AR(2)及ARMA(2,m)模型虽然对应于外界作用方式不同的二阶系统，但它们的稳定性问题是一致的。由于可用二阶和一阶系统组成各种高阶系统，所以研究二阶系统的稳定性是十分必要的。利用特征根判断系统的稳定性利用特征根判断系统的稳定性1. 当当 时时12a

11、.当 时， ，系统是渐近稳定；b.当 和 中只要有一个大于1， ，系统是不稳定的；c.当 或 中 任一个等于1而另一个的绝对值小于1，Gj收敛于g1 或者g2 ，系统是稳定的；d.当 或 中 任一个等于-1而另一个的绝对值小于或等于1，则 Gj交替地取两常数值，系统是稳定的。121,1lim0jjG12lim jjG12122. 当当 时时a.当 时， ，系统是渐近稳定；b.当 时， ，系统是不稳定的。1lim0jjG1lim jjG在在 平面上，二阶系统的稳定性情况平面上，二阶系统的稳定性情况1212利用模型参数判断系统的稳定性利用模型参数判断系统的稳定性101综合上述三个不等式，可得到二阶

12、系统综合上述三个不等式，可得到二阶系统稳定的条件为：稳定的条件为：系统渐近稳定的一个必要条件是：2122121,1,1, 当 时，则有：121当 时，则有：110 1212121211112在在 平面上，二阶系统的稳定性情况平面上，二阶系统的稳定性情况 逆函数和可逆性逆函数和可逆性 （Invertibility）是零均值平稳序列，如果白噪声序列 tx ta0tjtjjaIx能够表示为一、逆函数的定义逆函数的定义设 则称上式为平稳序列 式中的加权系数 -Ij 称为逆函数。 0,1,2,.jIj的”逆转形式“。类似于Green函数，当一个无关的平稳时间序列 可以用一个相关的平稳时间序列 的现在值和

13、过去值的线性组合来表示时，其负“权”则定义为逆函数逆函数 ta tx01I tx逆函数的含义逆函数的含义1. Green函数Gj是 展成B算子的幂级数的系数. BB 00BBBBjjjjjjGI2.从信号处理和数理统计的角度来看，Gj将一个独立的、彼此.无关的时序at组合成一个彼此相关的时序xt，故它是一个成形滤波器成形滤波器；而(-Ij)将一个相关的时序xt转化成一个彼此无关的时序at，故它是一个白化滤波器白化滤波器。显然，从对信号的处理而言Gj与Ij的作用是互逆的3. Gj与(-Ij)在卷积关系中互逆，它们的卷积等于1个单位脉冲。 B*B tttttIIG系统的稳定性和可逆性系统的稳定性和

14、可逆性稳定性是指系统绝不收任一瞬间的干扰而偏离平衡位置。可逆性是指ARMA模型采用逆传形式时，Ij是有界的。差分方程理论已经证明：ARMA模型自回归部分的齐次差分方程的解可以是Gj，滑动平均部分的齐次差分方程的解可以是Ij。当 时， 发散，原系统不稳定；当 时， 发散，逆传系统不稳定即系统不稳定； 和 实际上是系统的极点和零点。当 和 时， 和 均在单位圆内，这相当于所对应的连续系统的极点和零点均在复平面的左半平面内，此时系统则为控制理论中的“最小相位系统最小相位系统”。ARMA模型不但需要满足稳定性条件，一般还需要满足可逆性条件，从而才能保证相应的等价系统才有可能是最小相位系统最小相位系统。

15、1i1ilimjjGlimjjIiiii1i1iARMA模型一、一、ARMA(n,m)模型可分别表示为：模型可分别表示为：( )( )ttB XB a212( )1.,nnBBBB 为n阶自回归系数多项式。 其中：其中：212( )1.mmBBBBm ，为 阶移动平均系数多项式。ARMA(n,m)平稳条件与可逆条件 ARMA(n,m)模型的平稳条件 n阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外 即ARMA(n,m)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定 ARMA(n,m)模型的可逆条件 m阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外 即ARMA(n,m)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定(

16、)0B( )0B自相关函数自相关函数(autocorrelation)偏自相关函数偏自相关函数(partial autocorrelation) 理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数ktt kE X X自相关函数自相关函数(ACF)自相关函数0kk 样本自相关函数的计算 在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差样本自协方差有两种形式：则相应的样本自相关函数为：样本自相关函数为： 112201111NNttkttkktktkkNNttttX XX XNXXN*11

17、2201111NNtt ktt kkt kt kkNNitttX XX XNNkNkXXN 11,0,1,2,.,1Nktt kt kX XkNN *11,0,1,2,.,1Nktt kt kX XkNNk 无偏差估计渐近无偏差估计 构成非负定列具有相容性渐近正态分布自自协协方方差差函函数数自协方差函数与自协方差函数与Green函数的关系函数的关系0000EE kit ijtj kijt it k iiiijGaG aGGa a022200E jj kjt it k iakj ikajj kkjjjG Ga aG GG自协方差函数Rk作为描述系统的输出信号，其主要包含了两部分的内容： 表示输入

18、白噪声的统计特性，Gj表示系统的动态特性。2a偶函数性质：2200kajj kajj kkjjG GG Gikj偏自相关函数偏自相关函数(PACF)(PACF)定义：定义： 已知xt为一平稳时间序列，若能选择k个合适的系数 将xt表示为xt-1的线性组合，有：1ktkitiixx12,kkkk当误差方差 极小时，21EktkitiiJxx则定义的最后一个系数 为偏自相关函数（系数）kk偏自相关函数的计算：偏自相关函数的计算： 1E20ktkjtjtijkiJxxx1EE0kttikjtjtijx xxx最后简化为：10 kikjj ij由此得到Yule-Walker 方程，记为：12111112221231.1.1kkkkkkkkkk 已知时，由该方程组可以解