第八节-多元函数的极值及其求法

1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值及其求法及其求法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、多元函数最值二、多元函数最值三、条件极值三、条件极值22xyxyze 观观察察二二元元函函数数的的图图形形一、多元函数极值一、多元函数极值（一元函数极值的推广一元函数极值的推广）),(yxfz ),(00yx有定义，有定义，( ),U 的某邻域的某邻域)( U00( , )(,),f x yf x y 若若00( , )(,)f x yf x y 若若，),(00yx则称函数在则称函数在有有极大值极大值；),(00yx则称函数在则称函数在有有极小值极小值；极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极

2、值极值. .使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. .设函数设函数在点在点)( xfy 0 xx ( , )x y 0( )()f xf x 若若，0( )()f xf x 若若，0 x0 x1.1.极值的定义极值的定义(0,0)zxy 函函数数在在处处无无极极值值例例1 12234(0,0)zxy函函数数在在处处有有极极小小值值例例22(0,0)zxy 函函数数在在处处有有极极大大值值例例zxyoxyzoxyzoxyzo2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件有有 ),(0yxf),(00yxf, ),(yx),(00yx证证00( , )(,)zf x y

3、xy 在在有有极极值值0000 (,)0 (,)0 xyfxyfxy ，必要条件必要条件0),(000 zyxfx0),(000 zyxfy0),(000 zyxfz 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点为零的点，均称为函数的驻点. .驻点驻点极值点极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意注意：)0 , 0(xyz 例如例如, , 点点是函数是函数的驻点，的驻点， 但不是极值点但不是极值点. .0000(,)0(,)0 xyfxyfxy又又，000000(,)(,)(,)xxxyyyfxyAfx

4、yBfxyC令令，定理定理2（充分条件）（充分条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，00( , )(,)f x yxy则则在在点点处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：20ACB 当当时时具具有有极极值值0A 当当时时，有有极极大大值值, ,（1）0A 当当时时，有有极极小小值值; ;（2）20ACB当当时时没没有有极极值值；（3）20ACB当当时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论还需另作讨论00(,)xy 是是驻驻点点例例4 求函数求函数解

5、解 第一步第一步 求驻点求驻点:得驻点得驻点: (1,0),(1,2),(3,0),(3,2) .第二步第二步 判别判别:解方程组解方程组ABC( , )xfx y 23690 xx( , )yfx y 2360yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数( , ) 66xxfx yx ，( , )0,x yfx y ( , )66yyfx yy 3322( , )339f x yxyxyx在点在点( 3,0) 处处在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值.12,A 0,B 6,C 21260,ACB ( 3,0)f 不不是是极极值值；12,0,6ABC ( 3,2)31f212 ( 6)0,

6、ACB 0,A 在点在点(1,2)处处12,0,6ABC (1,2)f不不是是极极值值；212 ( 6)0,ACB ( , )66,xxfx yx ( , )0,xyfx y ( , )66yyfx yy 在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;12,A 0,B 6,C 21260,ACB(1,0)5f 0,A (1,0)(1,2)(-3,0)(-3,2)求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：, 0),( yxfx0),( yxfy第一步第一步 解方程组解方程组第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.求出二阶偏导数的值

7、求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，的符号，再判定是否是极值再判定是否是极值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最值二、多元函数的最值解解xyo6 yxDD如图如图,先求函数在先求函数在D内的驻点，

8、内的驻点，例例5 求二元函数求二元函数)4(),(2yxyxyxfz 6xyxy ， 轴轴和和 轴轴在直线在直线所围成的闭区域所围成的闭区域D上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx且且4)1 , 2( f, 解方程组解方程组)4(),(2yxyxyxfz D)1 , 2(得区域得区域内唯一驻点内唯一驻点x6 yxyo, 2|64 xxy,64)2 , 4( fD),(yxf再求再求在在D边界上的最值边界上的最值：(2,1)4f 在在驻驻点点处处 6 yx在边界在边界上，上，)4(),(2yxyxyxfz 一元函数一元函

9、数的极值的极值xy 6即即0),( yxf 比较函数值后可知：比较函数值后可知： 可取得最大收益？可取得最大收益？605040 xy 805060 xy 每天的收益为每天的收益为( , )f x y(2)(60 5040 ) (3)(80 5060 )xxyyxy 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价进价2元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价3元，店主估计，元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖 y元，则每天可卖出元，则每天可卖出瓶本地牌子瓶本地牌子的果汁，的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的

10、果汁. .问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁解解目标函数目标函数(2,3)xy例例6 ),( yxf(2)(60 5040 ) (3)(80 5060 )xxyyxy 目标函数目标函数求驻点：求驻点：109103460 xyfxyfxy ，令令解得解得4.85,4.46xy根据题意可知，最大值一定存在，并在开区域根据题意可知，最大值一定存在，并在开区域内取得，内取得， ( , )2,3Dx y xy又函数在又函数在D内内只有唯一驻点只有唯一驻点因此可断定本地的因此可断定本地的(4.85,4.46),饮料价格约定为饮料价格约定为4.85元，外地的约为元，

11、外地的约为4.46元时，元时，收益最大收益最大.三、条件极值及拉格朗日乘数法三、条件极值及拉格朗日乘数法无条件极值：对于变量仅限制了定义域无条件极值：对于变量仅限制了定义域. .条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量条件极值：除了定义域之外，对函数的自变量还有附加条件的极值问题还有附加条件的极值问题. .这这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果yxyxUlnln),( 在条件在条件 下的极值点下的极值点2010200 xy 实例：小王有实例：小王有200元钱，他决定用来购买两类元钱，他决定用来购买两类急需物品：参考书和录音磁带，设他购买急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本本书书, y盒

12、录音磁带达到最佳效果，效果函数为盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每本书设每本书20元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配元，问他如何分配问题的实质：问题的实质：yxyxUlnln),( 求求例例7则问题为则问题为:求求x , y , z，解解 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,试问试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？要设计一个容量为要设计一个容量为0V的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 方法方法1将条件将条件0 xyzV 代入表面积函数代入表面积函数,则则011( , )2()S x yVxyyx使在条件使在条

13、件水箱表面积水箱表面积最小最小.( , , )2()S x y zxzyzxy0 xyzV 下下,)0, 0( yx将条件极值转化为无条件极值将条件极值转化为无条件极值方法方法2拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法为某一常数，称为拉格朗日乘子，为某一常数，称为拉格朗日乘子，其中其中 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx , , ,x y 解出解出其中其中x,y就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.),(yxfz 0),( yx 在条件在条件下的可能极值点下的可能极值点.要找函数要找函数( , )( , )( , )L x

14、yf x yx y先构造函数先构造函数 （称拉格朗日函数）（称拉格朗日函数）可由可由例例7试问试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？要设计一个容量为要设计一个容量为0V的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 水箱表面积水箱表面积最小最小.( , , )2()S x y zxzyzxy0 xyzV 附附加加条条件件：设拉格朗日函数：设拉格朗日函数：0( , , )2()-L x y zxzyzxyxyz V （）xL 20zyyz yL 20zxxz zL 2()0 xyxy L 00 xyzV方法方法2由由得唯一驻点得唯一驻点3022,xyzV3042V

15、由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为034,V2xz yz（1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30 xyzV（2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 提示提示:02()()FxzyzxyxyzV 2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .思考思考长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? tz

16、yx,21, 其中其中均为常数均为常数, ,可由偏导数为零及条件解出可由偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标. .( , , , )( , , , )L x y z tf x y z t ),(),(21tzyxtzyx 先构造函数先构造函数拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 这这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果yxyxUlnln),( 例例8 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两类元钱，他决定用来购买两类急需物品：参考书和录音磁带，设他购买急需物品：参考书和录音磁带，设他购买x本本书书, y盒录音磁带达到最佳

17、效果，效果函数为盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每本书设每本书20元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配元，问他如何分配2010200.xy在在条条件件下下的的极极值值yxyxUlnln),( 求求提示提示：可用两种方法可用两种方法.目标函数目标函数yxyxUlnln),( 方法方法1 转化为无条件极值转化为无条件极值( )lnln(202 )U xxx2010200 xy条条件件: :0)10(2101011 xxxxxU令令5,x 得得唯唯一一驻驻点点由附加条件得由附加条件得,10 y依题意，买依题意，买5本书，本书，10盒磁带可达到最佳效果盒磁带可达到最佳效果.方法方法2用拉格

18、朗日乘数法用拉格朗日乘数法令令( , )lnln(2010200)L x yxyxy 1200(1)xLx 1100(2)yLy 2010200(3)xy 由由(1),(2)得得代入代入(3),得得,1001 代入代入(4),得得11,(4)2010 xy .10, 5 yx故买故买5本书，本书，10盒磁带可达到最佳效果盒磁带可达到最佳效果.第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点. .即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点利用充分条件判别驻点是否为极值点 . .( , ),zf x y ( , )0( , )0 xyfx yfx y

19、如对二元函数如对二元函数一、多元函数的极值一、多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）小结小结设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数解方程组解方程组求驻点求驻点 . . ( , )zf x y 0 xxxLf0yyyLf( , )0 x y 二、拉格朗日乘数法二、拉格朗日乘数法分清目标函数和附加条件，分清目标函数和附加条件， 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数. .下的极值下的极值. .在条件在条件( , )0,x y ( , )0 x y 在条件在条件12( , )( , )( , )( , )L x yf x yx yx y ( , )0

20、x y 条件极值的两种求法：条件极值的两种求法：1. . 将条件函数代入目标函数转化为无条件极值；将条件函数代入目标函数转化为无条件极值；2. . 利用拉格朗日乘数法利用拉格朗日乘数法三、多元函数的最值三、多元函数的最值1.1.有界闭区域上连续函数的最值；有界闭区域上连续函数的最值；2.2.最值应用问题最值应用问题. .第二步第二步 求出驻点，求出驻点， 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小. . 根据问题的实际意义根据问题的实际意义第一步第一步 找目标函数找目标函数, ,确定定义域确定定义域( (及约束条件及约束条件) )确定最值确定最值. .思考题思考题解解 不是不是. .例如例如 22),(yxyxf 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值