第2章随机变量及其分布

1、1 1概率论与概率论与数理统计数理统计第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布2 21 随机变量随机变量3 3为了全面研究随机试验的结果为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象揭示随机现象的统计规律性的统计规律性, 将随机试验的结果与实数对应将随机试验的结果与实数对应起来起来, 将随机试验的结果将随机试验的结果数量化数量化, 引入引入随机变随机变量量的概念的概念.在随机试验完成时在随机试验完成时, 人们常常人们常常不是关心试验结不是关心试验结果本身果本身, 而是对于试验结果联系着的而是对于试验结果联系着的某个数某个数感感兴趣兴趣.4 试验结果与数值有关的例试验结果与数值有关的例 1. 掷

2、一颗骰子，观察其上面出现的点数；掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；4. 七月份广州的最高气温；七月份广州的最高气温；2. 每天广州南站下火车的人数；每天广州南站下火车的人数；3. 每年每年12月份广州发生交月份广州发生交 通事故的次数；通事故的次数；5.5. 一部电梯一年内出现故障的次数一部电梯一年内出现故障的次数。5 试验结果看起来与数值无关，但可引进一个试验结果看起来与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例子：变量来表示试验的各种结果的例子：1. 在投篮试验中，用在投篮试验中，用0 表示投篮未中，表示投篮未中，1 表表示罚篮命中，示罚篮命中，3 表示三分线外远投命中，表示三分

3、线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则表示三分线内投篮命中，则随机试验结随机试验结果可数值化果可数值化。 2. 在掷硬币试验中，用在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头表示带国徽或人头 的一面朝上，的一面朝上，0 表示另一面朝上，则表示另一面朝上，则随机随机 试验的结果也可数值化试验的结果也可数值化。6 6例例1 在一袋中装有编号分在一袋中装有编号分别为别为1,2,3的的3只球只球. 在袋中在袋中任取一只球任取一只球, 放回放回. 再取一再取一只球只球, 记录它们的编号记录它们的编号. 计计算两只球的号码之和算两只球的号码之和.试验的样本空间试验的样本空间S=e=i,j,i,j=1,2,3

4、. 这里这里i,j分分别表示第一别表示第一,二球的号码二球的号码. 以以X记两球号码之和记两球号码之和, 对于每一个样本点对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应都有一个值与之对应, 如图所示如图所示.123i123423453456j7 7例例2 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷3次次. 关心关心3次抛掷中次抛掷中, 出出现现H的总次数的总次数, 而对而对H,T出现的顺序不关心出现的顺序不关心. 比比如说如说, 我们仅关心出现我们仅关心出现H的总次数为的总次数为2, 而不在而不在乎出现的是乎出现的是HHT,HTH还是还是THH. 以以X记三次抛掷中出现记三次抛掷中出现H的总数的总数, 则对样本

5、空间则对样本空间S=e中的每一个样本点中的每一个样本点e, X都有一个值与之都有一个值与之对应对应, 即有即有样本点样本点HHHHHTHTHTHH HTT THTTTHTTTX的值的值322211108 8定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=e. X=X(e)是定义在样本空间是定义在样本空间S上的上的实值单值实值单值函数函数. 称称X=X(e)为为随机变量随机变量.Se1e2e3x9 9有许多随机试验有许多随机试验, 它的结果本身是一个数它的结果本身是一个数, 即即样本点样本点e本身是一个数本身是一个数. 我们令我们令X=X(e)=e, 则则X就是一个随机变量就是一个随机

6、变量. 例如例如, 用用Y记某车间一天记某车间一天的缺勤人数的缺勤人数, 以以W记录某地区第一季度的降雨记录某地区第一季度的降雨量量, 以以Z记某工厂一天的耗电量记某工厂一天的耗电量, 以以N记某医院记某医院某一天的挂号人数某一天的挂号人数. 那么那么Y, W, Z, N都是随机都是随机变量变量.本书中本书中, 一般以大写字母如一般以大写字母如X,Y,Z,W,.表示随表示随机变量机变量, 而以小写字母而以小写字母x,y,z,w,.表示实数表示实数.1010随机变量的取值随试验结果而定随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各而试验的各个结果出现有一定的概率个结果出现有一定的概率, 因而随机变量

7、的取因而随机变量的取值有一定的概率值有一定的概率. 例如例如, 在在例例2中中X取值为取值为2, 记记成成X=2, 对应于样本点的集合对应于样本点的集合A=HHT, HTH, THH, 这是一个事件这是一个事件, 当且仅当事件当且仅当事件A发生时发生时有有X=2. 则称则称P(A)=PHHT, HTH, THH为为X=2的概率的概率, 即即P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有类似地有84,1TTTTTHTHTHTTPXP1111一般一般, 若若L是一个实数集合是一个实数集合, 将将X在在L上取值上取值写成写成X L. 它表示事件它表示事件B=e|X(e) L, 即即B是由是由S中使得中使

8、得X(e) L的所有样本点的所有样本点e所组成所组成的事件的事件. 此时有此时有 PX L=P(B)=Pe|X(e) L,随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验在试验之前不能预知它取什么值之前不能预知它取什么值, 且它的取值有一且它的取值有一定的概率定的概率. 这些性质显示了这些性质显示了随机变量随机变量与与普通普通函数函数有着本质的差异有着本质的差异.12122 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律1313有些随机变量有些随机变量, 它全部可能取到的不相同的值它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个是有限个或可列无限多个, 这种随机变量称为

9、这种随机变量称为离散型随机变量离散型随机变量. 例如例如1例例2中的随机变量中的随机变量X, 它只可能取它只可能取0,1,2,3四个值四个值, 它是一个离散型随它是一个离散型随机变量机变量. 又如某城市的又如某城市的120急救电话台一昼夜急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量收到的呼唤次数也是离散型随机变量. 若以若以T记某元件的寿命记某元件的寿命, 它所可能取的值充满一个区它所可能取的值充满一个区间间, 是无法按一定次序一一列举出来的是无法按一定次序一一列举出来的, 因而因而它是一个它是一个非离散型的随机变量非离散型的随机变量. 本节讨论离散本节讨论离散型随机变量型随机变量1414

10、要掌握一个离散型随机变量要掌握一个离散型随机变量X的统计规律的统计规律, 必必须且只需知道须且只需知道X的所有可能取的值及取每一的所有可能取的值及取每一个可能值的概率个可能值的概率.设设X所有可能取的值为所有可能取的值为xk(k=1,2,.), 而而PX=xk=pk, k=1,2,.(2.1)由概率的定义由概率的定义, pk满足如下两个条件满足如下两个条件11:0,1,2,;(2.2)2:1.(2.3)kkkpkp1515称称(2.1)式式 即即: PX=xk=pk, k=1,2,. 为离散为离散型随机变量型随机变量X的的分布律分布律. 分布律也可用表格的分布律也可用表格的形式来表示形式来表示

11、:. 1, 1,)(211121kkkkkkkjpxXPxXPjkxXxXxXxX即故且是必然事件是由于Xx1x2.xn.pkp1p2.pn.(2.4)1616例例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯号灯, 每组信号灯以每组信号灯以1/2概率允许或禁止汽车通过概率允许或禁止汽车通过. 以以X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时, 它已通过的信号灯组数它已通过的信号灯组数(设各组信号灯的工作是相互独立的设各组信号灯的工作是相互独立的), 求求X的分布律的分布律.解解 以以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率表示每组信号灯禁止汽车通过的概率, 易知

12、易知X的分布律为的分布律为X01234pkp(1-p)p(1-p)2p (1-p)3p(1-p)41717X01234pkp(1- -p)p(1- -p)2p (1- -p)3p(1- -p)4P=X=k=(1- -p)kp, k=0,1,2,3, PX=4=(1- -p)4. 以以p=1/2代入得代入得X01234pk250.06250.06251818补充例题补充例题: 盒内装有外形与功率均相同的盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡个灯泡,其中其中10个螺个螺口口,5个卡口个卡口.灯口向下放着灯口向下放着.现在需要现在需要1个螺口灯泡个螺口灯泡,从盒子任从盒子任意取一个

13、意取一个,若取到的是卡口灯泡就不再放回去若取到的是卡口灯泡就不再放回去.求在取到螺求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数口灯泡之前已取出的卡口灯泡数 X 的分布的分布. 解解:依题意知依题意知 X 的可能取值为的可能取值为:0、1、2、3、4、5105 105011515 142154 1020543 1052315 14 1327315 14 13 122735432 1010415 14 13 12 1130035432115115 14 13 12 113003P XP XP XP XP XP X 1919则则X 的分布律为：的分布律为：X012345P2/35/2120/2735/27

14、3 10/30031/300320某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次，求其两次独立投篮后，投中次数独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。的概率分布。解：解：X 可取的值为可取的值为 ：0, 1, 2，且，且 P(X=0) = (0.1)(0.1) = 0.01， P(X=1) = 2(0.9)(0.1) = 0.18 , P(X=2) = (0.9)(0.9) = 0.81 .易见：易见： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .X012P0.010.180.812121下面介绍三种下面介绍三种重要重要的离散型随机变量的离散型随机变量.(一

15、一) (0-1)分布分布 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0与与1两个两个值值, 它的分布律是它的分布律是P(X=k)=pk(1- -p)1- -k, k=0,1 (0p1),则称则称X服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布.(0-1)分布的分布律也可写成分布的分布律也可写成X01pk1- -pp2222对一个随机试验中的任何一个给定的事件对一个随机试验中的任何一个给定的事件A, 0P(A)1, 都都可以根据事件可以根据事件A定义一个服从定义一个服从0-1分布的随机变量来描述分布的随机变量来描述. ., 1, 0)(AeAeeXX当当例如：例如： 对新生婴儿的性别进行登记对新生婴

16、儿的性别进行登记, 男性记为男性记为“1”、女性记为、女性记为“0”;检查产品的质量是否合格检查产品的质量是否合格,合格记为合格记为“1”、不合格记为、不合格记为“0”;某车间的电力消耗是否超过负荷，超过记为某车间的电力消耗是否超过负荷，超过记为“1”、不超过、不超过记为记为“0”;抛硬币，正面记为抛硬币，正面记为“1”、反面记为、反面记为“0”等试验都可以用等试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述分布的随机变量来描述. (0-1)分布是分布是经常遇到的一种分布经常遇到的一种分布.23(二二)伯努利试验伯努利试验,二项分布二项分布 试验试验E只有两种可能结果只有两种可能结果A和和 , 则称

17、则称E为伯努为伯努利试验利试验, 设设P(A)=p(0p1), 此时此时P( )=1-p . 若将试验若将试验E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次, 则这一串重则这一串重复的独立试验称为复的独立试验称为n重伯努利试验重伯努利试验. 这里这里“重复重复”是指每次试验中是指每次试验中P(A)=p保持不变，保持不变，“独立独立”是指每次试验的结果互不影响。若以是指每次试验的结果互不影响。若以Ci记记第第i次试验的结果次试验的结果, Ci为为A或或 , i=1,2,n. 独立独立是指是指PC1C2Cn=P(C1)P(C2)P(Cn). (2.5)AAA2424定义随机变量定义随机变量X表示表示n重

18、伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数, 我们来求它的分布律我们来求它的分布律. X所有可所有可能取的值为能取的值为0,1,2,.,n. 由于各次试验是相互独由于各次试验是相互独立的立的, 因此事件因此事件A在指定的在指定的k(0 k n)次试验中次试验中发生发生, 在其它在其它n- -k次试验中次试验中A不发生的概率为不发生的概率为,)1 (,.)1 ()1 ()1 ()1 (knkknkknkppknkAnknpppppppp-次的概率为发生次试验中故在它们两两互不相容的种这种指定的方式共有个个 2525记记q=1- -p, 即有即有(),0,1,2,., .(2.6)k

19、n knP Xkp qknk- 服从参数为故我们称随机变量的那一项的展开式中出现刚好是二项式显然XpqpqpknqpqpknkXPknknknnkknknk,)(. 1)(,00- n,p的二项分布的二项分布, 记为记为Xb(n,p).二项分布演示二项分布演示2626例例2 按规定按规定, 某种型号电子元件的使用寿命超某种型号电子元件的使用寿命超过过1500小时的为一级品小时的为一级品. 已知一大批产品的一已知一大批产品的一级品率为级品率为0.2, 现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查20只只. 问问20只元件中恰有只元件中恰有k只只(k=0,1,.,20)为一级品的概为一级品的概率是多少率是

20、多少?解解 这是不放回抽样这是不放回抽样. 但由于这批元件的总数但由于这批元件的总数很大很大, 且抽查的元件数量相对于元件的总数来且抽查的元件数量相对于元件的总数来说又很小说又很小, 因而可以当作放回抽样来处理因而可以当作放回抽样来处理, 这这样做会有一些误差样做会有一些误差, 但误差不大但误差不大. 检查一只元检查一只元件看它是否为一级品件看它是否为一级品, 检查检查20只元件相当于只元件相当于20重贝努利试验重贝努利试验, 以以X记其中一级品总数记其中一级品总数, 则则2727Xb(20,0.2). 由由(2.6)式式即得所求概率为即得所求概率为.20,.,1 , 0,)8 . 0()2

21、. 0(2020-kkkXPkk将计算结果列表如下将计算结果列表如下:P(X=0)=0.012P(X=4)=0.218P(X=8)=0.022P(X=1)=0.058P(X=5)=0.175P(X=9)=0.007P(X=2)=0.137P(X=6)=0.109 P(X=10)=0.002P(X=3)=0.205P(X=7)=0.055 PX=k0是常数是常数. 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布布, 记为记为Xp p( ).易知易知, P(X=k) 0, k=0,1,2,.,且有且有演示演示3636泊松分布常见于所谓稠密性的问题中泊松分布常见于所谓稠密性的问题中, 如一如一段

22、时间内段时间内, 电话用户对电话台的呼唤次数电话用户对电话台的呼唤次数, 候车的旅客数候车的旅客数, 原子放射粒子数原子放射粒子数, 织机上断织机上断头的次数头的次数, 以及零件铸造表面上一定大小的以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等面积内砂眼的个数等等.37例：例：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求： (1). 一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻的概率；次寻的概率； (2).一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的概率。次寻呼的概率。.解解: (1). PX=3 =p p(3;

23、3) = (33/3!)e- -3 0.2240； (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e- -3 0.7169.38解解:例例: 某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数服从参数为为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次以次以上火灾的概率。上火灾的概率。 P X33= 1- -PX0是一常数是一常数,n是是任意正整数任意正整数,设设npn=,则对于任一固定的非负则对于任一固定的非负整数整数k,有有lim(1)!k

24、kn knnnneppkk- - 通常在通常在n比较大比较大, p很小时很小时, 用用泊松分布近似泊松分布近似代替二项分布的公式代替二项分布的公式, 其中其中 =np.泊松分布泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查的方便之处在于有现成的分布表可查(第三版教材没有泊松分布表第三版教材没有泊松分布表)演示演示40例：例：某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为每辆出租车出现故障的概率为0.02，求求: :一天内一天内没有出租车出现故障的概率。没有出租车出现故障的概率。解解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一将观察一辆车一天内是否出现

25、故障看成一次试验次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车。因为每辆车是否出现故障与其它车无关无关, 于是于是, 观察观察400辆出租车是否出现故障就辆出租车是否出现故障就是做是做 400 次贝努利试验。设次贝努利试验。设 X 表示一天内出现表示一天内出现故障的出租车数故障的出租车数, 则则 X B(400, 0.02)。令令 = np = 4000.02 = 8 ，于是，于是, P一天内没有出租车出现故障一天内没有出租车出现故障 = PX=0 = b(0;400,0.02) (80/0!)e- -8 = 0.0003355.41413 随机变量的分布函数随机变量的分布函数4242对于非离散型

26、随机变量对于非离散型随机变量X, 由于其可能取的值由于其可能取的值不能一个一个地列举出来不能一个一个地列举出来, 因而就不能像离散因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它型随机变量那样可以用分布律来描述它. 另外另外, 通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于的实数值的概率都等于0. 再者再者, 在实际中在实际中, 对对于这样的随机变量于这样的随机变量, 例如误差例如误差e e, 元件的寿命元件的寿命T等等, 我们并不会对误差我们并不会对误差e e=0.05(mm), 寿命寿命T=1251.3(h)的概率感兴趣的概率感兴趣, 而

27、是考虑误差落而是考虑误差落在某个区间的概率在某个区间的概率, 寿命寿命T大于某个数的概率大于某个数的概率. 因而我们转而去研究随机变量所取的值落在因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率一个区间的概率, Px1X x2.4343由于由于Px1X x2=Px x2- -Px x1.所以我们只需知道所以我们只需知道Px x2和和Px x1就可以就可以了了. 由此引出分布函数的概念由此引出分布函数的概念.定义定义 设设X是一个随机变量是一个随机变量, x是任意实数是任意实数. 函数函数 F(x)= PX x称为称为X的的分布函数分布函数.对于任意实数对于任意实数x1, x2(x1x2),

28、 有有 Px1X x2=Px x2- -Px x1=F(x2)- -F(x1),(3.1)4444分布函数是一个普通的函数分布函数是一个普通的函数, 正是通过它正是通过它, 我我们能用数学分析的方法来研究随机变量们能用数学分析的方法来研究随机变量. 如果将如果将X看成是数轴上的随机点的坐标看成是数轴上的随机点的坐标, 则分则分布函数布函数F(x)在在x处的函数值就表示处的函数值就表示X落在区间落在区间(- - , x上的概率上的概率.分布函数分布函数F(x)具有以下的基本性质具有以下的基本性质:(1) F(x)是一个不减函数是一个不减函数.事实上事实上, 由由(3.1)式对于任意实数式对于任意

29、实数x1,x2(x1x2)有有F(x2)- -F(x1)=Px1X x2 0.4545(2) 0 F(x) 1, 且且. 1)(lim)(, 0)(lim)(-xFFxFFxx如图如图, 将区间端点将区间端点x沿数轴无限向左移动沿数轴无限向左移动(即即x- - , 则则随机点随机点X落在落在x左边左边这一事件趋于这一事件趋于不可能事件不可能事件, 从而其概率趋于从而其概率趋于0, 即有即有F(- - )=0;又若将点又若将点x无限右移无限右移, (即即x), 则则随机点随机点X落在落在x左边左边这一事件趋于必然事件这一事件趋于必然事件, 从而其从而其概率趋于概率趋于1, 即有即有F( )=1.

30、(3) F(x+0)=F(x), 即即F(x)是右连续的是右连续的(证略证略).xXO4646例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为.322523,21,XPXPXPX并求的分布函数求解解 X仅在仅在x-1,2,3三点处其概率三点处其概率 0, 而而F(x)的的值是值是X x的累积概率值的累积概率值, 由概率的有限可加性由概率的有限可加性, 知它即为小于或等于知它即为小于或等于x的那些的那些xk处的概率处的概率pk之之和和.X- -123pk1/41/21/44747由此得由此得-. 3, 132,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxFX- -123pk1/41/21/44

31、848F(x)的图形为的图形为-. 3, 132, 4/3, 21, 4/1, 1, 0)(xxxxxF-1O123x1F(x)4949.43214312)2()3(32.21414323252523412121-XPFFXPFFXPFXP5050一般一般, 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX=xk=pk, k=1,2,.由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得X的分布函数为的分布函数为)2 . 3(,)(, )(xxkxxkkkpxFxXPxXPxF即这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足xk x的的k求和的求和的. 分分布函数布函数F(x)在在x=xk(k=1

32、,2,.)处有跳跃处有跳跃, 其跳跃其跳跃值为值为pk=PX=xk.51.402xxXP解解 若若x175 的概率为的概率为1751175-XPXP.2578. 0 )65. 0(169. 71701751-91解解: : 设车门高度为设车门高度为 h ，按设计要求按设计要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h。例：例：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的。以下来设计的。设某地区设某地区成年男性身高成年男性身高 (单位单位: cm) X

33、N(170, 7.692),问问车门高度应如何确定车门高度应如何确定? ?92因为因为XN( (170,7.,7.692),),， ) 1 0(69. 7170NX -，故故99. 0 69. 7170 69. 717069. 7170X -hhPhXP求满足求满足 P(X h) 0.99 的最小的最小 h。，）得得查表，查表，99. 0 9901. 02.33( .88. 1 33. 269. 7170 -hh即即，所以，所以，故，当汽车门高度为故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过车门碰头机会不超过0.01。93zaa9495求截面面积求截面面积 的分布。的分布。2/4ADp如：已知圆轴截面直径如：已知圆轴截面直径 D 的分布的分布,96又如：已知又如：已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 I